Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Diketahui 1 − √3 adalah salah satu akar x2ax + b = 0 dengan b bilangan real positif dan a suatu bilangan bulat. Nilai terbesar a adalah ...

Pembahasan
Misalkan persamaan kuadrat di atas memiliki akar x1 = 1 − √3 dan x2 dan dengan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat diperoleh \begin{split} & x_1 + x_2 = a\\ \Rightarrow & (1-\sqrt{3})+x_2 = a \end{split} Karena a bilangan bulat maka haruslah x2 = p + √3 untuk suatu p bilangan bulat sehingga persamaan di atas menjadi \begin{split} & (1-\sqrt{3})+(p+\sqrt{3}) = a\\ \Rightarrow & 1+p=a \end{split} b bilangan real positif berarti \begin{split} & x_1 x_2 = b > 0\\ \Rightarrow & (1-\sqrt{3})(p+\sqrt{3}) > 0\\ \Rightarrow & p+\sqrt{3} < 0\\ \Rightarrow & p < -\sqrt{3} \end{split} Karena p bilangan bulat maka p ∈ {−2,−3,−4,...}

Jadi nilai terbesar untuk a adalah p + 1 = −2 + 1 = −1

Soal #47
Jika A2x = 2, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots$

Pembahasan
Jika A2x = 2 maka Ax = √2. Oleh karena itu \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \frac{31}{18} \end{split} Referensi: Eksponen, Bentuk Akar

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 333: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis y = mx membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan AB = CD sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & m=2 \end{split}

Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi $\dfrac{8}{x} - \dfrac{15}{2x+1} \geq 1$ adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & \dfrac{8}{x} - \dfrac{15}{2x+1} \geq 1\\ \Rightarrow & \dfrac{8(2x+1)}{x(2x+1)} - \dfrac{15x}{x(2x+1)} \geq 1\\ \Rightarrow & \dfrac{8(2x+1)-15x}{x(2x+1)} \geq 1\\ \Rightarrow & \dfrac{16x+8-15x}{x(2x+1)} - 1 \geq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x+8}{x(2x+1)} - \dfrac{x(2x+1)}{x(2x+1)} \geq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x+8-x(2x+1)}{x(2x+1)} \geq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x+8-2x^2-x}{x(2x+1)} \geq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{8-2x^2}{x(2x+1)} \geq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x^2-4}{x(2x+1)} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x+2)(x-2)}{x(2x+1)} \leq 0 \end{split} Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah x = −2, x = −1/2, x = 0 dan x = 2. Uji pada garis bilangan diperoleh −2 ≤ x ≤ −1/2 atau 0 ≤ x ≤ 2. Agar penyebut tidak 0 maka haruslah x ≠ 0 dan x ≠ −1/2, sehingga penyelesaiannya menjadi −2 ≤ x < −1/2 atau 0 < x ≤ 2

Referensi: Pertidaksamaan

Soal #50
Jika grafik y = x2 − (9+a)x + 9a diperoleh dari grafik fungsi y = x2 − 2x − 3 melalui pencerminan terhadap garis x = 4, maka a = ...

Pembahasan
Titik (x,y) diceriminkan terhadap garis x = 4 menghasilkan bayangan (x',y') dengan x' = 8 − x dan y' = y

Oleh karena itu substitusikan y = y' dan x = 8 − x' ke persamaan y = x2 − 2x − 3 sehingga diperoleh y' = (8−x')2 − 2(8−x') − 3 atau y' = x'2 − 14x' + 45

Dengan menyamakan koefisien y = x2 − (9+a)x + 9a dan y' = x'2 − 14x' + 45 diperoleh 9a = 45 atau 9 + a = 14

Jadi nilai a = 5

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...

Pembahasan
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72

Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Jika tabel berikut menyatakan hasil fungsi f dan g
x 0 1 2 3
f(x) 1 3 0 2
g(x) 0 3 2 1
maka (f∘g∘f)(1) + (g∘f∘g)(2) = ...

Pembahasan
(f∘g∘f)(1) + (g∘f∘g)(2) = f(g(f(1))) − g(f(g(2)))
= f(g(3)) − g(f(2))
= f(1) − g(2)
= 3 − 2
= 1

Soal #53
Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memenuhi f(x + 2) = g(x), maka f −1(x) = ...

Pembahasan
Misalkan f(x + 2) = g(x) = y maka

f −1(y) = x + 2 dan
g −1(y) = x atau x = g −1(y) ...(1)

Substitusikan persamaan (1) ke f −1(y) = x + 2 diperoleh
f −1(y) = x + 2 = g −1(y) + 2

Jadi f −1(x) = g −1(x) + 2

Soal #54
Jika $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, maka $B\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}=\ldots$

Pembahasan
Misalkan $B=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
\begin{split} & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{split}

\begin{split} & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{split}
Matriks $B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, Jadi \begin{split} B\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}= & \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\\ =& \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{split}Referensi : Matriks

Soal #55
Diketahui x, y, z adalah barisan aritmatika dengan beda b dan x + y + z = 9. Jika xyz + 21 = 0, maka nilai b terkecil adalah...

Pembahasan
x, y, z adalah barisan aritmatika dengan beda b maka x = yb dan z = y + b. \begin{split}
& x+y+z=12\\
\Rightarrow & (y-b)+y+(y+b)=9\\
\Rightarrow & 3y = 9
\Rightarrow & y = 3 \end{split}
\begin{split}
& xyz=28\\
\Rightarrow & (3-b)\cdot 3\cdot (3-b)=-21\\
\Rightarrow & (3-b)(3-b)=-7\\
\Rightarrow & 9-b^2=-7\\
\Rightarrow & 1b^2=16\\
\Rightarrow & b=4 \text{ atau } b=-4\\
\end{split} Jadi nilai b terkecil adalah −4

Soal #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 333: MATEMATIKA DASAR
Pada trapesium sama kaki ABCD, AB sejajar dengan CD. AB = 2 cm, dan CD = 10 cm, serta M terletak di CD dengan BM = BC seperti pada gambar. Jika luas segiempat ABMD adalah 6 cm2, maka keliling trapesium ABCD adalah ... cm

Pembahasan
Karena ABMD adalah trapesium sama kaki maka BM = BC = AD, akibatnya ABMD merupakan sebuah jajar genjang dengan luas 6 cm2.

Luas = 6 cm2.
maka AB × t = 6. Karena AB = 2 maka 2t = 6 atau t = 3, ilustrasinya seperti berikut ini
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 333: MATEMATIKA DASAR
Dari ilustrasi di atas dan dengan menggunakan rumus pythagoras diperoleh BC = AD = 5

Jadi Keliling trapesium ABCD adalah AB + BC + CD + DA = 2 + 5 + 10 + 5 = 22

Soal #57
Jangkauan dan rata-rata nilai ujian 6 siswa adalah 6. Jika median data tersebut adalah 6 dan selisih antara kuartil ke-1 dan ke-3 adalah 4, maka jumlah dua nilai ujian tertinggi adalah ...

Pembahasan
Misalkan nilai 6 siswa tersebut telah diurutkan yaitu a, b, c, d, e, dan f. maka jumlah dua nilai tertinggi adalah e + f

Jangkauan 6 berarti fa = 6 atau a = f − 6...(1)

Rata-rata 6 berarti (a + b + c + d + e + f )/6 = 6 atau
a + b + c + d + e + f = 36 ...(2)

Median 6 berarti (c + d)/2 = 6 atau c + d = 12 ...(3)

Q1 = b, Q3 = e dan selisihnya adalah 4 berarti eb = 4 atau b = e − 4...(4)

Kurangkan persamaan (2) dan (3) diperoleh
a + b + e + f = 24...(5)

Substitusikan persamaan (1) dan (4) ke persamaan (5) diperoleh
f − 6 + e − 4 + e + f = 24 atau 2e + 2f = 34

Jadi jumlah dua nilai tertinggi adalah e + f = 17

Soal #58
Jika f(x) = x2 + ax + b dengan f(1) = 0 dan $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(x+1)-f(x)}{x-1}=2$, maka b = ...

Pembahasan
f(1) = 0 maka 12 + a⋅1 + b = 0 atau a + b = −1

Bentuk limit di atas merupakan bentuk 0/0 oleh karena itu \begin{split}
& \lim_{x \to 1} f(x+1)-f(x) = 0\\
\Rightarrow & f(2)-f(1)=0\\
\Rightarrow & (4+2a+b)-(1+a+b)=0\\
\Rightarrow & 3+a=0\\
\Rightarrow & a = -3
\end{split} Substitusi a = −3 ke persamaan a + b = −1 diperoleh nilai b =  2

Soal #59
Jika ax + y = 4, x + by = 7, dan ab = 2, maka x − y = ...

Pembahasan
Kalikan persamaan pertama dengan b diperoleh abx + by = 4b atau 2x + by = 4b

Dengan menyelesaikan SPLDV
2x + by = 4b
x + by = 7
diperoleh x = 4b − 7

Kalikan persamaan kedua dengan a diperoleh ax + aby = 7a atau ax + 2y = 7a

Dengan menyelesaikan SPLDV
ax + 2y = 7a
ax + y = 4
diperoleh y = 7a − 4

Jadi x − y = (4b − 7) − (7a − 4) = 4b − 7a − 3

Soal #60
Semua bilangan real x yang memenuhi |x − 2| > x2 − 4 adalah

Pembahasan
Jika x ≥ 2 \begin{split} & |x-2| > x^2-4\\ \Rightarrow & x-2 > x^2-4\\ \Rightarrow & x^2-x-2 < 0\\ \Rightarrow & (x-2)(x+1) < 0\\ \Rightarrow & -1 < x < 2 \end{split} Tidak ada x ≥ 2 yang memenuhi pertidaksamaan di atas

Jika x < 2 \begin{split} & |x-2| > x^2-4\\ \Rightarrow & -x+2 > x^2-4\\ \Rightarrow & x^2+x-6 < 0\\ \Rightarrow & (x+3)(x-2) < 0\\ \Rightarrow & -3 < x < 2 \end{split} Jadi bilangan real x yang memenuhi adalah −3 < x < 2

Referensi: Pertidaksamaan

Click to comment