Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Misalkan m dan n adalah bilangan bulat dan merupakan akar-akar persamaan x2 − 10xb = 0, maka nilai b agar mn maksimum adalah ...

Pembahasan
Dengan menggunakan rumus vieta m + n = 10

Agar mn maksimum sesuai syarat di atas maka haruslah m = n = 5. Jadi nilai maksimum dari mn adalah 25

Soal #47
Jika A2x = 2, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots$

Pembahasan
Jika A2x = 2 maka Ax = √2. Oleh karena itu \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \frac{31}{18} \end{split} Referensi: Eksponen, Bentuk Akar

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 334: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis y = mx membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan AB = CD sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & m=2 \end{split}

Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi $-1 < \dfrac{x+1}{x-1} < 1$ adalah ...

Pembahasan
Pertidaksamaan di atas terdiri dari dua pertidaksamaan yaitu \(-1 < \dfrac{x+1}{x-1}\) dan \(\dfrac{x+1}{x-1} < 1\). Oleh karena itu akan diselesaikan kedua pertidaksamaan tersebut dan solusi akhirnya adalah irisan dari kedua himpunan penyelesaian dari dua pertidaksamaan. \begin{split} & -1 < \frac{x+1}{x-1}\\ \Rightarrow & \frac{x+1}{x-1}+1 > 0\\ \Rightarrow & \frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x-1} > 0\\ \Rightarrow & \frac{2x}{x-1} > 0\\ \Rightarrow & x < 0 \vee x > 1 \end{split} \begin{split} & \frac{x+1}{x-1} < 1\\ \Rightarrow & \frac{x+1}{x-1} - 1 < 0\\ \Rightarrow & \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x-1} < 0\\ \Rightarrow & \frac{2}{x-1} < 0\\ \Rightarrow & x < 1 \end{split} Jadi semua bilangan real \(x\) yang memenuhi adalah \(x < 0\)

Referensi: Pertidaksamaan

Soal #50
Jika grafik y = x2 − (9+a)x + 9a diperoleh dari grafik fungsi y = x2 − 2x − 3 melalui pencerminan terhadap garis x = 4, maka a = ...

Pembahasan
Titik (x,y) diceriminkan terhadap garis x = 4 menghasilkan bayangan (x',y') dengan x' = 8 − x dan y' = y

Oleh karena itu substitusikan y = y' dan x = 8 − x' ke persamaan y = x2 − 2x − 3 sehingga diperoleh y' = (8−x')2 − 2(8−x') − 3 atau y' = x'2 − 14x' + 45

Dengan menyamakan koefisien y = x2 − (9+a)x + 9a dan y' = x'2 − 14x' + 45 diperoleh 9a = 45 atau 9 + a = 14

Jadi nilai a = 5

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...

Pembahasan
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72

Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Diberikan fungsi f(x) = ax − 1 dan g(x) = x + 1. Jika (fg)(x) = (gf)(x), maka f(2) − g(1) = ...

Pembahasan
\begin{split} & (f \circ g)(x)=(g \circ f)(x)\\ \Rightarrow & f(g(x))=g(f(x))\\ \Rightarrow & f(x+1)=g(ax-1)\\ \Rightarrow & a(x+1)-1=(ax-1)+1\\ \Rightarrow & ax+a-1=ax\\ \Rightarrow & a=1 \end{split} Jadi f(2) − g(1) = (2 − 1) − (1 + 1) = −1

Soal #53
Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memnuhi g(x − 2) = f(x + 2), maka g−1(x) = ...

Pembahasan
Misalkan g(x − 2) = f(x + 2) = y maka
g−1(y) = x − 2 dan
f−1(y) = x + 2 atau x = f−1(y) − 2

akibatnya
g−1(y) = x − 2 = (f−1(y) − 2) − 2 = f−1(y) − 4

Jadi g−1(x) = f−1(x) − 4

Soal #54
Jika matriks \(A=\begin{pmatrix}2a & 2\\-4 & a \end{pmatrix}\) dan \(B=\begin{pmatrix}2b & b\\-4 & b \end{pmatrix}\) mempunyai invers, maka semua bilangan real b yang memenuhi det(ABA−1) > 0 adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & \det(ABA^{-1}) > 0\\ \Rightarrow & \det A \det B \det A^{-1} > 0\\ \Rightarrow & \det B > 0\\ \Rightarrow & 2b^2+4b > 0\\ \Rightarrow & 2b(b+2) > 0\\ \Rightarrow & b < -2 \text{ atau } b > 0 \end{split} Referensi: Matriks, Pertidaksamaan Kuadrat

Soal #55
Bilangan log (a3b), log (a2b6), dan log (a5b7) merupakan tiga suku pertama barisan aritmetika. Jika suku ke-9 barisan tersebut adalah log (bp), maka p = ...

Pembahasan
Ketiga bilangan itu adalah barisan aritmatika maka
\begin{split} & \log (a^2b^6)-\log (a^3b)=\log (a^5b^7)-\log (a^2b^6)\\ \Rightarrow & \log \left( \frac{a^2b^6}{a^3b} \right) = \log \left( \frac{a^5b^7}{a^2b^6} \right)\\ \Rightarrow & \frac{a^2b^6}{a^3b}=\frac{a^5b^7}{a^2b^6}\\ \Rightarrow & \frac{b^5}{a}=a^3b\\ \Rightarrow & b^5=a^4b\\ \Rightarrow & b^4=a^4\\ \Rightarrow & a=b \end{split}
Dengan mensubstitusikan a = b ke tiga bilangan diperoleh tiga bilangan tersebut yaitu log (b4), log (b8), dan log (b12). Sehingga beda dari barisannya adalah \begin{split} B & =\log (b^8)-\log (b^4)\\ & =\log \left(\frac{b^8}{b^4}\right)\\ & =\log (b^4) \end{split} suku ke-9 barisan tersebut adalah log (bp) berarti \begin{split} \log (b^p)=& U_9\\ =& A+8B\\ =& \log (b^4)+8\log (b^4)\\ =& \log (b^4)+\log ((b^4)^8)\\ =& \log (b^4)+\log (b^{32})\\ =& \log (b^{36}) \end{split} Jadi p = 36

Referensi : Logaritma

Soal #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 335: MATEMATIKA DASAR
Nilai a − b + c pada persegi panjang seperti pada gambar adalah ...

Pembahasan
Perhatikan segitiga PTS dan segitiga STR dari gambar di atas
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 335: MATEMATIKA DASAR

Kedua segitiga di atas sebangun, jadi berlaku hubungan \begin{split}
& \frac{ST}{PT}=\frac{TR}{TS}\\
\Rightarrow & \frac{b}{9}=\frac{16}{b}\\
\Rightarrow & b^2=144\\
\Rightarrow & b=12
\end{split} Dengan rumus pythagoras diperoleh c = 20 dan a = 15

Jadi a − b + c = 15 − 12 + 20 = 23

Soal #57
Dalam suatu kelas terdapat 23 siswa. Rata-rata nilai kuis aljabar mereka adalah 7. Terdapat hanya 2 orang yang memperoleh nilai yang sama yang merupakan nilai tertinggi, serta hanya 1 orang yang memperoleh nilai terendah. Rata-rata nilai mereka berkurang 0,1 jika semua nilai tertinggi dan nilai terendah dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan cacah satu angka, maka jangkauan data yang mungkin adalah ...

Pembahasan
23 siswa dengan rata-rata 7 maka total nilainya adalah 23 × 7 = 161

Misalkan yang tertinggi adalah x dan yang terendah y, maka total nilai 20 siswa sisanya adalah 161 − 2xy dengan rata-rata 7 − 0.1 = 6,9, akibatnya \begin{split} & \frac{161-2x-y}{20}=6.9\\ \Rightarrow & 161-2x-y=138\\ \Rightarrow & 2x+y=23 \end{split} Karena x bilangan cacah satu angka maka nilai x yang mungkin hanya 9 atau 8.
Jika x = 9 maka y = 5 sehingga jangkauannya = 4
Jika x = 8 maka y = 7, tetapi 7 tidak mungkin menjadi nilai terendah karena rata-ratanya juga 7

Jadi jangkauan data yang mungkin hanya sebanyak 1 (tidak ada di pilihan jawaban)

Soal #58
Diketahui f(x) = x2 + ax + b. Jika $\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x+2}{f(x)}=-\dfrac{1}{5}$ maka a + b = ...

Pembahasan
Dengan aturan L'Hospital diperoleh \begin{split} & \lim_{x \to -2} \dfrac{x+2}{x^2+ax+b}=-\dfrac{1}{5}\\ \Rightarrow & \lim_{x \to -2} \dfrac{1}{2x+a}=-\dfrac{1}{5}\\ \Rightarrow & \dfrac{1}{-4+a}=-\dfrac{1}{5}\\ \Rightarrow & a=-1 \end{split} Limit pada soal di atas memiliki nilai berarti limit tersebut merupakan bentuk 0/0 akibatnya \begin{split} & \lim_{x \to -2}\limits x^2+ax+b =0\\ \Rightarrow & 4 -2a+b=0\\ \Rightarrow & 6+b=0\\ \Rightarrow & b=-6 \end{split} Jadi a + b = −7

Soal #59
Sistem persamaan x + 2y = a, 2x + 3y = b dan 5x + 8y = c memiliki solusi untuk c = ...

Pembahasan
Dengan menyeleseikan sistem persamaan linier dua variabel
x + 2y = a
2x + 3y = b
untuk x dan y diperoleh
x = 2b − 3a dan y = 2ab
substitusikan nilai x dan y ke 5x + 8y = c diperoleh c = 5(2b − 3a) + 8(2ab) = 10b − 15a + 16a − 8b = a + 2b

Soal #60
Semua bilangan real x yang memenuhi $\dfrac{|x-2|+x}{2-|x-2|} < 1$

Pembahasan
Jika x ≥ 2 dan x ≠ 4 \begin{split} & \frac{|x-2|+x}{2-|x-2|} < 1\\ \Rightarrow & \frac{(x-2)+x}{2-(x-2)} < 1\\ \Rightarrow & \frac{2x-2}{4-x} < 1\\ \Rightarrow & \frac{2x-2}{4-x} - 1 < 0\\ \Rightarrow & \frac{2x-2}{4-x} - \frac{4-x}{4-x} < 0\\ \Rightarrow & \frac{(2x-2)-(4-x)}{4-x)} < 0\\ \Rightarrow & \frac{3x-6}{4-x} < 0 \end{split} Pembuat 0 pertidaksamaan di atas adalah x = 2 dan x = 4, kemudian uji pada garis bilangan x ≥ 2 diperoleh penyelesaian x > 4

Jika x < 2 dan x ≠ 0 \begin{split} & \frac{|x-2|+x}{2-|x-2|} < 1\\ \Rightarrow & \frac{-(x-2)+x}{2+(x-2)} < 1\\ \Rightarrow & \frac{2}{x} < 1\\ \Rightarrow & \frac{2}{x)} - 1 < 0\\ \Rightarrow & \frac{2}{x} - \frac{x}{x} < 0\\ \Rightarrow & \frac{2-x}{x} < 0 \end{split} Pembuat 0 pertidaksamaan di atas adalah x = 0 dan x = 2, kemudian uji pada garis bilangan x < 2 diperoleh penyelesaian x < 0

Jadi semua bilangan real x yang memenuhi adalah x < 0 atau x > 4

Click to comment