Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 249: MATEMATIKA SAINTEK
Diketahui persegi dengan panjang sisi 12, dan setengah lingkaran dengan diameter pada alas, seperti pada gambar. Garis CE menyinggung lingkaran di titik F. Panjang CE = ...

Solusi #1
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 249: MATEMATIKA SAINTEK
Misalkan EA = x maka EF = x dan DE = 12 − x. Kemudian dengan rumus pythagoras
\begin{split}
& CD^2+DE^2=CE^2\\
\Rightarrow & 12^2+(12-x)^2=(12+x)^2\\
\Rightarrow & 144+144-24x+x^2=144+24x+x^2\\
\Rightarrow & 144=48x\\
\Rightarrow & x=3
\end{split}
Jadi CE = CF + FE = 12 + 3 = 15


Soal #2
Misalkan segitiga ABC adalah segitiga siku-siku pada titik C. Jika panjang sisi di hadapan titik A,B,C berurut-turut adalah a,b,c maka cos 2A = ...

Solusi #2
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 249: MATEMATIKA SAINTEK
Pada segitiga di atas diperoleh $\sin A= \dfrac{a}{c}$ dan $\cos A = \dfrac{b}{c}$ jadi \begin{split}
\cos 2A & = \cos^2 A - \sin^2 A\\
& = \left(\frac{b}{c} \right)^2 - \left(\frac{a}{c} \right)^2\\
& = \frac{b^2}{c^2} -\frac{a^2}{c^2}\\
& = \fbox{$\dfrac{b^2-a^2}{c^2}$}
\end{split}

Soal #3
Banyaknya nilai x ketika 0 ≤ x ≤ 5π yang memenuhi persamaan $\cos^3 x + \cos^2 x - 4\cos^2 \left(\dfrac{x}{2}\right) = 0$ adalah ...

Solusi #3
\begin{split} & \cos^3 x + \cos^2 x - 4\cos^2 \left(\dfrac{x}{2}\right) = 0\\ \Rightarrow & \cos^3 x + \cos^2 x - 4\cos^2 \left(\dfrac{x}{2}\right)+2 = 2\\ \Rightarrow & \cos^3 x + \cos^2 x - 2\left(2\cos^2 \left(\dfrac{x}{2}\right)-1\right) = 2\\ \Rightarrow & \cos^3 x + \cos^2 x - 2\cos x = 2\\ \Rightarrow & \cos^3 x + \cos^2 x - 2\cos x - 2=0\\ \Rightarrow & \cos^2 x(\cos x +1)- 2(\cos x +1)=0\\ \Rightarrow & (\cos^2 x-2)(\cos x +1)=0\\ \Rightarrow & \cos^2 x=2 \text{ atau } \cos x =-1 \end{split}
Karena tidak ada nilai x yang memenuhi cos2x = 2, maka cos x = -1, dengan nilai x yang memenuhi adalah π, 3π dan 5π

Jadi nilai x yang memenuhi ada sebanyak 3

Soal #4
Titik (a,b) adalah hasil pencerminan titik (0,0) terhadap garis y = 3x − 4. Nilai dari a2 + b2 adalah ...

Solusi #4
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 249: MATEMATIKA SAINTEK
Titik (a,b) terletak pada garis yang tegak lurus dengan garis y = 3x − 4 dan melalui titik (0,0) yakni garis \(y=-\frac{1}{3}x\). Titik Potong kedua garis yang saling tegak lurus ini adalah $\left(\dfrac{6}{5} , -\dfrac{2}{5}\right)$, sehingga koordinat bayangan titik (0,0) jika dicerminkan terhadap y = 3x − 4 adalah $\left(2 \times \dfrac{6}{5} ,2 \times -\dfrac{2}{5}\right) = \left(\dfrac{12}{5} , -\dfrac{4}{5}\right)$.

Sehingga \begin{split} & a^2+b^2\\ = & \frac{144}{25}+\frac{16}{25}\\ = & \frac{160}{25}\\ = &\fbox{$ \dfrac{32}{5}$} \end{split}

Soal #5
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2 satuan. Titik K adalah titik tengah CD. Jika α adalah sudut antara AK dan BH, maka cos α = ...

Solusi #5
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 249: MATEMATIKA SAINTEK

Geser garis BH sedemikian rupa agar garis AK dan BH berpotongan.

SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 249: MATEMATIKA SAINTEK

Pada gambar di atas AJ sejajar dengan BH, oleh karena itu sudut antara AK dan BH juga akan sama dengan AK dan AJ yaitu α

$AJ=2\sqrt{3}$
$AK=\sqrt{AD^2+DK^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
$JK=\sqrt{JL^2+LK^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$

Dengan aturan cosinus diperoleh \begin{split}
\cos \alpha & = \frac{AK^2+AJ^2-JK^2}{2\cdot AK \cdot AJ}\\
& = \frac{5+12-13}{2 \cdot \sqrt{5}\cdot 2\sqrt{3}}\\
& = \frac{4}{4\sqrt{15}}\\
& = \frac{1}{15}\sqrt{15}
\end{split}

Soal #6
Jika sisa pembagian f(x) oleh x3 − 3x + 5 adalah 3x2 − 2, dan sisa pembagian (x2 + f(x))2 oleh x3 − 3x + 5 adalah ax2 + bx + c, maka a + b + c = ...

Solusi #6
Misalkan
f = f(x)
h = h(x)
q = q(x) = x3 − 3x + 5
s = s(x) = 3x2 − 2

sisa pembagian f(x) oleh x3 − 3x + 5 adalah 3x2 − 2 berarti
f(x) = h(x)(x3 − 3x + 5) + 3x2 − 2 atau jika disederhanakan f = hq + s
maka f2 = h2q2 + 2hqs + s2 \begin{split}
& (x^2+f)^2 \\
= & x^4+2x^2f+f^2\\
= & x^4+2x^2(hq+s)+(h^2q^2+2hqs+s^2)\\
= & x^4+{\color{Blue} {2x^2hq}}+2x^2s+{\color{Blue} {h^2q^2+2hqs}}+s^2
\end{split} Suku-suku yang diwarnai biru habis dibagi q, sehingga tinggal mencari sisa pembagian x4 + 2x2s + s2 oleh q. \begin{split}
& x^4+2x^2s+s^2\\
= & x^4+2x^2(3x^2-2)+(3x^2-2)^2\\
= & x^4+6x^4-4x^2+9x^4-12x^2+4\\
= & 16x^4 -16x^2+4
\end{split} Dengan menggunakan pembagian bersusun 16x4 − 16x2 + 4 dibagi oleh x3 − 3x + 5 diperoleh sisa 32x2 − 80x + 4. Sehingga a = 32, b = −80, dan c = 4

Jadi a + b + c = 32 − 80 + 4 = −44

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik y = 3x + 1 jika ...

Solusi #7
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan 3x = y \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ & 2y^3-1 < y^2\\ & 2y^3-y^2-1 < 0\\ & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena 2y2 + y + 1 definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & \fbox{$x < 0$} \end{split}

Soal #8
$\lim_{x \to 0}\limits \dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}}=\ldots $

Solusi #8
\begin{split} & \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}} \times \frac{\sqrt{x^2+1}+1}{\sqrt{x^2+1}+1}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}(\sqrt{x^2+1}+1)}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}(\sqrt{x^2+1}+1)} \times \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{\frac{3x^5+4\sin^4 x}{x^4}}(\sqrt{x^2+1}+1)}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{3x +\frac{\sin^4 x}{x^4}}(\sqrt{x^2+1}+1)}\\ = & \frac{1}{\sqrt{0 + 1}(\sqrt{0+1}+1)}\\ = & \fbox{$\dfrac{1}{2}$} \end{split}

Soal #9
Diketahui barisan geometri $(a_n)$ dengan deret takhingganya bernilai 6. Jika barisan geometri $(a_n^2)$ mempunyai deret takhingga bernilai 18, maka suku pertama dari barisan $(a_n)$ adalah ...

Solusi #9
barisan geometri $(a_n)$ dengan deret takhingganya bernilai 6 maka \[\frac{a_1}{1-r}=6 \Rightarrow a_1=6(1-r)\] Misalkan $(a_n)$ memiliki rasio $r$ maka $(a_n^2)$ memiliki rasio $r^2$ serta deret takhingganya bernilai 18, akibatnya \begin{split} & \frac{a_1^2}{1-r^2}=18\\ \Rightarrow & \frac{(6(1-r))^2}{1-r^2}=18\\ \Rightarrow & \frac{36(1-r)(1-r)}{(1-r)(1+r)}=18\\ \Rightarrow & \frac{1-r}{1+r}=\frac{18}{36}\\ \Rightarrow & \frac{1-r}{1+r}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow & r=\frac{1}{3} \end{split} Substitusikan $r = \dfrac{1}{3}$ ke persamaan $a_1=6(1-r)$ \begin{split} a_1 & =6(1-r)\\ & =6\left(1-\frac{1}{3}\right)\\ & =6 \cdot \frac{2}{3} = \fbox{4}\\ \end{split}

Soal #10
Jika f(x)=x3 − 3x2 + a memotong sumbu Y di titik (0,10), maka nilai minimum f(x) untuk x ∈ [0,1] adalah ...

Solusi #10
f(x)=x3 − 3x2 + a memotong sumbu Y di titik (0,10) berarti f(0) = 10 sehingga diperoleh a = 10

f(x)=x3 − 3x2 + a minimum jika f'(x) = 0 \begin{split}
& 3x^2-6x=0\\
\Rightarrow & x=0 \text{ atau } x=2
\end{split} x = 2 tidak mungkin karena x ∈ [0,1] oleh karena itu

f(0) = 10 dan
f(1) = 8

Jadi nilai minimum f(x) adalah 8

Soal #11
Diketahui \(f(x)=f(x+2)\) untuk setiap \(x\). Jika \(\int_0^2\limits f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7\limits f(x+8) \ dx =\ldots\)

Solusi #11
\(\int_0^2\limits f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1\limits f(x) \ dx + \int_1^2\limits f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1\limits f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2\limits f(x) \ dx = B-A\)
\begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split}
Misalkan \(I_1=\int_3^4\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+2\) \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+4\) \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+6\) \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split} Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & \fbox{$2B$}
\end{split}

Soal #12
Diketahui fungsi f(x) = x2 dan g(x) = ax, a > 0. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva f dan y = 4. Jika g membagi daerah D dengan perbandingan 1 : 7, maka a = ...

Solusi #12
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 249: MATEMATIKA SAINTEK

D1 : D2 = 1 : 7 maka 7D1 = D2 \begin{split}
& 7\int_0^4 \sqrt{y} - \frac{1}{a}y \ dy = \int_0^4 \frac{1}{a}y - (-\sqrt{y})\ dy\\
& 7\int_0^4 \sqrt{y} - \frac{1}{a}y \ dy = \int_0^4 \frac{1}{a}y +\sqrt{y}\ dy\\
& 7\int_0^4 \sqrt{y} \ dy - 7\int_0^4 \frac{1}{a}y \ dy = \int_0^4 \frac{1}{a}y \ dy +\int_0^4 \sqrt{y}\ dy\\
& 7\int_0^4 \sqrt{y} \ dy - \int_0^4 \sqrt{y}\ dy = \int_0^4 \frac{1}{a}y \ dy +7\int_0^4 \frac{1}{a}y \ dy\\
& 6\int_0^4 \sqrt{y} \ dy = 8 \int_0^4 \frac{1}{a}y \ dy \\
& 3\int_0^4 \sqrt{y} \ dy = 4 \int_0^4 \frac{1}{a}y \ dy \\
& 3 \left[\frac{2}{3}y^{3/2} \right]_0^4 = 4  \left[\frac{1}{2a}y^2\right]_0^4\\
& 16 = \frac{32}{a}\\
& a=\fbox{$2$}
\end{split}

Soal #13
Banyaknya bilangan genap n = abc dengan tiga digit sehingga 3 < b < c adalah ...

Solusi #13
Nilai c yang mungkin adalah 6 atau 8. Jika c = 6 maka b = 4 atau b = 5; terdapat 2 kemungkinan. Jika c = 8 maka b = 4 atau b = 5 atau b = 6 atau b = 7; terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar 3 < b < c ada sebanyak 6.

Nilai a yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk a, sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = 54

Soal #14
Garis singgung kurva y = 3 − x2 di titik P(−a,b) dan Q(a,b) memotong sumbu Y di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ...

Solusi #14
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 249: MATEMATIKA SAINTEK
Karena segitiga PQR sama sisi, maka θ = 60°, sehingga gradien garis singgung yang melalui P adalah tan 60° = $\sqrt{3}$

Gradien garis singgung di titik P merupakan nilai turunan pertama y = 3 − x2 di titik (−a,b). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\fbox{$\frac{\sqrt{3}}{2}$} \end{split}

Soal #15
Diketahui x1, x2 adalah akar-akar dari persamaan x2 + 5ax + a3 − 4a + 1 = 0. Nilai a sehingga x1 + x1x2 + x2 maksimum pada interval [−3,3] adalah ...

Solusi #15
Dengan menggunakan rumus hasil jumlah dan hasil kali diperoleh nilai $x_1+x_2 = -5a$ dan $x_1x_2 = a^3-4a+1$, sehingga \begin{split} & x_1+x_1x_2+x_2\\ = & x_1x_2+x_1+x_2\\ = & (a^3-4a+1)+(-5a)\\ = & a^3-9a+1 \end{split} Misalkan $f(a) = a^3-9a+1$ maka $f'(a)=3a^2-9$

$f(a)$ maksimum jika \begin{split} & f'(a)=0\\ \Rightarrow & 3a^2-9=0\\ \Rightarrow & a^2=3\\ \Rightarrow & a=\pm \sqrt{3} \end{split} Jika $a=\sqrt{3}$ maka $f(\sqrt{3})=-6\sqrt{3}+1$
Jika $a=\sqrt{3}$ maka $f(-\sqrt{3})=6\sqrt{3}+1$

Karena $f(-\sqrt{3}) > f(\sqrt{3})$ maka nilai $a$ yang membuat $f(a)$ maksimum adalah $-\sqrt{3}$

7 komentar

avatar

min no. 15 x1 + x2 itu harusnya -b/a...
dan kenapa bisa f'(a) = 3a2 + 1 > 0 min?

avatar

Terima kasih telah mengoreksi gan :)

avatar

bingung di nomor 7 min ,kok y^-2 pindah ke kanan jadi y^2 , terus yang y lain jadi panngkat 3 , sama nomor 11 gak ngerti kok bisa gitu

avatar

tidak pindah ruas, tetapi kedua ruas dikali $y^{-2}$

avatar

no 6 maksud yang berwarna biru habis dibagi q apa min?

avatar

maksudnya yang berwarna biru memiliki faktor $q$

avatar

bisa/tidak penyelesaian ini didownload?

Click to comment