Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Nilai dari $\dfrac{(64)^{\frac{1}{6}} \cdot (27)^{\frac{2}{3}}}{(125)^{\frac{2}{3}} + (32)^{\frac{2}{5}}}$

Pembahasan
Dengan fakta bahwa $64=2^6$, $27=3^3$, $125=5^3$ dan $32=2^5$ soal di atas dapat dituliskan menjadi $$\dfrac{(2^6)^{\frac{1}{6}} \cdot (3^3)^{\frac{2}{3}}}{(5^3)^{\frac{2}{3}} + (2^5)^{\frac{2}{5}}}$$ Kemudian dengan aturan eksponen dari bilangan berpangkat \begin{split} & \dfrac{2^{6 \cdot \frac{1}{6}} \cdot 3^{3 \cdot \frac{2}{3}}}{5^{3\cdot \frac{2}{3}} + 2^{5\cdot \frac{2}{5}}}\\ = & \dfrac{2^1 \cdot 3^2}{5^2 + 2^2}\\ = & \dfrac{2 \cdot 9}{25 + 4}\\ = & \dfrac{18}{29} \end{split}

Soal #2
Bentuk sederhana dari $\dfrac{3\sqrt{7}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\ldots$

Pembahasan
Maksud dari bentuk sederhana di atas adalah merasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan dengan bentuk sekawan dari penyebut \begin{split} & \dfrac{3\sqrt{7}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \times \color{Blue}{\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}}\\ = & \dfrac{3\sqrt{7}(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}-\sqrt{5})}\\ = & \dfrac{3\sqrt{7}(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{3-5}\\ = & \dfrac{3\sqrt{7}(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{-2}\\ = & -\dfrac{3}{2}\sqrt{7}(\sqrt{3}-\sqrt{5}) \end{split}

Soal #3
Hasil dari $\left(\dfrac{{}^3\!\log 5 \cdot {}^{25}\!\log 81 + {}^3\!\log 9}{{}^2\!\log 36 - {}^2\!\log 9}\right)^2 = \ldots$

Pembahasan
Fakta $25=5^2$, $81=3^4$ dan $9=3^2$ maka $$\left(\dfrac{{}^3\!\log 5 \cdot {}^{5^2}\!\log 3^4 + {}^3\!\log 3^2}{{}^2\!\log 36 - {}^2\!\log 9}\right)^2$$ Dengan menerapkan aturan logaritma \begin{split} & \left(\dfrac{{}^3\!\log 5 \cdot \frac{4}{2} \cdot {}^{5}\!\log 3 + 2\cdot {}^3\!\log 3}{{}^2\!\log \frac{36}{9}}\right)^2\\ = & \left(\dfrac{\frac{4}{2} \cdot {}^3\!\log 5 \cdot {}^{5}\!\log 3 + 2\cdot 1}{{}^2\!\log 4}\right)^2\\ = & \left(\dfrac{2 \cdot {}^3\!\log 3 + 2}{{}^2\!\log 2^2}\right)^2\\ = & \left(\dfrac{2 \cdot 1 + 2}{2 \cdot {}^2\!\log 2}\right)^2\\ = & \left(\dfrac{2 + 2}{2 \cdot 1}\right)^2\\ = & \left(\dfrac{4}{2}\right)^2\\ = & 4 \end{split}

Soal #4
Nilai $x$ yang memenuhi ${}^{\frac{1}{3}}\!\log (x+\sqrt{3}) + {}^{\frac{1}{3}}\!\log (x-\sqrt{3}) > 0$ adalah ...

Pembahasan
Dengan menggunakan fakta bahwa ${}^{\frac{1}{3}}\!\log 1 = 0$ maka $${}^{\frac{1}{3}}\!\log (x+\sqrt{3}) + {}^{\frac{1}{3}}\!\log (x-\sqrt{3}) > {}^{\frac{1}{3}}\!\log 1$$ Basis pada ruas kiri telah sama maka dengan aturan logaritma diperoleh $${}^{\frac{1}{3}}\!\log (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}) > {}^{\frac{1}{3}}\!\log 1$$ Kedua ruas telah memiliki basis yang sama dan kurang dari 1 akibatnya \begin{split} & (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}) < 1\\ \Rightarrow & x^2 - 3 < 1\\ \Rightarrow & x^2 - 4 < 0\\ \Rightarrow & (x+2)(x-2) < 0\\ \Rightarrow & -2 < x < 2 \text{...(i)} \end{split} Syarat 1: $x+\sqrt{3} > 0$ atau $x > -\sqrt{3}$...(ii)
Syarat 1: $x-\sqrt{3} > 0$ atau $x > \sqrt{3}$...(iii)

Penyelesaiannya adalah irisan dari penyelesaian (i), (ii) dan (iii) yaitu $\sqrt{3} < x < 2$

Referensi: Pertidaksamaan

Soal #5
Akar-akar $x_1$ dan $x_2$ dari persamaan kuadrat $2x^2+8x+m=0$ memenuhi $7x_1-x_2=20$. Nilai $m=\ldots$

Pembahasan
Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat $$x_1+x_2=-4 \text{...(i)}$$ $$x_1x_2=\frac{m}{2} \text{...(ii)}$$ Diketahui bahwa $7x_1-x_2=20 \text{...(iii)}$. Dengan menyelesaikan persamaan (i) dan (iii) secaara bersamaan diperoleh $x_1=2$ dan $x_2=-6$. Kemudian substitusikan nilai $x_1=2$ dan $x_2=-6$ ke persamaan (ii) diperoleh \begin{split} & 2 \cdot (-6)=\frac{m}{2}\\ \Rightarrow & -12 = \frac{m}{2}\\ \Rightarrow & m=-24 \end{split}

Soal #6
Diketahui fungsi $f(x)=(a+1)x^2-2ax+(a-2)$ definit negatif. Nilai $a$ yang memenuhi adalah ...

Pembahasan
Syarat dari fungsi kuadrat definit negatif adalah Diskriminan $ < 0$ dan Koefisien $x^2 < 0$ \begin{split} D > 0 \Rightarrow & (-2a)^2-4(a+1)(a-2) < 0\\ \Rightarrow & 4a^2-4(a^2-a-2) < 0\\ \Rightarrow & 4a^2-4a^2+4a+8 < 0\\ \Rightarrow & 4a+8 < 0\\ \Rightarrow & 4a < -8\\ \Rightarrow & a < -2 \end{split} Kemudian $$a+1 < 0 \Rightarrow a < -1$$ Nilai $a$ yang memenuhi adalah irisan dari kedua penyelesaian di atas yaitu $a < -2$

Soal #7
Ani membeli 3 kg mangga dan 3 kg apel dengan harga Rp165.000. Di toko yang sama Ica membeli 4 kg mangga dan 2 kg apel dengan membayar Rp170.000, serta Mia membeli 2 kg mangga dan 5 kg apel. Jika Mia membayar dengan uang Rp200.000 uang kembalian Mia adalah ...

Pembahasan
Misalkan
Harga 1 kg mangga = x
Harga 1 kg apel = y

Harga 3 kg mangga dan 3 kg apel sama dengan Rp165.000 dapat dituliskan sebagai $$3x+3y=165.000$$ Harga 4 kg mangga dan 2 kg apel sama dengan Rp170.000 dapat dituliskan sebagai $$4x+2y=170.000$$ Dengan menyelesaikan kedua sistem persamaan linier tersebut secara bersamaan diperoleh $x=30.000$ dan $y=25.000$. Sehingga yang dibayarkan Mia adalah sebanyak 2×30.000 + 5×25.000 = 185.000. Jadi uang kembalian Mia adalah 200.000 − 185.000 = 15.000

Soal #8
Untuk mendapatkan hasil yang optimal, sebatang pohon rambutan harus diberi pupuk yang mengandung minimal 6 unit zat R dan 6 unit zat S. Di toko tersedia dua jenis pupuk untuk pohon rambutan yaitu pupuk A dan pupuk B. Satu bungkus pupuk A mengandung 1 unit zat R dan 2 unit zat S, sedangkan satu bungkus pupuk B mengandung 2 unit zat R dan 1 unit zat S. Harga per bungkus pupuk A adalah Rp5.000 dan harga per bungkus pupuk B adalah Rp4.500. Pak Adi mempunyai 100 pohon rambutan. Biaya minimal yang harus dikeluarkan agar pohon rambutan dapat berproduksi dengan optimal adalah ...

Pembahasan
Misalkan
Banyak pupuk A = $x$ bungkus
Banyak pupuk B = $y$ bungkus

sebatang pohon rambutan harus diberi pupuk yang mengandung minimal 6 unit zat R dan 6 unit zat S tetapi total ada 100 batang pohon, ini berarti minimal dibutuhkan 600 unit zat R dan 600 unit zat S.

Pupuk A mengandung 1 unit zat R dan pupuk B mengandung 2 unit zat R, ini artinya $$x+2y \geq 600$$ Pupuk A mengandung 2 unit zat S dan pupuk B mengandung 1 unit zat S, ini artinya $$2x+y \geq 600$$ $x$ dan $y$ menayatakan banyak pupuk maka $x \geq 0$ dan $y \geq 0$ dengan fungsi kendala biaya produksi $f(x,y)=5000x+4500y$

Sketsa daerah penyelesaian:
Soal dan Pembahasan UN SMA IPA 2016: Matematika
Koordinat titik A dan C berturut-turut adalah (600,0) dan (0,600) sedangkan koordinat titik B diperoleh dengan cara menyelesaikan sistem persamaan $$2x+y=600$$ $$x+2y=600$$ penyelesaiannya adalah (200,200)

$f(0,600)=5000\cdot 0 + 4500 \cdot 600 = 2700000$
$f(200,200)=5000\cdot 200 + 4500 \cdot 200 = 1900000$
$f(600,0)=5000\cdot 600 + 4500 \cdot 0 = 3000000$

Jadi biaya minimal yang harus dikeluarkan agar pohon rambutan dapat berproduksi dengan optimal adalah Rp1.900.000

Soal #9
Diketahui $f:R \rightarrow R$ dan $f:R \rightarrow R$ didefinisikan dengan $f(x)=x^2+2x-3$ dan $g(x)=6-x$. Fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & (f \circ g)(x) = & f(g(x))\\ = & f(6-x)\\ = & (6-x)^2+2(6-x)-3\\ = & 36-12x+x^2+12-2x-3\\ = & x^2-14x+45 \end{split}

Soal #10
Diketahui fungsi $g(x)=\dfrac{4x+3}{x-2}$; $x \neq 2$. Invers dari $g(x)$ adalah...

Pembahasan
Misalkan $g(x)=y$ maka \begin{split} & y=\dfrac{4x+3}{x-2}\\ \Rightarrow & xy-2y=4x+3\\ \Rightarrow & xy-4x=2y+3\\ \Rightarrow & x(y-4)=2y+3\\ \Rightarrow & x=\frac{2y+3}{y-4} \end{split}

Selanjutnya :
Bagian 2
Bagian 3
Bagian 4

Click to comment