Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Misalkan dua persamaan kuadrat mempunyai satu akar yang sama, yaitu 2 dan akar-akar lainnya berkebalikan. Jika salah satu persamaan itu adalah x2ax + 6 = 0, maka persamaan kuadrat lainnya adalah . . .

Pembahasan
Persamaan kuadrat I memiliki akar x = 2 dan x = p
Persamaan kuadrat II memiliki akar x = 2 dan x = $\dfrac{1}{p}$

2 adalah akar dari x2ax + 6 = 0 maka 22 − 2a + 6 = 0, diperoleh a = 5 sehingga persamaan kuadrat pertama adalah \begin{split} & x^2-5x+6=0\\ \Rightarrow & (x-3)(x-2)=0\\ \Rightarrow & x = 3 \vee x = 2 \end{split} diperoleh p = 3. akibatnya akar-akar persamaan kuadrat II adalah x = 2 dan x = $\dfrac{1}{3}$

Persamaan kuadrat II: \begin{split} & (x-2)\left(x-\frac{1}{3}\right)=0\\ \Rightarrow & x^2-\frac{7}{3}x +\frac{2}{3}=0\\ \Rightarrow & 3x^2-7x+2=0 \end{split} Jadi persamaan kuadrat kedua adalah 3x2 − 7x + 2 = 0

Soal #47
Jika A2x = 2, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots$

Pembahasan
Jika A2x = 2 maka Ax = √2. Oleh karena itu \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \frac{31}{18} \end{split} Referensi: Eksponen, Bentuk Akar

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 334: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis y = mx membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan AB = CD sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & m=2 \end{split}

Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi $\dfrac{x}{2-x} > \dfrac{2+x}{x}$ adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & \frac{x}{2-x} > \frac{2+x}{x}\\ \Rightarrow & \frac{x}{2-x} - \frac{2+x}{x} > 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2-(2-x)(2+x)}{x(2-x)} > 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2-4+x^2)}{x(2-x)} > 0\\ \Rightarrow & \frac{2x^2-4}{x(2-x)} > 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2-2}{x(2-x)} > 0\\ \Rightarrow & \frac{(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})}{x(2-x)} > 0 \end{split} Pembuat 0 dari pertidaksamaan di atas adalah −√2, 0, √2 dan 2. Kemudian uji pada garis bilangan sehingga diperoleh semua nilai x yang memenuhi adalah −√2 < x < 0 atau √2 < x < 2

Referensi: Pertidaksamaan

Soal #50
Jika grafik y = x2 − (9+a)x + 9a diperoleh dari grafik fungsi y = x2 − 2x − 3 melalui pencerminan terhadap garis x = 4, maka a = ...

Pembahasan
Titik (x,y) diceriminkan terhadap garis x = 4 menghasilkan bayangan (x',y') dengan x' = 8 − x dan y' = y

Oleh karena itu substitusikan y = y' dan x = 8 − x' ke persamaan y = x2 − 2x − 3 sehingga diperoleh y' = (8−x')2 − 2(8−x') − 3 atau y' = x'2 − 14x' + 45

Dengan menyamakan koefisien y = x2 − (9+a)x + 9a dan y' = x'2 − 14x' + 45 diperoleh 9a = 45 atau 9 + a = 14

Jadi nilai a = 5

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...

Pembahasan
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72

Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Diberikan f(x) = axb dan g(x) = cx + b dengan a, b dan c adalah bilangan-bilangan real positif. Syarat agar f(g(x)) > g(f(x)) adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & f(g(x)) > g(f(x))\\ \Leftrightarrow & f(cx+b) > g(ax-b)\\ \Leftrightarrow & a(cx+b)-b > c(ax-b)+b\\ \Leftrightarrow & acx+ab-b > acx-bc+b\\ \Leftrightarrow & ab-b > -bc+b\\ \Leftrightarrow & a-1 > -c+1\\ \Leftrightarrow & a+c > 2 \end{split}

Soal #53
Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memenuhi f(2x) = g(x − 3), maka f−1(x) = ...

Pembahasan
Misalkan f(2x) = g(x − 3) = y maka f−1(y) = 2x dan g−1(y) = x − 3

g−1(y) = x − 3 maka x = g−1(y) + 3

sehingga f−1(y) = 2x = 2(g−1(y) + 3)

Jadi f−1(x) = 2g−1(x) + 6

Soal #54
Jika matriks \(A=\begin{pmatrix}2a & 2\\-4 & a \end{pmatrix}\) dan \(B=\begin{pmatrix}2b & b\\-4 & b \end{pmatrix}\) mempunyai invers, maka semua bilangan real b yang memenuhi det(ABA-1) > 0 adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & \det(ABA^{-1}) > 0\\ \Rightarrow & \det A \det B \det A^{-1} > 0\\ \Rightarrow & \det B > 0\\ \Rightarrow & 2b^2+4b > 0\\ \Rightarrow & 2b(b+2) > 0\\ \Rightarrow & b < -2 \text{ atau } b > 0 \end{split} Referensi: Matriks, Pertidaksamaan Kuadrat

Soal #55
Diketahui jumlah 2n bilangan bulat positif pertama adalah 155 lebih banyak dari jumlah n bilangan bulat positif pertama. Jumlah 4n bilangan bulat positif pertama adalah ...

Pembahasan
Jumlah n bilangan bulat positif pertama bisa dihitung menggunakan rumus deret aritmatika dengan suku pertama 1 dan beda 1 yaitu \begin{split} S_n & = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b)\\ & = \frac{n}{2}(2 \cdot 1 + (n-1)\cdot 1)\\ & = \frac{n}{2}(1+n) \end{split} Jumlah 2n bilangan bulat positif pertama adalah 155 lebih banyak dari jumlah n bilangan bulat positif pertama berarti \begin{split} & S_{2n}-S_n=155\\ \Rightarrow & \left( \frac{2n}{2}(1+2n) \right) - \left( \frac{n}{2}(1+n) \right)=155\\ \Rightarrow & \left( n+2n^2 \right) - \left( \frac{n}{2}(1+n) \right)=155\\ \Rightarrow & n+2n^2 - \frac{n}{2}(1+n)=155\\ \Rightarrow & 2n+4n^2 - n(1+n)=310\\ \Rightarrow & 2n+4n^2 - n-n^2=310\\ \Rightarrow & 3n^2 + n - 310 =0\\ \Rightarrow & (n-10)(3n+31) =0\\ \Rightarrow & n=10 \text{ atau } n=\frac{-31}{3} \end{split} Karena bilangan bulat positif maka n = 10, Jadi Jumlah 4n = 40 bilangan bulat positif pertama adalah \begin{split} S_{40} & = \frac{40}{2}(1+40)\\ & = 20\cdot 21\\ & = 420 \end{split}

Soal #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 334: MATEMATIKA DASAR
Persegi ABCD mempunyai panjang sisi 4 cm seperti pada gambar. Luas daerah yang diarsir adalah ... cm2

Pembahasan
Luas segi empat ABCD = 4 × 4 = 16

Luas lingkaran besar = π⋅22 = 4π

Sehingga luas arsiran yang lebih luar = 16 − 4π \begin{split} EF & = \sqrt{ED^2+DF^2}\\ & = \sqrt{2^2+2^2}\\ & = \sqrt{8}\\ & = 2\sqrt{2}\\ \end{split} Oleh karena itu luas segi empat EFGH = 2√2 × 2√2 = 8

dan luas lingkaran kecil = π⋅√22 = 2π

luas arsiran yang dalam = 8 − 2π

Jadi luas arsiran total = 16 − 4π + 8 − 2π = 24 − 6π cm2

Soal #57
Dalam suatu kelas terdapat 30 siswa. Rata-rata nilai mata pelajaran statistika mereka adalah 8. Rata-rata nilai tersebut tetap sama meskipun satu nilai terendah dan tertinggi dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan bulat positif yang tidak lebih besar dari 10 dan tidak semua siswa memperoleh nilai yang sama, maka nilai terendah yang mungkin ada sebanyak ...

Pembahasan
Total nilai 30 siswa adalah 30 × 8 = 240

Misalkan nilai yang terkecil adalah a dan yang terbesar adalah b maka \begin{split} & \frac{240-a-b}{28}=8\\ \Rightarrow & 240-a-b=224\\ \Rightarrow & a+b=16 \end{split} Sehingga pasangan bilangan (a,b) yang memenuhi hanyalah (7,9) dan (6,10), oleh karena itu nilai terendah yang mungkin adalah 6 atau 7. Jadi nilai terendah yang mungkin ada sebanyak 2

Soal #58
Jika a dan b bilangan bulat, serta \(\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2-x-b}{2-x}=a\), maka ba = ...

Pembahasan
Bentuk limit di atas merupakan bentuk tak tentu 0/0 oleh karena itu \begin{split} & \lim_{x \to 2} x^2-x-b = 0\\ \Rightarrow & 4-2-b=0\\ \Rightarrow & b=2 \end{split} Dengan aturan L'Hospital \begin{split} a = & \lim_{x \to 2} \frac{x^2-x-2}{2-x}\\ = & \lim_{x \to 2} \frac{2x-1}{-1}\\ = & \frac{3}{-1}\\ = & -3 \end{split} Jadi ba = 2 + 3 = 5

Soal #59
Jika 2x + 3y = 13, 3x + 2y = 12, ax + by = 13, dan −ax + by = 5, maka 2ab = ...

Pembahasan
Dengan menyelesaikan SPLDV

2x + 3y = 13
3x + 2y = 12

diperoleh nilai x = 2 dan y = 3. Substitusikan nilai x dan y ke dua persamaan berikutnya

2a + 3b = 13
−2a + 3b = 5

Kemudian selesaikan sehingga diperoleh a = 2 dan b = 3.

Jadi 2ab = 4 − 3 = 1

Soal #60
Semua bilangan real x yang memenuhi |x + 2| + x2 < 4 adalah ...

Pembahasan
Jika x + 2 ≥ 0 atau x ≥ −2 maka \begin{split} & |x+2|+x^2 < 4\\ \Rightarrow & x^2+x+2 < 4\\ \Rightarrow & x^2+x-2 < 0\\ \Rightarrow & (x+2)(x-1) < 0\\ \Rightarrow & -2 < x < 1 \end{split} Pertidaksamaan terakhir di atas memenuhi x ≥ −2

Jika x < −2 \begin{split} & |x+2|+x^2 < 4\\ \Rightarrow & x^2-x-2 < 4\\ \Rightarrow & x^2-x-6 < 0\\ \Rightarrow & (x-3)(x+2) < 0\\ \Rightarrow & -2 < x < 3 \end{split} Pertidaksamaan terakhir di atas tidak memenuhi x < −2

Jadi semua bilangan real x yang memenuhi hanyalah −2 < x < 1

Referensi: Pertidaksamaan

Click to comment