Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Misalkan m dan n adalah bilangan bulat dan merupakan akar-akar persamaan x2 + ax − 30 = 0, maka nilai a agar m + n maksimum adalah ...

Pembahasan
Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar diperoleh m + n = −a dan mn = −30

Pasangan bilangan bulat (m,n) yang memenuhi mn = −30 adalah
(−30,1), (30,−1), (−15,2), (15,−2), (−10,3), (10,−3), (−6,5), (6,−5)

Karena m + n = −a maka nilai maksimum a adalah nilai maksimum −m−n yaitu ketika m = −30 dan n = 1

Jadi nilai maksimum a = −(−30) − 1 = 29

Soal #47
Jika A2x = 2, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots$

Pembahasan
Jika A2x = 2 maka Ax = √2. Oleh karena itu \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \frac{31}{18} \end{split} Referensi: Eksponen, Bentuk Akar

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 334: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis y = mx membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan AB = CD sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & m=2 \end{split}

Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi \(\frac{3}{x}-\frac{3}{x+3} \geq 0\) adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & \frac{3}{x}-\frac{3}{x+3} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{3(x+3)-3x}{x(x+3)} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{9}{x(x+3)} \leq 0 \end{split} Pembuat 0 pertidaksamaan di atas adalah x = −3 dan x = 0, kemudian uji pada garis bilangan sehingga diperoleh −3 ≤ x ≤ 0. Tetapi pertidaksamaan mensyaratkan x ≠ 0 dan x ≠ −3

Jadi semua bilangan real yang memenuhi adalah −3 < x < 0

Soal #50
Jika grafik y = x2 − (9+a)x + 9a diperoleh dari grafik fungsi y = x2 − 2x − 3 melalui pencerminan terhadap garis x = 4, maka a = ...

Pembahasan
Titik (x,y) diceriminkan terhadap garis x = 4 menghasilkan bayangan (x',y') dengan x' = 8 − x dan y' = y

Oleh karena itu substitusikan y = y' dan x = 8 − x' ke persamaan y = x2 − 2x − 3 sehingga diperoleh y' = (8−x')2 − 2(8−x') − 3 atau y' = x'2 − 14x' + 45

Dengan menyamakan koefisien y = x2 − (9+a)x + 9a dan y' = x'2 − 14x' + 45 diperoleh 9a = 45 atau 9 + a = 14

Jadi nilai a = 5

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...

Pembahasan
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72

Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Jika f(x) = x + 2ab dan g(x) = 2bx + 2. Serta 4f(0) = 3g(1), maka 4a − 5b = ...

Pembahasan
\begin{split} & 4f(0) = 3g(1)\\ \Rightarrow & 4(2a-b) = 3(2b+2)\\ \Rightarrow & 8a-4b = 6b+6\\ \Rightarrow & 8a-10b = 6\\ \Rightarrow & 4a-5b = 3 \end{split}

Soal #53
Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memenuhi f(x + 2) = g(x − 3), maka f −1(x) = ...

Pembahasan
Misalkan f(x + 2) = g(x − 3) = y maka

f −1(y) = x + 2 dan
g −1(y) = x − 3 atau x = g −1(y) + 3 ...(1)

Substitusikan persamaan (1) ke f −1(y) = x + 2 diperoleh
f −1(y) = x + 2 = (g −1(y) + 3) + 2 = g −1(y) + 5

Soal #54
Jika $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, maka $B\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}=\ldots$

Pembahasan
Misalkan $B=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
\begin{split} & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{split}

\begin{split} & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{split}
Matriks $B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, Jadi \begin{split} B\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}= & \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\\ =& \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{split}Referensi : Matriks

Soal #55
Pada suatu barisan aritmatika dengan suku-suku berbeda, jumlah suku ke-1, ke-3 dan ke-5 sama dengan jumlah suku ke-2 dan ke-4. Jika suku ke-10 sama dengan kuadrat suku ke-4. maka suku ke-13 adalah ...

Pembahasan
Misalkan Un = a + (n−1)b maka \begin{split} & U_1+U_3+U_5 = U_2 + U_4\\ \Rightarrow & a + (a+2b)+(a+4b)=(a+b)+(a+3b)\\ \Rightarrow & 3a+6b=2a+4b\\ \Rightarrow & a = -2b \end{split} \begin{split} & U_{10}=(U_4)^2\\ \Rightarrow & a+9b=(a+3b)^2\\ \Rightarrow & -2a+9b=(-2b+3b)^2\\ \Rightarrow & 7b=b^2\\ \Rightarrow & b=0 \text{ atau } b=7 \end{split} Karena barisan aritmatika dengan suku berbeda maka b = 7, akibatnya a = −2b = −14.

Jadi U13 = a + 12b = −14 + 12⋅7 = 70

Soal #56
Titik X, Y, Z terletak pada segitiga ABC dengan AZ = AY, BZ = BX, dan CX = CY seperti pada gambar. Jika AB, AC, dan BC berturut-turut adalah 4 cm, 3 cm dan 5 cm, maka luas segitiga CXY adalah . . . cm2

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 347: MATEMATIKA DASAR
Berdasarkan gambar di atas diperoleh BX + XC = 5 atau 4 − x + 3 − x = 5, dari persamaan ini diperoleh x = AZ = AY = 1

Dengan panjang sisi 3, 4 dan 5 maka ABC merupakan segitiga siku-siku di A, oleh karena itu $\sin C = \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{5}$

Sehingga luas segitga CXY adalah $\dfrac{1}{2}$ ⋅ CX ⋅ CY sin C = $\dfrac{1}{2}$ ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ $\dfrac{4}{5}$ = $\dfrac{8}{5}$

Referensi: 5 cara menghitung luas segitiga

Soal #57
Jangkauan dan rata-rata nilai ujian 6 siswa berturut-turut adalah 10 dan 6. Jika median data tersebut adalah 6 dan selisih antara kuartil ke-1 dan ke-3 adalah 6, maka jumlah dua nilai ujian terendah adalah ...

Pembahasan
Misalkan nilai 6 siswa tersebut telah diurutkan yaitu a, b, c, d, e, dan f. maka jumlah dua nilai tertinggi adalah e + f

Jangkauan 6 berarti f − a = 6 atau f = a + 6...(1)

Rata-rata 6 berarti (a + b + c + d + e + f )/6 = 6 atau
a + b + c + d + e + f = 36 ...(2)

Median 6 berarti (c + d)/2 = 6 atau c + d = 12 ...(3)

Q1 = b, Q3 = e dan selisihnya adalah 4 berarti e − b = 6 atau e = b + 6...(4)

Kurangkan persamaan (2) dan (3) diperoleh
a + b + c + d = 24...(5)

Substitusikan persamaan (1) dan (4) ke persamaan (5) diperoleh
a + b + (b + 6) + (a + 6) = 24 atau 2a + 2b = 12

Jadi jumlah dua nilai terendah a + b = 6

Soal #58
Diketahui f(x) = ax2 + b. Jika f(2b) − f(b) = 3, dan $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(bx)}{x-1}=2$, maka a + b = ...

Pembahasan
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(bx)}{x-1}=1$ maka $\lim_{x \to 1}\limits f(bx)=0$ \begin{split} & f(b)=0\\ \Rightarrow & ab^2+b=0\\ \Rightarrow & b(ab+1) =0\\ \Rightarrow & b=0\text{ atau }ab=-1 \end{split} Tetapi b = 0 tidak mungkin karena f(2b) − f(b) = f(0) − f(0) ≠ 3 akibatnya ab = −1

Karena f(x) = ax2 + b maka f'(x) = 2ax, Kemudian dengan aturan L'Hospital \begin{split} & \lim_{x \to 1} \frac{f(bx)}{x-1}=2\\ \Rightarrow & \lim_{x \to 1} \frac{bf'(bx)}{1}=2\\ \Rightarrow & bf'(b)=2\\ \Rightarrow & b(2ab) =2\\ \Rightarrow & ab^2=1 \end{split} $\dfrac{ab^2}{ab}=\dfrac{1}{-1}$ maka b = −1 akibatnya a = 1

Jadi a + b = 1 + (−1) = 0

Soal #59
Jika 2x + 3y = 12, 3x − 2y = 5, ax + by = 16, dan axby = 8, maka ab = ...

Pembahasan
Dengan menyelesaikan SPLDV

2x + 3y = 12
3x − 2y = 5

diperoleh nilai x = 3 dan y = 2. Substitusikan nilai x dan y ke dua persamaan berikutnya

3a + 2b = 16
3a − 2b = 8

Kemudian selesaikan sehingga diperoleh a = 4 dan b = 2.

Jadi ab = 4 − 2 = 2

Soal #60
Semua bilangan real x yang memenuhi $x - 1 < \dfrac{2}{|x|}$ adalah ...

Pembahasan
Jika x > 0 \begin{split} & x-1 < \dfrac{2}{x}\\ \Rightarrow & x-1 - \dfrac{2}{x} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x^2-x -2}{x} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x-2)(x+1)}{x} < 0\\ \Rightarrow & x < -1 \vee 0 < x < 2 \end{split} Karena x > 0 maka nilai x yang memenuhi adalah 0 < x < 2;

Jika x < 0 \begin{split} & x-1 < \dfrac{2}{-x}\\ \Rightarrow & x-1 + \dfrac{2}{x} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x^2-x +2}{x} < 0 \text{ [pembilangnya definit positif akibatnya...]}\\ \Rightarrow & x < 0\text{ [sesuai syarat x > 0]} \end{split} Jadi semua nilai x yang memenuhi adalah x < 0 atau 0 < x < 2

Referensi: Pertidaksamaan

Click to comment