Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Misalkan m dan n adalah bilangan bulat dan merupakan akar-akar persamaan x2 − 10xb = 0, maka nilai b agar mn maksimum adalah ...

Pembahasan
Dengan menggunakan rumus vieta m + n = 10

Agar mn maksimum sesuai syarat di atas maka haruslah m = n = 5. Jadi nilai maksimum dari mn adalah 25

Soal #47
Jika A2x = 2, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots$

Pembahasan
Jika A2x = 2 maka Ax = √2. Oleh karena itu \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \frac{31}{18} \end{split}

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 329: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis y = mx membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan AB = CD sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & m=2 \end{split}

Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi $-1 < \dfrac{x+1}{x-1} < 1$ adalah ...

Pembahasan
Pertidaksamaan di atas terdiri dari dua pertidaksamaan yaitu $-1 < \dfrac{x+1}{x-1}$ dan $\dfrac{x+1}{x-1} < 1$. Oleh karena itu akan diselesaikan kedua pertidaksamaan tersebut dan solusi akhirnya adalah irisan dari kedua himpunan penyelesaian dari dua pertidaksamaan. \begin{split} & -1 < \frac{x+1}{x-1}\\ \Rightarrow & \frac{x+1}{x-1}+1 > 0\\ \Rightarrow & \frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x-1} > 0\\ \Rightarrow & \frac{2x}{x-1} > 0\\ \Rightarrow & x < 0 \vee x > 1 \end{split}
\begin{split} & \frac{x+1}{x-1} < 1\\ \Rightarrow & \frac{x+1}{x-1} - 1 < 0\\ \Rightarrow & \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x-1} < 0\\ \Rightarrow & \frac{2}{x-1} < 0\\ \Rightarrow & x < 1 \end{split} Irisan dari kedua penyelesaian di atas adalah x < 0 Jadi semua bilangan real x yang memenuhi adalah x < 0

Soal #50
Jika grafik y = x2 − (9+a)x + 9a diperoleh dari grafik fungsi y = x2 − 2x − 3 melalui pencerminan terhadap garis x = 4, maka a = ...

Pembahasan
Titik (x,y) diceriminkan terhadap garis x = 4 menghasilkan bayangan (x',y') dengan x' = 8 − x dan y' = y

Oleh karena itu substitusikan y = y' dan x = 8 − x' ke persamaan y = x2 − 2x − 3 sehingga diperoleh y' = (8−x')2 − 2(8−x') − 3 atau y' = x'2 − 14x' + 45

Dengan menyamakan koefisien y = x2 − (9+a)x + 9a dan y' = x'2 − 14x' + 45 diperoleh 9a = 45 atau 9 + a = 14

Jadi nilai a = 5

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...

Pembahasan
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72

Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Jika tabel berikut menyatakan hasil fungsi f dan g
x 0 1 2 3
f(x) 1 3 1 −1
g(x) 2 0 1 2
maka (f∘g∘f)(1) + (g∘f∘g)(2) = ...

Pembahasan
(f∘g∘f)(1) + (g∘f∘g)(2) = f(g(f(1))) + g(f(g(2)))
= f(g(3)) + g(f(1))
= f(2) + g(3)
= 1 + 2
= 3

Soal #53
Suatu fungsi $f$ mempunyai invers dan grafiknya berupa garis lurus dengan gradien positif, serta memenuhi $f(x)-f^{-1}(x)=\dfrac{3}{2}x+3$ , maka $f(x) + f^{-1}(x) =$ ...

Pembahasan
Misalkan $f(x) = mx + c$ dengan $m > 0$, maka $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{m}x -\dfrac{c}{m}$. Oleh karena itu \begin{split} & f(x)-f^{-1}(x)=\dfrac{3}{2}x+3\\ \Rightarrow & mx + c - \left( \dfrac{1}{m}x -\dfrac{c}{m} \right) = \dfrac{3}{2}x+3\\ \Rightarrow & \left(m-\dfrac{1}{m} \right) x + \left(c +\dfrac{c}{m}\right) = \dfrac{3}{2}x+3 \end{split} Dari persamaan di atas diperoleh $m-\dfrac{1}{m}=\dfrac{3}{2}$ dan $c +\dfrac{c}{m}=3$ \begin{split} & m-\dfrac{1}{m}=\dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow & m^2-1=\dfrac{3}{2}m\\ \Rightarrow & 2m^2-2=3m\\ \Rightarrow & 2m^2-3m-2=0\\ \Rightarrow & (2m+1)(m-2)=0\\ \Rightarrow & m=-\dfrac{1}{2} \text{ atau } m =2 \end{split} Karena $m > 0$ maka $m = 2$, kemudian subsitusikan ke $c +\dfrac{c}{m}=3$ diperoleh $c = 2$. Sehingga $$f(x) = 2x + 2$$ dan $$f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2}x-1$$ Jadi \begin{split} & f(x)+f^{-1}(x) \\ = & \left(2x + 2\right) + \left(\dfrac{1}{2}x-1\right)\\ = & \dfrac{5}{2}x + 1 \end{split}

Soal #54
Jika matriks $A=\begin{bmatrix}2a & -4 \\ -4 & 2a\end{bmatrix}$ dan $A=\begin{bmatrix}2b & b \\ -4 & b\end{bmatrix}$ mempunyai invers, maka semua bilangan real a yang memenuhi det(BAB-1) > 0 adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & \det(BAB^{-1}) > 0\\ \Rightarrow & \det(B) \cdot \det(A) \cdot \frac{1}{\det(B)} > 0\\ \Rightarrow & \det(A) > 0\\ \Rightarrow & 4a^2-16 > 0\\ \Rightarrow & a^2-4 > 0\\ \Rightarrow & (a+2)(a-2) > 0\\ \Rightarrow & a < -2 \text{ atau } a > 2 \end{split} Untuk lebih memahami silahkan baca tentang Pertidaksamaan dan Matriks

Soal #55
Misalkan Uk dan Sk berturut-turut menyatakan suku ke-k dan jumlah k suku pertama suatu barisan aritmatika. Jika U2 + U4 + U6 + U8 + U10 + U10 = 72, maka S13 = ...

Pembahasan
\begin{split} & U_2+U_4+U_6+U_8+U_{10}+U_{12}=72\\ \Rightarrow & a+b+a+3b+a+5b+a+7b+a+9b+a+11b=72\\ \Rightarrow & 6a+36b=72\\ \Rightarrow & a+6b=12 \end{split} \begin{split} S_{13} & = \frac{13}{2}(2a+(13-1)b)\\ & = \frac{13}{2}(2a+12b)\\ & = 13(a+6b)\\ & = 13 \cdot 12\\ & = 156 \end{split}

Soal #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 329: MATEMATIKA DASAR
Nilai a − b + c pada persegi panjang seperti pada gambar adalah ...

Pembahasan
Perhatikan segitiga PTS dan segitiga STR dari gambar di atas
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 329: MATEMATIKA DASAR

Kedua segitiga di atas sebangun, jadi berlaku hubungan \begin{split}
& \frac{ST}{PT}=\frac{TR}{TS}\\
\Rightarrow & \frac{b}{9}=\frac{16}{b}\\
\Rightarrow & b^2=144\\
\Rightarrow & b=12
\end{split} Dengan rumus pythagoras diperoleh c = 20 dan a = 15

Jadi a − b + c = 15 − 12 + 20 = 23

Soal #57
Jangkauan dan rata-rata nilai ujian 6 siswa berturut-turut adalah 10 dan 6. Jika median data tersebut adalah 6 dan selisih antara kuartil ke-1 dan ke-3 adalah 6, maka jumlah dua nilai ujian terendah adalah ...

Pembahasan
Misalkan nilai 6 siswa tersebut telah diurutkan yaitu a, b, c, d, e, dan f. maka jumlah dua nilai tertinggi adalah e + f

Jangkauan 6 berarti f − a = 10 atau f = a + 10...(1)

Rata-rata 6 berarti (a + b + c + d + e + f )/6 = 6 atau
a + b + c + d + e + f = 36 ...(2)

Median 6 berarti (c + d)/2 = 6 atau c + d = 12 ...(3)

Q1 = b, Q3 = e dan selisihnya adalah 6 berarti e − b = 6 atau e = b + 6...(4)

Kurangkan persamaan (2) dan (3) diperoleh
a + b + c + d = 24...(5)

Substitusikan persamaan (1) dan (4) ke persamaan (5) diperoleh
a + b + (b + 6) + (a + 10) = 24 atau 2a + 2b = 8

Jadi jumlah dua nilai terendah a + b = 4

Soal #58
Diketahui f adalah fungsi kuadrat dengan f(0) = 0 dan f(2) = 10. Jika $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2-x}{f(x)-1}=\dfrac{1}{5}$, maka f(1) = ...

Pembahasan
Jika x = 1 di substitusikan ke pembilang akan menghasilkan 0 padahal ruas kanannya tidak sama dengan 0 sehingga haruslah limit di atas merupakan bentuk tak tentu 0/0. Dengan kata lain $\lim\limits_{x \to 1} f(x) - 1 = 0 \Rightarrow f(1) -1 =0$

Jadi f(1) = 1

Soal #59
Jika 3x − 2y = −1, −2x + 3y = 4, 4x + by = 4b, dan ax + 3y = 2a, maka a + b = ...

Pembahasan
Dengan menyelesaiakan sistem persamaan linier dua variabel

3x − 2y = −1
−2x + 3y = 4

diperoleh x = 1 dan y = 2, kemudian substitusikan ke dua persamaan berikutnya diperoleh

4(1) + b(2) = 4b atau b = 2 dan
a(1) + 3(2) = 2a atau a = 6

Jadi a + b = 8

Soal #60
Semua bilangan real x yang memenuhi $\dfrac{x^2+1}{|x|-1} \leq x$ adalah ...

Pembahasan
Jika x ≥ 0 dan x ≠ 1 \begin{split} & \frac{x^2+1}{|x|-1} \leq x\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1}{x-1} - x \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1}{x-1} - \frac{x(x-1)}{x-1} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1-x(x-1)}{x-1} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{1+x}{x-1} \leq 0\\ \Rightarrow & -1 \leq x < 1 \end{split} Jika x ≤ 0 dan x ≠ −1 \begin{split} & \frac{x^2+1}{|x|-1} \leq x\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1}{-x-1} - x \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1}{-x-1} - \frac{x(-x-1)}{-x-1} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1-x(-x-1)}{x-1} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{2x^2+x+1}{-x-1} \leq 0 \end{split} Karena 2x2 + x + 1 definit positif pertidaksamaan di atas bisa disederhanakan menjadi hanya −x − 1 < 0, sehingga x > −1. Tetapi karena x ≤ 0 maka penyelesaian x > −1 tidak memenuhi

Jadi semua nilai x yang memenuhi hanyalah −1 ≤ x < 1

Untuk lebih memahami silahkan baca tentang Pertidaksamaan

8 komentar

avatar

kak no 53 ada yang selip :)

avatar

di bagian 2m^2+3m-2=0 harusnya 2m^2-3m-2=0

avatar

makasi gan atas koreksinya :D

avatar

no. 57 bukan nya jangkauan nya 10 yah gan.

avatar

Ya, sudah dikoreksi. Terima kasih :)

avatar

soal yang no 55 kurang u12 nya

avatar

Nomor 60 jwbnnya kok gk diiris sama x>=0 dan x<0???

Click to comment