Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Dua lingkaran L1 dan L2 berpusat pada sumbu X dengan radius R1 = 2 dan R2 = 4. Suatu garis singgung dalam dari kedua lingkaran tersebut menyinggung L1 di F dan menyinggung L2 di G. Garis singgung tersebut memotong sumbu X di Q sehingga luas AFQ = 5 satuan luas dengan A titik pusat L1. Panjang FG adalah ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 235: MATEMATIKA SAINTEK
Luas AFQ = 5 berarti \begin{split}
& \frac{1}{2}\cdot AF \cdot FQ = 5\\
\Rightarrow & \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot FQ = 5\\
\Rightarrow & FQ=5 \end{split} Segitiga AFQ sebangun dengan segitiga QGB dengan B merupakan pusat lingakaran L2 \begin{split}
& \frac{FQ}{QG}=\frac{AF}{GB}\\
\Rightarrow & \frac{5}{QG}=\frac{2}{4}\\
\Rightarrow & QG = 10 \end{split} Jadi panjang FG = FQ + QG = 5 + 10 = 15

Soal #2
Pada trapesium ABCD, DA ⊥ AB dan sisi AB > DC. Dari titik C ditarik garis AD memotong AB di titik E. Jika diketahui ∠ABD = 20°, ∠DBC = 40°, DC = 10 satuan, maka panjang sisi BC adalah ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 235: MATEMATIKA SAINTEK
Segitiga FEB sebangun dengan segitiga CFD, akibatnya ∠CDF = ∠FBE = 20°.
Misalkan panjang BE = x. Dengan perbandingan tangen diperoleh
$\tan 20^{\circ} = \dfrac{FE}{BE}=\dfrac{FE}{x} \Rightarrow FE = x \tan 20^{\circ}$ dan
$\tan 20^{\circ} = \dfrac{CF}{CD}=\dfrac{CF}{10} \Rightarrow CF = 10 \tan 20^{\circ}$ dan
$\tan 60^{\circ} = \dfrac{CE}{BE} \Rightarrow \sqrt{3} = \dfrac{CE}{x} \Rightarrow CE = x\sqrt{3}$ 
Karena CE = CF + FE maka \begin{split}
& x\sqrt{3} = 10 \tan 20^{\circ} + x \tan 20^{\circ}\\
\Rightarrow & x\sqrt{3} - x \tan 20^{\circ} = 10 \tan 20^{\circ}\\
\Rightarrow & x(\sqrt{3} - \tan 20^{\circ}) = 10 \tan 20^{\circ}\\
\Rightarrow & x = \frac{10 \tan 20^{\circ}}{\sqrt{3} - \tan 20^{\circ}}
\end{split}Dengan rumus pythagoras diperoleh \begin{split}
BC & = \sqrt{BE^2+CE^2}\\
& = \sqrt{x^2+(x\sqrt{3})^2}\\
& = \sqrt{x^2+3x^2}\\
& = \sqrt{4x^2}\\
& = 2x\\
& = 2\left( \frac{10 \tan 20^{\circ}}{\sqrt{3} - \tan 20^{\circ}} \right)\\
& = \frac{20 \tan 20^{\circ}}{\sqrt{3} - \tan 20^{\circ}}\\
& = \frac{20 \tan 20^{\circ}}{\sqrt{3} - \tan 20^{\circ}} \times \frac{\cos 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}\\
& = \frac{20 \sin 20^{\circ}}{\sqrt{3}\cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}\\
& = \frac{20 \sin 20^{\circ}}{2\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\cos 20^{\circ} - \frac{1}{2}\sin 20^{\circ}\right)}\\
& = \frac{20 \sin 20^{\circ}}{2\left(\sin 60^{\circ}\cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ}\sin 20^{\circ}\right)}\\
& = \frac{20 \sin 20^{\circ}}{2\sin(60^{\circ}-20^{\circ})}\\
& = \frac{20 \sin 20^{\circ}}{2\sin 40^{\circ}}\\
& = \frac{20 \sin 20^{\circ}}{4\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}}\\
& = \frac{5}{\cos 20^{\circ}}\\
& = 5\sec 20^{\circ}
\end{split} Jika ada yang punya penyelesaian lebih sederhana silahkan komen :)

Soal #3
Himpunan x di selang [0,2π] yang memenuhi pertaksamaan √3cos x ≤ sin x ≤ 0 dapat ditulis sebagai [a,b]. Nilai a × b adalah ...

Pembahasan
Dari pertaksamaan kita ketahui bahwa nilai cos x dan sin x negatif. Keduanya negatif hanya terjadi di kuadran III yaitu antara [π,3π/2]. Oleh karena itu cukup menyelesaikan √3cos x ≤ sin x dengan x ada di kuadran III. \begin{split} & \sqrt{3} \cos x \leq \sin x\\ \Rightarrow & \sqrt{3} \geq \frac{\sin x}{\cos x}\text{ (tanda berubah karena cos x negatif)}\\ \Rightarrow & \frac{\sin x}{\cos x} \leq \sqrt{3}\\ \Rightarrow & \tan x \leq \tan \dfrac{4\pi}{3}\\ \Rightarrow & x \leq \frac{4\pi}{3} \end{split} Tetapi karena x ada di kuadran III maka $\left[ \pi,\dfrac{4\pi}{3},\right]$ Sehingga $a = \pi$ dan $b = \dfrac{4π}{3}$, jadi $a \times b = \dfrac{4\pi^2}{3}$

Soal #4
Jika titik (s,t) dirotasi sejauh 270° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat kemudian dicerminkan terhadap x = s diperoleh titik (s+t,−1), maka 4s − t = ...

Pembahasan
Titik (s,t) dicerminkan terhadap garis dirotasi sejauh 270° akan menghasilkan bayangan (t,−s)
(t,−s) dicerminkan terhadap garis x = s akan menghasilkan bayangan (2s − t,−s) = (s+t,−1)

2s − t = s + t atau s = 2t dan
−s = −t atau s = t

Sistem persamaan s = 2t dan s = t memiliki penyelesaian s = t = 0. Jadi 4s − t = 0

BSoal #5
Pada kubus ABCDEFGH, titik P adalah titik potong diagonal AH dan DE Jika R terletak di tengah rusuk AD maka sin ∠PBR adalah...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 235: MATEMATIKA SAINTEK
Misalkan panjang rusuk kubus di atas adalah 2 satuan (tidak masalah jika kita memisalkan panjang rusuknya dengan bilangan tertentu, karena yang diminta hanyalah perbandingan sisi saja yaitu perbandingan sinus)

PR = 1
$RB = \sqrt{RA^2 + AB^2} = \sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$
$PB = \sqrt{PR^2 + RB^2} = \sqrt{1^2+\sqrt{5}^2}=\sqrt{6}$

Jadi sin ∠PBR = $\dfrac{PR}{PB}= \dfrac{1}{\sqrt{6}} = \dfrac{1}{6}\sqrt{6}$

Soal #6
Diketahui sisa pembagian suku banyak f(x) − g(x) oleh x2 + x − 2 adalah x, sisa pembagian f(x) + g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah x + 1, maka sisa pembagian (f(x))2 − (g(x))2 oleh x − 1 adalah ...

Pembahasan
sisa pembagian (f(x))2 − (g(x))2 oleh x − 1 adalah (f(1))2 − (g(1))2 oleh karena itu akan dicari nilai dari f(1) dan g(1)

sisa pembagian f(x) − g(x) oleh x2 + x − 2 adalah x berarti
f(x) − g(x) = (x2 + x − 2)k(x) + x untuk suatu suku banyak k(x), substitusikan x = 1 diperoleh f(1) − g(1) = 1

sisa pembagian f(x) + g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah x + 1 berarti
f(x) + g(x) = (x2 − 3x + 2)h(x) + x + 1 untuk suatu suku banyak h(x), substitusikan x = 1 diperoleh f(1) + g(1) = 2

Dengan menyelesaikan SPLDV
f(1) − g(1) = 1
f(1) + g(1) = 2

diperoleh f(1) = 3/2 dan g(1) = 1/2 Jadi sisa pembagiannya adalah (3/2)2 − (1/2)2 = 9/4 − 1/4 = 2

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik y = 3x + 1 jika ...

Pembahasan
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan 3x = y \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ & 2y^3-1 < y^2\\ & 2y^3-y^2-1 < 0\\ & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena 2y2 + y + 1 definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & x < 0 \end{split}

Soal #8
$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\tan(-x+h)-\tan(-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} = \ldots$

Pembahasan
Gunakan aturan L'Hospital \begin{split} & \lim_{h \to 0} \dfrac{\tan(-x+h)-\tan(-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}}\\ = & \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{4-h^2}} \cdot \lim_{h \to 0} \dfrac{\tan(-x+h)-\tan(-x-h)}{h}\\ = & \dfrac{1}{\sqrt{4-0^2}} \cdot \lim_{h \to 0} \dfrac{\sec^2 (-x+h) + \sec^2 (-x-h)}{1}\\ = & \dfrac{1}{\sqrt{4}} \cdot \lim_{h \to 0} \sec^2 (-x+h) + \sec^2 (-x-h)\\ = & \dfrac{1}{2} \cdot (\sec^2 (-x) + \sec^2 (-x))\\ = & \dfrac{1}{2} \cdot 2\sec^2 (-x)\\ = & \sec^2 (-x)\\ = & \sec^2 x\\ \end{split}

Soal #9
Jika dalam sebuah barisan geometri jumlah 10 suku pertamanya adalah 341 dan Un+1 : Un-1 = 8, maka U1 + U4 = ...

Pembahasan
Misalkan Un = arn-1 maka

Jumlah 10 suku pertama berarti $\dfrac{a(r^{10}-1)}{r-1}=341$ dan \begin{split} & \frac{u_{n+2}}{u_{n-1}}=8\\ \Rightarrow & \frac{ar^{n+1}}{ar^{n-2}}=8\\ \Rightarrow & r^3=8\\ \Rightarrow & r=2 \end{split} substitusika r = 2 ke $\dfrac{a(r^{10}-1)}{r-1}=341$ diperoleh a = $\dfrac{1}{3}$

Jadi U1 + U4 = a + ar3 = $\dfrac{1}{3}+\dfrac{8}{3}$ = 3

Soal #10
Jika f(x) = ax3 − 12x − 5 melalui (−1,5), maka nilai maksimum f(x) untuk x ∈ [1,2] adalah ...

Pembahasan
f(x) = ax3 − 12x − 5 melalui (−1,5) berarti f(−1) = 5
−a + 12 − 5 = 5 atau a = 2

Sehingga f(x) = 2x3 − 12x − 5

f(x) maksimum jika f'(x) = 0
6x2 − 12 = 0, diperoleh x = 2

Hitung nilai f pada x = 2 dan ujung-ujung interval
f(1) = −15
f(2) = 13

Jadi maksimum f(x) untuk x ∈ [1,2] adalah −15

Soal #11
Diketahui \(f(x)=f(x+2)\) untuk setiap \(x\). Jika \(\int_0^2\limits f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7\limits f(x+8) \ dx =\ldots\)

Pembahasan
\(\int_0^2\limits f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1\limits f(x) \ dx + \int_1^2\limits f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1\limits f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2\limits f(x) \ dx = B-A\)
\begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split} Misalkan \(I_1=\int_3^4\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+2\) \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+4\) \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+6\) \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split} Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & 2B
\end{split}

Soal #12
Diketahui f(x) = k(x3 − 6x2 + 9x), k > 0, dan $\int_0^a\limits f(x)\ dx = 7$ untuk (a,b) titik balik minimum. Nilai k adalah ...

Pembahasan
(a,b) titik balik minimum maka f'(a) = 0 \begin{split} & k(3a^2-12a+9)=0\\ \Rightarrow & a^2-4a+3=0\\ \Rightarrow & (a-3)(a-1)=0\\ \Rightarrow & a=3 \text{ atau }a=1 \end{split} Karena f(a) = f(3) = 0 dan f(a) = f(1) = 4k, maka titik minimum yang mungkin hanyalah ketika a = 3. Jadi \begin{split} & \int_0^a f(x)\ dx = 27\\ \Rightarrow & \int_0^3 k(x^3-6x^2+9x)\ dx = 27\\ \Rightarrow & k\int_0^3 x^3-6x^2+9x\ dx = 27\\ \Rightarrow & k\left[\frac{1}{4}x^4-2x^3+\frac{9}{2}x^2\right]_0^3 = 27\\ \Rightarrow & k\left[\frac{81}{4}-54+\frac{81}{2}\right] = 27\\ \Rightarrow & \frac{27}{4}k = 27\\ \Rightarrow & k = 4 \end{split}

Soal #13
Banyaknya bilangan genap n = abc dengan tiga digit sehingga 3 < b < c adalah ...

Pembahasan
Nilai c yang mungkin adalah 6 atau 8. Jika c = 6 maka b = 4 atau b = 5; terdapat 2 kemungkinan. Jika c = 8 maka b = 4 atau b = 5 atau b = 6 atau b = 7; terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar 3 < b < c ada sebanyak 6.

Nilai a yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk a, sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = 54

Soal #14
Garis singgung kurva y = 3 − x2 di titik P(−a,b) dan Q(a,b) memotong sumbu Y di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 235: MATEMATIKA SAINTEK
Karena segitiga PQR sama sisi, maka θ = 60°, sehingga gradien garis singgung yang melalui P adalah tan 60° = $\sqrt{3}$

Gradien garis singgung di titik P merupakan nilai turunan pertama y = 3 − x2 di titik (−a,b). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{split}

Soal #15
Diketahui tiga bilangan positif alog b, blog c, clog d membentuk barisan geometri. Jika a = 2 dan d = 128, maka suku kedua barisan tersebut adalah ...

Pembahasan
Solusi #15
2log b, blog c, clog 128 adalah barisan aritmatika maka \begin{split} & \frac{^b \log c}{^2 \log b}=\frac{^c \log 128}{^b \log c}\\ \Rightarrow & \left(^b \log c\right)^2 = \ ^c \log 128 \cdot \ ^2 \log b\\ \Rightarrow & \left(^b \log c\right)^2 = \ ^c \log 2^7 \cdot \ ^2 \log b\\ \Rightarrow & \left(^b \log c\right)^2 = 7 \ ^c \log 2 \cdot \ ^2 \log b\\ \Rightarrow & \left(^b \log c\right)^2 = 7 \ ^c \log b\\ \Rightarrow & \left(^b \log c\right)^2 = \frac{7}{^b \log c}\\ \Rightarrow & \left(^b \log c\right)^3 = 7\\ \Rightarrow & ^b \log c = \sqrt[3]{7} \end{split} Jadi suku keduanya adalah \(\sqrt[3]{7}\)

Click to comment