Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Diketahui 1 + √2 adalah salah satu akar x2 + ax + b = 0 dengan b bilangan real negatif dan a suatu bilangan bulat. Nilai terkecil a adalah ...

Pembahasan
Misalkan persamaan kuadrat di atas memiliki akar x1 = 1 + √2 dan x2 maka \begin{split} & x_1 + x_2 = a\\ \Rightarrow & (1+\sqrt{2})+x_2 = -a \end{split} Karena a bilangan bulat maka haruslah x2 = p − √2 untuk suatu bilangan bulat p \begin{split} & (1+\sqrt{2})+(p-\sqrt{2}) = -a\\ \Rightarrow & 1+p=-a\\ \Rightarrow & a=-1-p \end{split} akibatnya 1 + p = −a atau a = −1 − p

b bilangan real negatif \begin{split} & x_1 \cdot x_2 = b < 0\\ \Rightarrow & (1+\sqrt{2})(p-\sqrt{2}) < 0\\ \Rightarrow & p-\sqrt{2} < 0\\ \Rightarrow & p < \sqrt{2} \end{split} Karena p bilangan bulat maka p ∈ {1, 0, −1, −2, −3,...}

a = −1 − p maka a ∈ {−2, −1, 0, 1,...}

Jadi nilai terkecil a adalah −2

Referensi : Persamaan Kuadrat

Soal #47
Jika A2x = 2, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots$

Pembahasan
Jika A2x = 2 maka Ax = √2. Oleh karena itu \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \frac{31}{18} \end{split} Referensi: Eksponen, Bentuk Akar

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 334: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis y = mx membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan AB = CD sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & m=2 \end{split}

Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi $\dfrac{x}{x+2} > \dfrac{x-2}{x}$ adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & \frac{x}{x+2} > \frac{x-2}{x}\\ \Rightarrow & \frac{x}{x+2} -  \frac{x-2}{x} > 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2-(x-2)(x+2)}{x(x+2)} > 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2-(x^2-4)}{x(x+2)} > 0\\ \Rightarrow & \frac{4}{x(x+2)} > 0\\ \Rightarrow & -2 < x < 0 \end{split} Referensi: Pertidaksamaan

Soal #50
Jika grafik y = x2 − (9+a)x + 9a diperoleh dari grafik fungsi y = x2 − 2x − 3 melalui pencerminan terhadap garis x = 4, maka a = ...

Pembahasan
Titik (x,y) diceriminkan terhadap garis x = 4 menghasilkan bayangan (x',y') dengan x' = 8 − x dan y' = y

Oleh karena itu substitusikan y = y' dan x = 8 − x' ke persamaan y = x2 − 2x − 3 sehingga diperoleh y' = (8−x')2 − 2(8−x') − 3 atau y' = x'2 − 14x' + 45

Dengan menyamakan koefisien y = x2 − (9+a)x + 9a dan y' = x'2 − 14x' + 45 diperoleh 9a = 45 atau 9 + a = 14

Jadi nilai a = 5

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...

Pembahasan
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72

Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Diberikan $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ dan g(x) = x + 1. Semua bilangan real x yang memenuhi (fg)(x) < f(x)g(x) adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & (f \circ g)(x) < f(x)g(x)\\ \Rightarrow & \frac{1}{(x+1)-1} < \frac{1}{x-1} \cdot (x+1)\\ \Rightarrow & \frac{1}{x} < \frac{x+1}{x-1}\\ \Rightarrow & \frac{1}{x} - \frac{x+1}{x-1} < 0\\ \Rightarrow & \frac{(x-1)-x(x+1)}{x(x-1)} < 0\\ \Rightarrow & \frac{x-1-x^2-x}{x(x-1)} < 0\\ \Rightarrow & \frac{-1-x^2}{x(x-1)} < 0\\ \Rightarrow & \frac{1}{x(x-1)} > 0\\ \Rightarrow & 0 < x < 1\\ \end{split} Referensi: Pertidaksamaan

Soal #53
Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memnuhi f(x + 2) = g(x − 3), maka f−1(x) = ...

Pembahasan
Misalkan f(x + 2) = g(x − 3) = y maka
f−1(y) = x + 2 dan
g−1(y) = x − 3 atau x = g−1(y) + 3

akibatnya
f−1(y) = x + 2 = (g−1(y) + 3) + 2 = f−1(y) + 5

Jadi f−1(x) = g−1(x) + 5

Soal #54
Jika AT menyetakan transpos matriks $A=\begin{pmatrix} a & 1 & 0\\ 0 & 1 & b\end{pmatrix}$ dengan a ≠ 0, dan AAT tidak mempunyai invers, maka a2b2 = ...

Pembahasan
\begin{split} AA^T & =\begin{pmatrix} a & 1 & 0\\ 0 & 1 & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & 1\\ 0 & b\end{pmatrix}\\ & = \begin{pmatrix}a^2+1 & 1 \\ 1 & b^2+1 \end{pmatrix} \end{split} Matrix di atas tidak mempunyai invers, maka \begin{split} & \det (AA^T) = 0\\ \Rightarrow & (a^2+1)(b^2+1)-1=0\\ \Rightarrow & a^2b^2+a^2+b^2+1-1=0\\ \Rightarrow & a^2b^2=-a^2-b^2 \end{split} Referensi: Matriks

Soal #55
Pada suatu barisan aritmatika dengan suku-suku berbeda, jumlah suku ke-1, ke-3 dan ke-5 sama dengan jumlah suku ke-2 dan ke-4. Jika suku ke-10 sama dengan kuadrat suku ke-4. maka suku ke-13 adalah ...

Pembahasan
Misalkan Un = a + (n−1)b maka \begin{split} & U_1+U_3+U_5 = U_2 + U_4\\ \Rightarrow & a + (a+2b)+(a+4b)=(a+b)+(a+3b)\\ \Rightarrow & 3a+6b=2a+4b\\ \Rightarrow & a = -2b \end{split} \begin{split} & U_{10}=(U_4)^2\\ \Rightarrow & a+9b=(a+3b)^2\\ \Rightarrow & -2a+9b=(-2b+3b)^2\\ \Rightarrow & 7b=b^2\\ \Rightarrow & b=0 \text{ atau } b=7 \end{split} Karena barisan aritmatika dengan suku berbeda maka b = 7, akibatnya a = −2b = −14.

Jadi U13 = a + 12b = −14 + 12⋅7 = 70

Soal #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 336: MATEMATIKA DASAR
Diketahui luas segitiga sama kaki XYZ adalah 16 cm2. Titik A dan B berturut-turut adalah titik tengah XY dan XZ seperti pada gambar. Jika C titik pada YZ sehingga XC tegak lurus YZ, maka luas daerah yang diarsir adalah ... cm2.

Pembahasan
Luas segitga XYZ adalah 16 maka $\frac{1}{2}$⋅YZ⋅XC = 16

Segitiga ABX dan segitiga YZX sebangun dengan perbandingan 1 : 2 akibatnya AB = $\frac{1}{2}$YZ dan DX = $\frac{1}{2}$⋅CX

Luas segitiga ABX = \begin{split} & \frac{1}{2}AB \cdot DX \\ = & \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}YZ \cdot \frac{1}{2}CX \\ = & \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}YZ \cdot CX \\ = & \frac{1}{4} \cdot 16\\ = & 4 \end{split} Sehingga Luas AYZB = Luas XYZ − Luas ABX = 16 − 4 = 12

Jadi Luas daerah yang diarsir adalah $\frac{1}{2}$⋅12 = 6 cm2

Soal #57
Rata-rata ujian matematika siswa di suatu kelas dengan 50 siswa tetap sama meskipun nilai terendah dan tertinggi dikeluarkan. Jumlah nilai-nilai tersebut adalah 350. Jika data nilai-nilai ujian matematika tersebut merupakan bilangan asli yang tidak lebih besar daripada 10, maka jangkauan data nilai yang mungkin ada sebanyak ...

Pembahasan
Rata-ratanya adalah $\dfrac{350}{50}=7$. Misalkan nilai yang terendah adalah x dan tertinggi adalah y, dan jika x dan y tidak diikutkan rata-rata tetap sama berarti \begin{split} & \frac{350-x-y}{48}=7\\ \Rightarrow & 350-x-y=336\\ \Rightarrow & x+y=14 \end{split} Kemungkinan nilai x dan y adalah
x = 10 dan y = 4, jangkauannya 10 − 4 = 6
x = 9 dan y = 5, jangkauannya 9 − 5 = 4
x = 8 dan y = 6, jangkauannya 8 − 6 = 2

Jadi jangkauan data yang mungkin ada sebanyak 3

Soal #58
Diketahui f(x) = ax2 + b. Jika f(2b) − f(b) = 3, dan $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(bx)}{x-1}=2$, maka a + b = ...

Pembahasan
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(bx)}{x-1}=1$ maka $\lim_{x \to 1}\limits f(bx)=0$ \begin{split} & f(b)=0\\ \Rightarrow & ab^2+b=0\\ \Rightarrow & b(ab+1) =0\\ \Rightarrow & b=0\text{ atau }ab=-1 \end{split} Tetapi b = 0 tidak mungkin karena f(2b) − f(b) = f(0) − f(0) ≠ 3 akibatnya ab = −1

Karena f(x) = ax2 + b maka f'(x) = 2ax, Kemudian dengan aturan L'Hospital \begin{split} & \lim_{x \to 1} \frac{f(bx)}{x-1}=2\\ \Rightarrow & \lim_{x \to 1} \frac{bf'(bx)}{1}=2\\ \Rightarrow & bf'(b)=2\\ \Rightarrow & b(2ab) =2\\ \Rightarrow & ab^2=1 \end{split} $\dfrac{ab^2}{ab}=\dfrac{1}{-1}$ maka b = −1 akibatnya a = 1

Jadi a + b = 1 + (−1) = 0

Soal #59
Jika 2x + 3y = 12, 3x − 2y = 5, ax + by = 16, dan axby = 8, maka ab = ...

Pembahasan
Dengan menyelesaikan SPLDV

2x + 3y = 12
3x − 2y = 5

diperoleh nilai x = 3 dan y = 2. Substitusikan nilai x dan y ke dua persamaan berikutnya

3a + 2b = 16
3a − 2b = 8

Kemudian selesaikan sehingga diperoleh a = 4 dan b = 2.

Jadi ab = 4 − 2 = 2

Soal #60
Semua bilangan real x yang memenuhi $\dfrac{|x-2|+x}{2-|x-2|} \geq 1$

Pembahasan
Jika x ≥ 2 dan x ≠ 4 \begin{split} & \frac{|x-2|+x}{2-|x-2|} \geq 1\\ \Rightarrow & \frac{(x-2)+x}{2-(x-2)} \geq 1\\ \Rightarrow & \frac{2x-2}{4-x} \geq 1\\ \Rightarrow & \frac{2x-2}{4-x} - 1 \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{2x-2}{4-x} - \frac{4-x}{4-x} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{(2x-2)-(4-x)}{4-x} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{3x-6}{4-x} \geq 0 \end{split} Pembuat 0 pertidaksamaan di atas adalah x = 2 dan x = 4, kemudian uji pada garis bilangan x ≥ 2 diperoleh x ≤ 4, sehingga diperoleh penyelesaian 2 ≤ x < 4...(1)

Jika x < 2 dan x ≠ 0 \begin{split} & \frac{|x-2|+x}{2-|x-2|} \geq 1\\ \Rightarrow & \frac{-(x-2)+x}{2+(x-2)} \geq 1\\ \Rightarrow & \frac{2}{x} \geq 1\\ \Rightarrow & \frac{2}{x} - 1 \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{2}{x} - \frac{x}{x} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{2-x}{x} \geq 0 \end{split} Pembuat 0 pertidaksamaan di atas adalah x = 0 dan x = 2, kemudian uji pada garis bilangan x < 2 diperoleh penyelesaian 0 < x < 2...(2)

Dengan menggabungkan penyelesaian (1) dan (2) diperoleh semua bilangan real x yang memenuhi adalah 0 < x < 4

Click to comment