Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Diketahui 1 − √2 adalah salah satu akar x2 + ax + b = 0 dengan b bilangan real positif dan a suatu bilangan bulat. Nilai terkecil a adalah ...

Pembahasan
Misalkan persamaan kuadrat di atas memiliki akar x1 = 1 − √2 dan x2 maka \begin{split} & x_1 + x_2 = -a\\ \Rightarrow & (1-\sqrt{2})+x_2 = -a \end{split} Karena a bilangan bulat maka haruslah x2 = p + √2 untuk suatu bilangan bulat p; akibatnya \begin{split} &(1-\sqrt{2})+x_2 = -a\\ \Rightarrow & (1-\sqrt{2}) + (p+\sqrt{2})=-a\\ \Rightarrow & 1+p=-a\\ \Rightarrow & a = -p-1 \end{split} b bilangan real negatif \begin{split} & x_1 \cdot x_2 = b > 0\\ \Rightarrow & (1-\sqrt{2})(p+\sqrt{2}) > 0\\ \Rightarrow & p+\sqrt{2} < 0\\ \Rightarrow & p < -\sqrt{2} \end{split} Karena p bilangan bulat maka p ∈ {−2,−3,−4,...}

Oleh karena itu a ∈ {1,2,3,...}

Jadi nilai terkecil a adalah 1

Referensi : Persamaan Kuadrat

Soal #47
Jika A2x = 2, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots$

Pembahasan
Jika A2x = 2 maka Ax = √2. Oleh karena itu \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \frac{31}{18} \end{split} Referensi: Eksponen, Bentuk Akar

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 330: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis y = mx membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan AB = CD sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & m=2 \end{split}

Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi $\dfrac{2x}{2x+3} > \dfrac{x}{x-3}$ adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & \dfrac{2x}{2x+3} > \dfrac{x}{x-3}\\ \Rightarrow & \dfrac{2x}{2x+3} - \dfrac{x}{x-3} > 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2x(x-3)-x(2x+3)}{(2x+3)(x-3)} > 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2x^2-6x-2x^2-3x}{(2x+3)(x-3)} > 0\\ \Rightarrow & \dfrac{-9x}{(2x+3)(x-3)} > 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x}{(2x+3)(x-3)} < 0\\ \Rightarrow & x < -\frac{3}{2} \text{ atau } 0 < x < 3 \end{split} Referensi: Pertidaksamaan

Soal #50
Jika grafik y = x2 − (9+a)x + 9a diperoleh dari grafik fungsi y = x2 − 2x − 3 melalui pencerminan terhadap garis x = 4, maka a = ...

Pembahasan
Titik (x,y) diceriminkan terhadap garis x = 4 menghasilkan bayangan (x',y') dengan x' = 8 − x dan y' = y

Oleh karena itu substitusikan y = y' dan x = 8 − x' ke persamaan y = x2 − 2x − 3 sehingga diperoleh y' = (8−x')2 − 2(8−x') − 3 atau y' = x'2 − 14x' + 45

Dengan menyamakan koefisien y = x2 − (9+a)x + 9a dan y' = x'2 − 14x' + 45 diperoleh 9a = 45 atau 9 + a = 14

Jadi nilai a = 5

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...

Pembahasan
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72

Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Jika fungsi f(x) = ax + b + 2 dan g(x) = ax − 4 memenuhi f(f(x)) = g(g(x)), maka ab + 6a + b = ...

Pembahasan
\begin{split} & f(f(x)) = g(g(x))\\ \Rightarrow & f(ax + b + 2) = g(ax − 4)\\ \Rightarrow & a(ax + b + 2) + b + 2 = a(ax - 4) - 4\\ \Rightarrow & a^2x + ab + 2a + b + 2 = a^2x - 4a - 4\\ \Rightarrow & ab+6a+b=-6 \end{split}


Soal #53
Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memnuhi f(x + 5) = g(2x − 1), maka 2f −1(x) = ...

Pembahasan
Misalkan f(x + 5) = g(2x − 1) = y maka f −1(y) = x + 5 dan \begin{split} & g^{-1}(y) = 2x-1\\ \Rightarrow & 2x = g^{-1}(y) +1\\ \Rightarrow & x = \frac{g^{-1}(y) +1}{2} \text{ ...(1)} \end{split} Substitusikan persamaan (1) ke f −1(y) = x + 1 diperoleh \begin{split} f^{-1}(y) & = x+5\\ & = \frac{g^{-1}(y) +1}{2}+5\\ & = \frac{g^{-1}(y) +11}{2} \end{split} Jadi 2f −1(x) = g −1(x) + 11

Soal #54
Jika $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, maka $B\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}=\ldots$

Pembahasan
Misalkan $B=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
\begin{split} & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{split}

\begin{split} & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{split}
Matriks $B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, Jadi \begin{split} B\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}= & \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\\ =& \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{split}Referensi : Matriks

Soal #55
Bilangan log (a3b), log (a2b6), dan log (a5b7) merupakan tiga suku pertama barisan aritmetika. Jika suku ke-9 barisan tersebut adalah log (bp), maka p = ...

Pembahasan
Ketiga bilangan itu adalah barisan aritmatika maka
\begin{split} & \log (a^2b^6)-\log (a^3b)=\log (a^5b^7)-\log (a^2b^6)\\ \Rightarrow & \log \left( \frac{a^2b^6}{a^3b} \right) = \log \left( \frac{a^5b^7}{a^2b^6} \right)\\ \Rightarrow & \frac{a^2b^6}{a^3b}=\frac{a^5b^7}{a^2b^6}\\ \Rightarrow & \frac{b^5}{a}=a^3b\\ \Rightarrow & b^5=a^4b\\ \Rightarrow & b^4=a^4\\ \Rightarrow & a=b \end{split}
Dengan mensubstitusikan a = b ke tiga bilangan diperoleh tiga bilangan tersebut yaitu log (b4), log (b8), dan log (b12). Sehingga beda dari barisannya adalah \begin{split} B & =\log (b^8)-\log (b^4)\\ & =\log \left(\frac{b^8}{b^4}\right)\\ & =\log (b^4) \end{split} suku ke-9 barisan tersebut adalah log (bp) berarti \begin{split} \log (b^p)=& U_9\\ =& A+8B\\ =& \log (b^4)+8\log (b^4)\\ =& \log (b^4)+\log ((b^4)^8)\\ =& \log (b^4)+\log (b^32)\\ =& \log (b^36) \end{split} Jadi p = 36

Referensi : Logaritma

Soal #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 330: MATEMATIKA DASAR
Jika ABC adalah segitiga samasisi dengan panjang sisi 8 cm dan semua daerah segitiga yang diarsir adalah kongruen seperti pada gambar, maka luas daerah yang diarsir adalah ... cm2

Pembahasan
Karena ABC merupakan segitiga samasisi maka besar setiap sudutnya adalah 60°.

Dengan menggukan rumus Luas segitga $= \dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC \sin A$ diperoleh $L \triangle = \dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 8 \cdot \sin 60^{\circ} = 16\sqrt{3}$

Segitiga ABC tersusun oleh 16 segitiga yang kongruen dengan 6 segitiga yang diarsir. Sehingga luas daerah yang diarsir $=\dfrac{6}{16} \cdot 16\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

Referensi: Cara menghitung luas segitiga

Soal #57
Dalam suatu kelas terdapat 23 siswa. Rata-rata nilai kuis aljabar mereka adalah 7. Terdapat hanya 2 orang yang memperoleh nilai yang sama yang merupakan nilai tertinggi, serta hanya 1 orang yang memperoleh nilai terendah. Rata-rata nilai mereka berkurang 0,1 jika semua nilai tertinggi dan nilai terendah dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan cacah tidak lebih daripada 10, maka nilai terendah yang mungkin ada sebanyak ...

Pembahasan
23 siswa dengan rata-rata 7 maka total nilainya adalah 23×7 = 161

Misalkan yang tertinggi adalah x dan yang terendah y, maka total nilai 20 siswa sianya adalah 161 − 2x − y. Berarti rata-ratanya adalah \begin{split} & \frac{161-2x-y}{20}=7-0.1\\ \Rightarrow & 161-2x-y=138\\ \Rightarrow & 2x+y=23 \end{split} Nilai x yang mungkin hanya 10, 9 atau 8.
Jika x = 10 maka y = 3
Jika x = 9 maka y = 5
Jika x = 8 maka y = 7, tetapi 7 tidak mungkin menjadi nilai terendah karena rata-ratanya 7

Jadi nilai yang terendah ada sebanyak dua yaitu 3 atau 5

Soal #58
Diketahui f adalah fungsi kuadrat dengan f(0) = 1 dan f(2) = 17. Jika $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=14$, maka f(3) = ...

Pembahasan
Misalkan f(x) = ax2 + bx + c. f(0) = 1 maka a⋅02 + b⋅0 + c = 1; oleh karena itu c = 1

f(2) = 17 maka a⋅22 + b⋅2 + c = 17 atau 4a + 2b + 1 = 17, kemudian sederhanakan menjadi 4a + 2b = 16 atau 2a + b = 8 ...(1)

Karena f'(x) = 2ax + b dan dengan menggunakan aturan L'Hospital pada limit diperoleh $\lim\limits_{x \to 2}$ f'(x) = 14 diperoleh 4a + b = 14 ...(3)

Dengan menyelesaikan sistem persamaan linier yang dibentuk oleh persamaan (1) dan (2) diperoleh a = 3 dan b = 2 sehingga f(x) = 3x2 + 2x + 1

Jadi f(3) = 34

Soal #59
Jika −x + 3y = 7, 4x + 3y = 17, ax + by = 7, dan ax − by = 1, maka a − b = ...

Pembahasan
Dengan menyelesaikan

−x + 3y = 7
4x + 3y = 17

diperoleh x = 2 dan y = 3, substitusikan ke dua persamaan berikutnya diperoleh

2a + 3b = 7
2a − 3b = 1

dengan menyelesaikannya didapat a = 2 dan b = 1 jadi a − b = 2 − 1 = 1

Soal #60
Semua bilangan real x yang memenuhi $\dfrac{|x-2|+x}{2-|x-2|} \geq 1$

Pembahasan
Jika x ≥ 2 dan x ≠ 4 \begin{split} & \frac{|x-2|+x}{2-|x-2|} \geq 1\\ \Rightarrow & \frac{(x-2)+x}{2-(x-2)} \geq 1\\ \Rightarrow & \frac{2x-2}{4-x} \geq 1\\ \Rightarrow & \frac{2x-2}{4-x} - 1 \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{2x-2}{4-x} - \frac{4-x}{4-x} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{(2x-2)-(4-x)}{4-x} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{3x-6}{4-x} \geq 0\\ \Rightarrow & 2 \leq x < 4 \end{split}
Jika x ≤ 2 dan x ≠ 0 \begin{split} & \frac{|x-2|+x}{2-|x-2|} \geq 1\\ \Rightarrow & \frac{-(x-2)+x}{2+(x-2)} \geq 1\\ \Rightarrow & \frac{2}{x} \geq 1\\ \Rightarrow & \frac{2}{x} - 1 \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{2}{x} - \frac{x}{x)} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{2-x}{x} \geq 0\\ \Rightarrow & 0 < x \leq 2 \end{split} Dengan menggabungkan kedua penyelesaian diperoleh 0 ≤ x ≤ 4

Referensi: Pertidaksamaan

Click to comment