Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Lingkaran L1 mempunyai jari-jari 5 dengan titik pusat (0,0), sedangkan lingkaran L2 mempunyai jari-jari 3 dengan pusat sumbu X positif. Jika persamaan garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran itu adalah 4x + 3y − 25 = 0, maka jarak titik pusat kedua lingkaran itu adalah ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 251: MATEMATIKA SAINTEK
Titik B merupakan titik potong antara garis singgung 4x + 3y − 25 = 0 dengan sumbu X, dengan mensubstitusikan y = 0 diperoleh $x = \dfrac{25}{4}$ yang merupakan absis titik B. Akibatnya panjang  $OB = \dfrac{25}{4}$

Segitiga ABO dan BCD merupakan dua segitiga yang sebangun dengan perbandingan 5 : 3, akibatnya \begin{split}
& \dfrac{OB}{BD}=\dfrac{5}{3}\\
\Rightarrow & \dfrac{\frac{25}{4}}{BD}=\dfrac{5}{3}\\
\Rightarrow & BD = \dfrac{15}{4}
\end{split} Jadi panjang OD = OB + BD = $\dfrac{25}{4}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{40}{4}=10$

Soal #2
Diketahui segitiga ABC dan α, β, γ adalah sudut di A, B, dan C. Jika diketahui sin β = $\dfrac{1}{3}$ dan sin γ = $\dfrac{1}{2}$, maka $\dfrac{BC}{AC}$ adalah ...

Pembahasan
Menurut aturan sinus $\dfrac{BC}{\sin \alpha}=\dfrac{AC}{\sin \beta}$, dengan kata lain $\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}$, oleh karena itu dicari nilai dari sin α terlebih dahulu.

Jika sin β = $\dfrac{1}{3}$ maka cos β = $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
Jika sin γ = $\dfrac{1}{2}$ maka cos γ = $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ \begin{split} \sin \alpha = & \sin (180^{\circ}-(\beta+\gamma))\\ = & \sin (\beta+\gamma)\\ = & \sin \beta \cos \gamma + \cos \beta \sin \gamma\\ = & \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{2}\\ = & \frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{2\sqrt{2}}{6}\\ = & \frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6} \end{split} Jadi \begin{split} \frac{BC}{AC} & =\dfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}\\ & =\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}}{\dfrac{1}{3}}\\ & =\dfrac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{2} \end{split}

Soal #3
Nilai x antara 0 dan π yang memenuhi pertidaksamaan cos 2x + cos x ≤ −1 adalah ...

Pembahasan
Dengan menggunakan identitas cos 2x = 2cos2x − 1 diperoleh \begin{split} & \cos 2x + \cos x \leq -1\\ \Rightarrow & 2\cos^2 x - 1 + \cos x + 1 \leq 0\\ \Rightarrow & 2\cos^2 x + \cos x \leq 0\\ \Rightarrow & \cos x (2\cos x + 1) \leq 0\\ \Rightarrow & -\dfrac{1}{2} \leq \cos x \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \dfrac{2\pi}{3} \end{split}

Soal #4
Jika vektor $x=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ didilatasikan sebesar b kali kemudian dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat menjadi vektor y, maka ax − y = ...

Pembahasan
Vektor $x=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ didilatasikan sebesar b kali menghasilkan bayangan $\begin{pmatrix}ab\\b^2\end{pmatrix}$
Vektor $\begin{pmatrix}ab\\b^2\end{pmatrix}$ dirotasikan sejauh 90° menghasilkan bayangan $y=\begin{pmatrix}-b^2\\ab\end{pmatrix}$

Jadi $ax-y=\begin{pmatrix}a^2\\ab\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-b^2\\ab\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2+b^2\\0\end{pmatrix}$

Soal #5
Pada kubus ABCD.EFGH, titik M terletak pada diagonal BE dengan perbandingan EM : MB = 2 : 3 dan N adalah titik tengah rusuk CD. Jika R terletak pada rusuk AB dan RM sejajar AE, maka cos ∠NMR adalah ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 251: MATEMATIKA SAINTEK
Misalkan panjang rusuk kubus di atas 5 (tidak masalah jika kita memisalkan panjang rusuknya dengan bilangan tertentu, karena yang diminta hanyalah perbandingan sisi saja yaitu perbandingan cosinus)

Perhatikan bahwa garis MR terletak tegak lurus ABCD dan garis NR terletak pada bidang ABCD akibatnya segitiga NMR siku-siku di R sehingga cos ∠NMR = $\dfrac{MR}{MN}$

Akan dicari panjang sisi segitiga NMR

Perhatikan bidang sisi ABFE berikut
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 251: MATEMATIKA SAINTEK
EM : MB = 2 : 3 maka EB : MB = 5 : 3. Karena segitiga ABE dan RBM sebangun maka EA : MR = EB : MB = 5 : 3. Karena rusuk EA = 5, maka MR = 3, RB = 3 dan AR = 2

Perhatikan bidang alas ABCD berikut
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 251: MATEMATIKA SAINTEK
P merupakan titik tengah AB maka BP = $\frac{5}{2}$ akibatnya RP = RB − BP = 3 − $\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$. Kemudian dengan rumus pythagoras diperoleh \begin{split}
RN & = \sqrt{RP^2+PN^2}\\
& = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2+5^2}\\
& = \sqrt{\frac{101}{4}}
\end{split} Dengan menggunakan rumus pythagoras pada segitiga NMR diperoleh \begin{split}
MN = & \sqrt{MR^2+RN^2}\\
= & \sqrt{3^2+\left( \sqrt{\frac{101}{4}} \right)^2}\\
= & \sqrt{9+\frac{101}{4}}\\
= & \sqrt{\frac{137}{4}}\\
= & \frac{\sqrt{137}}{2}
\end{split} Jadi cos ∠NMR = $\dfrac{MR}{MN}$ = $\dfrac{3}{\frac{\sqrt{137}}{2}}$ = $\dfrac{6}{\sqrt{137}}$

Soal #6
Fungsi f(x) dan g(x) adalah fungsi dengan sifat f(−x) = −f(x) dan g(−x) = −g(x) . Jika sisa pembagian f(x) oleh x2 + x − 2 adalah 2x + 1 dan sisa pembagian xg(x) oleh x2x − 2 adalah 2x − 4, maka sisa pembagian (x+1)f(x)g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah ...

Pembahasan
sisa pembagian f(x) oleh x2 + x − 2 adalah 2x + 1 berarti
f(x) = (x2 + x − 2)h(x) + (2x + 1) untuk suatu suku banyak h(x) atau bisa juga ditulis menjadi
f(x) = (x + 2)(x − 1)h(x) + (2x + 1)
Substitusikan x = −2 dan x = 1 ke persamaan di atas diperoleh
f(1) = 3 dan
f(−2) = −3, tetapi karena f(−x) = −f(x) maka f(2) = f(−(−2)) = −f(−2) = −(−3) = 3

sisa pembagian xg(x) oleh x2x − 2 adalah 2x − 4 berarti
xg(x) = (x2x − 2)k(x) + (2x − 4) untuk suatu suku banyak k(x) atau bisa juga ditulis menjadi
xg(x) = (x − 2)(x + 1)k(x) + (2x − 4)
Substitusikan x = 2 dan x = −1 ke persamaan di atas diperoleh
2g(2) = 0 atau g(2) = 0 dan
1g(−1) = −6 atau g(−1) = 6 tetapi karena g(−x) = −g(x) maka g(1) = g(−(−1)) = −g(−1) = −6

Misalkan sisa pembagian (x+1)f(x)g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah ax + b maka
(x+1)f(x)g(x) = (x2 − 3x + 2)p(x) + (ax + b) untuk suatu suku banyak p(x) atau bisa juga ditulis menjadi
(x+1)f(x)g(x) = (x − 2)(x − 1)p(x) + (ax + b)
Substitusikan x = 1 dan x = 2 pada persamaan di atas diperoleh
2f(1)g(1) = a + b atau a + b = 2(3)(−6) = −36
3f(2)g(2) = 2a + b atau 2a + b = 3(3)(0) = 0

Dengan menyelesaikan SPLDV di atas diperoleh a = −36 dan b = 72

Jadi sisa pembagiannya adalah  −36x + 72

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik y = 3x + 1 jika ...

Pembahasan
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan 3x = y \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ & 2y^3-1 < y^2\\ & 2y^3-y^2-1 < 0\\ & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena 2y2 + y + 1 definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & x < 0 \end{split}

Soal #8
$\lim\limits_{x \to a} \dfrac{(\sqrt{x+b}-\sqrt{a+b})^2}{(x^2-a^2) \sin (x-a)}=\ldots$

Pembahasan
\begin{split} & \lim\limits_{x \to a} \dfrac{(\sqrt{x+b}-\sqrt{a+b})^2}{(x^2-a^2) \sin (x-a)}\\ = & \lim\limits_{x \to a} \dfrac{(\sqrt{x+b}-\sqrt{a+b})^2}{(x^2-a^2) \sin (x-a)} \times \dfrac{(\sqrt{x+b}+\sqrt{a+b})^2}{(\sqrt{x+b}+\sqrt{a+b})^2}\\ = & \lim\limits_{x \to a} \dfrac{((\sqrt{x+b}-\sqrt{a+b})(\sqrt{x+b}+\sqrt{a+b}))^2}{(x^2-a^2)(\sqrt{x+b}+\sqrt{a+b})^2 \sin (x-a)}\\ = & \lim\limits_{x \to a} \dfrac{(x-a)^2}{(x-a)(x+a)(\sqrt{x+b}+\sqrt{a+b})^2\sin (x-a)}\\ = & \lim\limits_{x \to a} \dfrac{x-a}{x-a} \cdot \dfrac{x-a}{\sin (x-a)} \cdot \dfrac{1}{(x+a)(\sqrt{x+b}+\sqrt{a+b})^2}\\ = & 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{(a+a)(\sqrt{a+b}+\sqrt{a+b})^2}\\ = & \dfrac{1}{2a(2\sqrt{a+b})^2}\\ = & \dfrac{1}{2a(4a+4b)}\\ = & \dfrac{1}{8a(a+b)} \end{split}

Soal #9
Suatu barisan geometri semua sukunya positif. Jika \(\dfrac{U_1+U_2}{U_3+U_4}=\frac{1}{9}\) maka \(\dfrac{U_1+U_2+U_3+U_4}{U_2+U_3}=\ldots\)

Pembahasan
\begin{split} & \frac{U_1+U_2}{U_3+U_4}=\frac{1}{9}\\ \Rightarrow & \frac{a+ar}{ar^2+ar^3}=\frac{1}{9}\\ \Rightarrow & \frac{1+r}{r^2+r^3}=\frac{1}{9}\\ \Rightarrow & r^3+r^2=9r+9\\ \Rightarrow & r^2(r+1)=9(r+1)\\ \Rightarrow & r^2=9\\ \Rightarrow & r=3 \end{split} Jadi \begin{split} & \frac{U_1+U_2+U_3+U_4}{U_2+U_3}\\ = & \frac{a+ar+ar^2+ar^3}{ar+ar^2}\\ = & \frac{1+r+r^2+r^3}{r+r^2}\\ = & \frac{1+3+9+27}{3+9}\\ = & \frac{40}{12}\\ = & \frac{10}{3} \end{split}

Soal #10
Misalkan f(x) = x3 + 2x2 + a dan g(x) = x + a berpotongan di sumbu X, dengan a bilangan bulat. Nilai minimum f(x) di interval −1 ≤ x ≤ 2 adalah ...

Pembahasan
f(x) dan g(x) berpotongan maka persamaan f(x) = g(x) memiliki penyelesaian \begin{split} & x^3 + 2x^2 + a = x + a\\ \Rightarrow & x^3 + 2x^2 - x = 0\\ \Rightarrow & x(x^2+2x-1) = 0\\ \Rightarrow & x = 0 \text{ atau } (x^2+2x-1)=0 \end{split} Persamaan kuadrat di atas tidak memiliki penyelesaian bilangan bulat, jadi haruslah x = 0. Akibatnya f(x) dan g(x) memotong sumbu X di x = 0 dengan kata lain f(x) dan g(x) melalui titik (0,0).

Karena melalui titik (0,0) maka f(0) = 0 atau 0 + a = 0, diperoleh a = 0

sehingga f(x) = x3 + 2x2

f(x) maksimum jika f'(x) = 0 atau 3x2 + 4x = 0, dengan menyelesaikannya diperoleh x = 0 atau x = −4/3 tetapi x = −4/3 tidak dalam interval −1 ≤ x ≤ 2

Kemudian hitung nilai f ketika x = 0, dan ketika x merupakan ujung interval
f(−1) = 1
f(0) = 0
f(2) = 16

Jadi nilai minimum f(x) adalah 0

Soal #11
Diketahui \(f(x)=f(x+2)\) untuk setiap \(x\). Jika \(\int_0^2\limits f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7\limits f(x+8) \ dx =\ldots\)

Pembahasan
\(\int_0^2\limits f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1\limits f(x) \ dx + \int_1^2\limits f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1\limits f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2\limits f(x) \ dx = B-A\)
\begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split} Misalkan \(I_1=\int_3^4\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+2\) \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+4\) \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+6\) \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split} Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & 2B
\end{split}

Soal #12
Misalkan D daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, garis y = 4, dan kurva y = x2. Jika garis y = k membagi dua daerah D sama besar, maka k3 = ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 251: MATEMATIKA SAINTEK
Jika y = x2 maka x = √y
Luas D1 sama dengan luas D2 maka
\begin{split}
& \int_k^4 \sqrt{y} \ dy = \int_0^k \sqrt{y}\ dy \\
\Rightarrow & \left[ \frac{2}{3}y\sqrt{y}\right]_k^4=\left[ \frac{2}{3}y\sqrt{y}\right]_0^k\\
\Rightarrow & \frac{16}{3}-\frac{2}{3}k\sqrt{k}= \frac{2}{3}k\sqrt{k}-0\\
\Rightarrow & \frac{16}{3}= \frac{4}{3}k\sqrt{k}\\
\Rightarrow & k\sqrt{k}=4\\
\Rightarrow & (k\sqrt{k})^2=4^2\\
\Rightarrow & k^3=16 \end{split}

Soal #13
Banyaknya bilangan genap n = abc dengan tiga digit sehingga 3 < b < c adalah ...

Pembahasan
Nilai c yang mungkin adalah 6 atau 8. Jika c = 6 maka b = 4 atau b = 5; terdapat 2 kemungkinan. Jika c = 8 maka b = 4 atau b = 5 atau b = 6 atau b = 7; terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar 3 < b < c ada sebanyak 6.

Nilai a yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk a, sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = 54

Soal #14
Garis singgung kurva y = 3 − x2 di titik P(−a,b) dan Q(a,b) memotong sumbu Y di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 251: MATEMATIKA SAINTEK

Karena segitiga PQR sama sisi, maka θ = 60°, sehingga gradien garis singgung yang melalui P adalah tan 60° = √3

Gradien garis singgung di titik P merupakan nilai turunan pertama y = 3 − x2 di titik (−a,b). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{split}

Soal #15
Garis l adalah garis singgung sekutu parabola y = x2 − 4x + 7 dan y = p − 3(x+2)2. Jika garis l menyinggung parabola y = x2 − 4x + 7 di x = 5, maka p = ...

Pembahasan
garis l menyinggung parabola y = x2 − 4x + 7 di x = 5 maka gradien garis singgung l tersebut adalah m = y' = 2x − 4 = 2(5) − 4 = 6.

Jika x = 5 maka y = 52 − 4⋅5 + 7 = 12, sehingga titik singgungnya adalah (5,12). Kemudian dengan menggunakan persamaan garis diperoleh persamaan garis l y − 12 = 6(x − 5) atau y = 6x − 18.

Garis y = 6x − 18 juga menyinggung y = p − 3(x+2)2 = p − 3x2 − 12x − 12. Kemudian substitusi kedua persamaan diperoleh 6x − 18 = p − 3x2 − 12x − 12 atau 3x2 + 18x − 6 − p = 0

Garis dan parabola bersinggungan maka diskriminan dari persamaan kuadrat di atas sama dengan 0 yaitu \begin{split} & 18^2-4\cdot 3 \cdot (-6-p)=0\\ \Rightarrow & 324+72+12p=0\\ \Rightarrow & 12p=-396\\ \Rightarrow & p=-33 \end{split}

Click to comment