Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Diketahui 1 + √2 adalah salah satu akar x2 + ax + b = 0 dengan b bilangan real negatif dan a suatu bilangan bulat. Nilai terkecil a adalah ...

Pembahasan
Misalkan persamaan kuadrat di atas memiliki akar x1 = 1 + √2 dan x2 maka \begin{split} & x_1 + x_2 = a\\ \Rightarrow & 1+\sqrt{2}+x_2 = -a \end{split} Karena a bilangan bulat maka haruslah x2 = p + √2 untuk suatu bilangan bulat p; akibatnya 1 + p = −a atau a = −1 − p

b bilangan real negatif \begin{split} & x_1 \cdot x_2 = b < 0\\ \Rightarrow & (1+\sqrt{2})(p-\sqrt{2}) < 0\\ \Rightarrow & p-\sqrt{2} < 0\\ \Rightarrow & p < \sqrt{2} \end{split} Karena p bilangan bulat maka p ∈ {1, 0, −1, −2, ...}

Oleh karena itu ∈ {−2, −1, 0, 1,...}

Jadi nilai terkecil a adalah −2

Referensi : Persamaan Kuadrat

Soal #47
Jika A2x = 2, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots$

Pembahasan
Jika A2x = 2 maka Ax = √2. Oleh karena itu \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \frac{31}{18} \end{split} Referensi: Eksponen, Bentuk Akar

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 331: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis y = mx membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan AB = CD sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & m=2 \end{split}

Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi $\dfrac{x}{x-3} \leq \dfrac{x+3}{x+2}$ adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & \frac{x}{x-3} \leq \frac{x+3}{x+2}\\ \Rightarrow & \frac{x}{x-3}-\frac{x+3}{x+2} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{x(x+2)-(x+3)(x-3)}{(x-3)(x+2)} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2+2x-(x^2-9)}{(x-3)(x+2)} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{2x+9}{(x-3)(x+2)} \leq 0 \end{split} Pembuat 0 nya adalah x = −9/2, x = −2 dan x = 3. Kemudian uji pada garis bilangan diperoleh x ≤ −9/2 atau −2 ≤ x ≤ 3, tetapi pertidaksamaan di atas mensyaratkan penyebut tidak sama dengan nol atau x ≠ 2 dan x ≠ 3

Jadi semua bilangan real yang memenuhi adalah x ≤ −9/2 atau −2 < x < 3

Referensi: Pertidaksamaan

Soal #50
Jika grafik y = x2 − (9+a)x + 9a diperoleh dari grafik fungsi y = x2 − 2x − 3 melalui pencerminan terhadap garis x = 4, maka a = ...

Pembahasan
Titik (x,y) diceriminkan terhadap garis x = 4 menghasilkan bayangan (x',y') dengan x' = 8 − x dan y' = y

Oleh karena itu substitusikan y = y' dan x = 8 − x' ke persamaan y = x2 − 2x − 3 sehingga diperoleh y' = (8−x')2 − 2(8−x') − 3 atau y' = x'2 − 14x' + 45

Dengan menyamakan koefisien y = x2 − (9+a)x + 9a dan y' = x'2 − 14x' + 45 diperoleh 9a = 45 atau 9 + a = 14

Jadi nilai a = 5

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...

Pembahasan
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72

Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Diberikan \(f(x)=\frac{1}{x-1}\) dan g(x) = x + 1. Semua bilangan real x yang memenuhi (fg)(x) < f(x)g(x) adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & (f \circ g)(x) < f(x)g(x)\\ \Rightarrow & \frac{1}{(x+1)-1} < \frac{1}{x-1} \cdot (x+1)\\ \Rightarrow & \frac{1}{x} < \frac{x+1}{x-1}\\ \Rightarrow & \frac{1}{x} - \frac{x+1}{x-1} < 0\\ \Rightarrow & \frac{(x-1)-x(x+1)}{x(x-1)} < 0\\ \Rightarrow & \frac{x-1-x^2-x)}{x(x-1)} < 0\\ \Rightarrow & \frac{-1-x^2}{x(x-1)} < 0\\ \Rightarrow & \frac{1}{x(x-1)} > 0\\ \end{split} Pembuat 0 pada pertidaksamaan di atas adalah 0 dan 1, Kemudian uji pada garis bilangan sehingga ditemukan solusi x < 0 atau x > 1

Jadi semua bilangan real x yang memenuhi adalah x < 0 atau x > 1

Referensi: Pertidaksamaan

Soal #53
Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memenuhi f(x + 2) = g(x − 3), maka f −1(x) = ...

Pembahasan
Misalkan f(x + 2) = g(x − 3) = y maka

f −1(y) = x + 2 dan
g −1(y) = x − 3 atau x = g −1(y) + 3 ...(1)

Substitusikan persamaan (1) ke f −1(y) = x + 2 diperoleh
f −1(y) = x + 2 = (g −1(y) + 3) + 2 = g −1(y) + 5

Soal #54
Jika matriks \(A=\begin{pmatrix} a & b\\c & d\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix} 2c & 2d\\a+c & b+d\end{pmatrix}\), dan det(A)=5 maka det(B) = ...

Pembahasan
det(A) = 5 maka adbc = 5 \begin{split} & \det(B)\\ = & 2c(b+d)-2d(a+c)\\ = & 2bc+2cd-2ad-2cd\\ = & 2bc-2ad\\ = & -2(ad-bc)\\ = & -2 \cdot 5 = -10 \end{split} Referensi: Matriks

Soal #55
Misalkan Uk dan Sk berturut-turut menyatakan suku ke-k dan jumlah k suku pertama suatu barisan aritmetika. Jika U2 − U4 + U6 − U8 + U10 − U12 + U14 − U16 + U18 = 20 maka S19 = ...

Pembahasan
\begin{split}
& U_2-U_4+U_6-U_8+U_{10}\\
& -U_{12}+U_14-U_{16}+U_{18}=20\\
\Rightarrow & (a+b)-(a+3b)+(a+5b)-(a+7b)+(a+9b)\\
&-(a+11b)+(a+13b)-(a-15b)+(a+17b)=20\\
\Rightarrow & a+9b=20
\end{split}
\begin{split} S_{19} & =\frac{19}{2}(2a+18b)\\ & = 19(a+9b)\\ & = 19 \cdot 20 = 380\end{split}

Soal #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 331: MATEMATIKA DASAR
Titik X, Y, Z terletak pada segitiga ABC dengan AZ = AY, BZ = BX, dan CX = CY seperti pada gambar. Jika AB, AC, dan BC berturut-turut adalah 4 cm, 3 cm dan 5 cm, maka luas segitiga CXY adalah . . . cm2

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 331: MATEMATIKA DASAR
Berdasarkan gambar di atas diperoleh BX + XC = 5 atau 4 − x + 3 − x = 5, dari persamaan ini diperoleh x = AZ = AY = 1

Dengan panjang sisi 3, 4 dan 5 maka ABC merupakan segitiga siku-siku di A, oleh karena itu $\sin C = \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{5}$

Sehingga luas segitga CXY adalah $\dfrac{1}{2}$ ⋅ CX ⋅ CY sin C = $\dfrac{1}{2}$ ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ $\dfrac{4}{5}$ = $\dfrac{8}{5}$

Referensi: 5 cara menghitung luas segitiga

Soal #57
Nilai kuis geometri di suatu kelas dengan 38 siswa berupa berupa bilangan bulat positif yang tidak lebih besar dari 10. Rata-rata nilai kuis tersebut adalah 7. Dua siswa mengikuti kuis susulan dan memperoleh nilai yang berbeda. Jika kedua nilai tersebut digabung dengan nilai kuis 38 siswa lainnya, ternyata rata-ratanya tetap 7, maka nilai siswa terendah yang mengikuti kuis susulan yang mungkin ada sebanyak ...

Pembahasan
Misalkan nilai dua nilai susulan tersebut adalah x dan y dengan x < y.

Rata-rata nilai 38 siswa adalah 7 berarti total nilai 38 siswa tersebut adalah 38 × 7 = 266.

Sehingga total nilai dari 40 siswa (38 + 2 susulan) adalah 266 + x + y

Rata-rata nilai 40 siswa di atas juga 7 berarti \begin{split}
& \dfrac{266 + x + y}{40}=7\\
\Rightarrow & 266 + x + y = 280\\
\Rightarrow & x + y =14
\end{split} Jika y = 10 maka x = 4
Jika y = 9 maka x = 5
Jika y = 8 maka x = 6
Jika y = 7 maka x = 7 (tidak mungkin karena kedua nilai berbeda)

Jadi nilai terendah dari siswa yang mengikuti ulangan susualan yang mungkin adalah 4, 5 atau 6 ada sebanyak 3

Soal #58
Diketahui f(x) = x2 + ax + b. Jika $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{f(x)}{x-3}=2$, maka ab ...

Pembahasan
Bentuk limit di atas merupakan bentuk tak tentu 0/0 yaitu $\lim\limits_{x \to 3}$ f(x) = f(3) = 0
32 + a⋅3 + b = 0 atau 3a + b = −9

Karena f'(x) = 2x + a dan menggukan aturan L'Hospital pada bentuk limit diperoleh $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{f'(x)}{1} = 2$ f'(2) = 3 atau 2⋅2 + a = 3 sehingga diperoleh a = −1

Substitusi a = −1 ke persamaan 3a + b = −9 diperoleh b = −6

Jadi a − b = −5 − (−6) = 1

Soal #59
Jika (x,y) = (1,1) dan (x,y) = (a,−2) merupakan penyelesaian 3x + y = b dan cxdy = 1, maka a + b + cd = ...

Pembahasan
Substitusi x = 1 dan y = 1 ke persamaan 3x + y = b diperoleh 3 + 1 = b atau b = 4

Substitusi x = a, y = −2 dan b = 4 ke persamaan 3x + y = b diperoleh 3a − 2 = 4, sehingga a = 2

Substitusi x = 1 dan y = 1 ke persamaan cxdy = 1 diperoleh cd = 1
Substitusi x = a = 2 dan y = 1 ke persamaan cxdy = 1 diperoleh 2cd = 1

Dengan menyelesaikan SPLDV cd = 1 dan 2cd = 1 diperoleh c = 0 dan d = −1

Jadi a + b + cd = 2 + 4 + 0 − (−1) = 7

Soal #60
Semua bilangan real yang memenuhi |x − 1| + $\dfrac{6}{x}$ < 6

Pembahasan
Jika x ≥ 1 \begin{split}
& x-1+\frac{6}{x} < 6\\
\Rightarrow &  x-1+\frac{6}{x} - 6 < 0\\
\Rightarrow & x+\frac{6}{x}-7 < 0\\
\Rightarrow & \frac{x^2-7x+6}{x} < 0\\
\Rightarrow & \frac{(x-1)(x-6)}{x} < 0\\
\end{split} Pembuat nol pada pertidaksaman di atas adalah x = 0, x = 1 dan x = 6. Dengan menguji untuk pada garis bilangan x ≥ 1 didapatkan 1 < x < 6

Jika x < 1 dan x ≠ 0 \begin{split}
& 1-x+\frac{6}{x} < 6\\
\Rightarrow & 1-x +\frac{6}{x} - 6 < 0\\
\Rightarrow & -x +\frac{6}{x} - 5 < 0\\
\Rightarrow & \frac{-x^2-5x+6}{x} < 0\\
\Rightarrow & \frac{x^2+5x-6}{x} > 0\\
\Rightarrow & \frac{(x+6)(x-1)}{x} >0
\end{split} Pembuat nol pada pertidaksaman di atas adalah x = −6, x = 0 dan x = 1. Dengan menguji untuk pada garis bilangan x < 1 dan x ≠ 0 didapatkan −6 < x < 0

Jadi nilai semua bilangan real yang memenuhi adalah −6 < x < 0 atau 1 < x < 6

Referensi: Pertidaksamaan

Click to comment