Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Dua lingkaran yang mempunyai titik pusat yang berjarak 25 satuan dan garis singgung persekutuan dalam y = 4. Jika lingkaran pertama mempunyai persamaan x2 + y2 + 8x − 4y + 16 = 0, maka persamaan lingkaran kedua yang berpusat di kuadran 1 dengan jari-jari 5 adalah ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 233: MATEMATIKA SAINTEK

Dengan ilustrasi di atas AB = 2 + 5 = 7, BC = x1 + 4 dan karena jarak antara pusat kedua lingkaran adalah 25 maka AC = 25. Kemudian dengan rumus pythagoras diperoleh \(BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{25^2-7^2}=24\). Sehingga x1 + 4 = 24 atau x1 = 20.

Jadi persamaan lingkaran kedua adalah (x − 20)2 + (y − 9)2 = 25

Soal #2
Diketahui segitiga ABC, titik D pada AC dengan AB = 8, BC = 10, AC =12, dan BD = CD. Panjang AD = ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 233: MATEMATIKA SAINTEK
Dengan aturan cosinus pada segitiga ABC dapat diketahui nilai dari \begin{split}
\cos C & = \frac{CA^2+CB^2-AB^2}{2\cdot CA \cdot CB}\\
& = \frac{144+100-64}{2 \cdot 12 \cdot 10}\\
& = \frac{180}{240}\\
& = \frac{3}{4}
\end{split} Pada segitiga BDC dengan aturan cosinus juga diperoleh \begin{split}
& BD^2 = CD^2 + CB^2 - 2 \cdot CB \cdot CD \cos C\\
\Rightarrow & x^2 = x^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot x \cdot \frac{3}{4}\\
\Rightarrow & 0 = 100 - 15x\\
\Rightarrow & 15x = 100\\
\Rightarrow & x = \frac{100}{15}=\frac{20}{3}
\end{split} Jadi $AD = 12 - x = 12 - \dfrac{20}{3}= \dfrac{16}{3}$

Soal #3
Banyaknya nilai x ketika 0 ≤ x ≤ 5π yang memenuhi persamaan cos3 x + cos2 x − 4cos2 $\left( \dfrac{x}{2} \right)$ = 0 adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & \cos^3 x + \cos^2 x - 4 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) = 0\\ \Rightarrow & \cos^3 x + \cos^2 x - 4 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)+2 = 2\\ \Rightarrow & \cos^3 x + \cos^2 x - 2\left(2 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) -1\right)= 2\\ \Rightarrow & \cos^3 x + \cos^2 x - 2\cos x= 2\\ \Rightarrow & \cos^3 x + \cos^2 x - 2\cos x - 2=0\\ \Rightarrow & \cos^2 x (\cos x + 1) - 2(\cos x + 1)=0\\ \Rightarrow & (\cos^2x-2)(\cos x + 1)=0\\ \Rightarrow & \cos^2x=2 \ \text{ atau } \ \cos x = -1\\ \end{split}
Karena tidak ada nilai x yang memenuhi pada persamaan cos2 x = 2 maka haruslah cos x = −1. Pada interval 0 ≤ x ≤ 5π terdapat x = π, x = 3π dan x = 5π yang memenuhi cos x = −1

Jadi terdapat 3 nilai x yang memenuhi persamaan

Soal #4
Jika vektor $u=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ dicerminkan pada garis x = y kemudian dirotasikan sejauh 90° dengan pusat (0,0) menjadi vektor v, maka u + v = ...

Pembahasan
vektor $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ dicerminkan pada garis x = y akan menghasilkan vektor $\begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix}$

vektor $\begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix}$ dirotasikan sejauh 90° dengan pusat (0,0) menghasilkan vektor $v = \begin{pmatrix} -a \\ b \end{pmatrix}$

Jadi $u+v=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2b \end{pmatrix}$
Soal #5
Diketahui kubus ABCDEFGH dengan P merupakan titik tengah BF dan Q merupakan titik tengah DC. Jika ∠PHQ = θ, maka cos θ = ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 230: MATEMATIKA SAINTEK
Untuk mencari nilai cos θ, gunakan aturan cosinus pada segitiga PQH. Oleh karena itu panjang sisi-sisi segitiga PQH harus diketahui terlebih dahulu.

Misalkan panjang rusuk kubus = 2 (tidak masalah jika kita memisalkan panjang rusuknya dengan bilangan tertentu, karena yang diminta hanyalah perbandingan sisi saja yaitu perbandingan cosinus).

$HQ=\sqrt{HD^2+DQ^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$

$PQ=\sqrt{PB^2+BC^2+CQ^2}=\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt{6}$

$HP=\sqrt{HG^2+GF^2+FP^2}=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=3$

Jadi \begin{split}
\cos \theta = & \frac{HQ^2+HP^2-PQ^2}{2 \cdot HP \cdot HQ}\\
= & \frac{5+9-6}{2\sqrt{5}\cdot 3}\\
= & \frac{8}{6\sqrt{5}}\\
= & \frac{4}{3\sqrt{5}}\\
= & \frac{4}{15}\sqrt{5}
\end{split}

Soal #6
Diketahui sisa pembagian suku banyak f(x) − g(x) oleh x2 + x − 2 adalah x, sisa pembagian f(x) + g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah x + 1, maka sisa pembagian f(x)g(x) oleh x − 1 adalah ...

Pembahasan
sisa pembagian f(x)g(x) oleh x − 1 adalah f(1)g(1) oleh karena itu terlebih dahulu dicari nilai dari f(1) dan g(1)

Sisa pembagian suku banyak f(x) − g(x) oleh x2 + x − 2 adalah x berarti
f(x) − g(x) = (x2 + x − 2)h(x) + x untuk suatu suku banyak h(x)
Substitusikan x = 1 diperoleh f(1) − g(1) = 1

Sisa pembagian f(x) + g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah x + 1 berarti
f(x) + g(x) = (x2 − 3x + 2)k(x) + x + 1 untuk suatu suku banyak k(x)
Substitusikan x = 1 diperoleh f(1) + g(1) = 2

Dengan menyelesaikan SPLDV
f(1) − g(1) = 1
f(1) + g(1) = 2
diperoleh nilai f(1) = $\dfrac{3}{2}$ dan g(1) = $\dfrac{1}{2}$

Jadi f(1)g(1) = $\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}$

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik y = 3x + 1 jika ...

Pembahasan
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan 3x = y \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ & 2y^3-1 < y^2\\ & 2y^3-y^2-1 < 0\\ & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena 2y2 + y + 1 definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & x < 0 \end{split}

Soal #8
$\lim_{h \to 0}\limits \dfrac{\cos(x+2h)-\cos(x-2h)}{h\sqrt{4-h^2}}$

Pembahasan
Gunakan aturan L'Hospital \begin{split} & \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x+2h)-\cos(x-2h)}{h\sqrt{4-h^2}}\\ = & \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{4-h^2}} \cdot \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x+2h)-\cos(x-2h)}{h}\\ = & \dfrac{1}{\sqrt{4-0^2}} \cdot \lim_{h \to 0} \dfrac{-2\sin(x+2h)-2\sin(x-2h)}{1}\\ = & \dfrac{1}{\sqrt{4}} \cdot \lim_{h \to 0} -2\sin(x+2h)-2\sin(x-2h)\\ = & \dfrac{1}{2} \cdot (-2\sin(x+0)-2\sin(x-0))\\ = & \dfrac{1}{2} \cdot (-2\sin(x)-2\sin(x))\\ = & \dfrac{1}{2} \cdot -4\sin(x)\\ = & -2\sin(x) \end{split}

Soal #9
Jika a, b, c, d, dan e adalah bilangan real positif yang membentuk barisan aritmetika turun dan a, d, e membentuk barisan geometri, maka nilai $\dfrac{b}{e}$ = ...

Pembahasan
Misalkan barisan aritmatika di atas memiliki beda x maka
U1 = a
U2 = b = a + x
U3 = c = a + 2x
U4 = d = a + 3x
U5 = e = a + 4x

a, d, e membentuk barisan geometri maka \begin{split} & \frac{d}{a}=\frac{e}{d}\\ \Rightarrow & d^2 = ae\\ \Rightarrow & (a+3x)^2=a(a+4x)\\ \Rightarrow & a^2+6ax+9x^2=a^2+4ax\\ \Rightarrow & 2ax=-9x^2\\ \Rightarrow & 2a=-9x \end{split} Oleh karena itu \begin{split} \frac{b}{e} & = \frac{a+x}{a+4x}\\ & = \frac{2a+2x}{2a+8x}\\ & = \frac{-9x+2x}{-9x+8x}\\ & = \frac{-7x}{-1x}\\ & = 7 \end{split}

Soal #10
Nilai maksimum dari fungsi f(x) = 2cos2 x + 4cos x + 6 sin2 x adalah ...

Pembahasan
\begin{split} f(x) & =2 \cos^2 x + 4\cos x + 6 (1-\cos^2 x)\\ & = 2 \cos^2 x + 4\cos x + 6 - 6\cos^2 x\\ & = -4\cos^2 x + 4\cos x + 6\\ \end{split}
karena f(x) berbentuk fungsi kuadrat dalam cos x maka f(x) akan mempunyai nilai maksimum ketika $\cos x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{1}{2}$. Kemudian substitusikan $\cos x = \dfrac{1}{2}$ sehingga diperoleh nilai maksimum f(x) adalah $-4\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + 4\left(\dfrac{1}{2} \right) + 6 = 7$

Soal #11
Diketahui \(f(x)=f(x+2)\) untuk setiap \(x\). Jika \(\int_0^2\limits f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7\limits f(x+8) \ dx =\ldots\)

Pembahasan
\(\int_0^2\limits f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1\limits f(x) \ dx + \int_1^2\limits f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1\limits f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2\limits f(x) \ dx = B-A\)
\begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split} Misalkan \(I_1=\int_3^4\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+2\) \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+4\) \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+6\) \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split} Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & 2B
\end{split}

Soal #12
Misalkan D daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, garis y = 4, dan kurva y = x2. Jika garis y = k membagi dua daerah D sama besar, maka k3 = ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 233: MATEMATIKA SAINTEK
Jika y = x2 maka x = √y
Luas D1 sama dengan luas D2 maka
\begin{split}
& \int_k^4 \sqrt{y} \ dy = \int_0^k \sqrt{y}\ dy \\
\Rightarrow & \left[ \frac{2}{3}y\sqrt{y}\right]_k^4=\left[ \frac{2}{3}y\sqrt{y}\right]_0^k\\
\Rightarrow & \frac{16}{3}-\frac{2}{3}k\sqrt{k}= \frac{2}{3}k\sqrt{k}-0\\
\Rightarrow & \frac{16}{3}= \frac{4}{3}k\sqrt{k}\\
\Rightarrow & k\sqrt{k}=4\\
\Rightarrow & (k\sqrt{k})^2=4^2\\
\Rightarrow & k^3=16 \end{split}

Soal #13
Banyaknya bilangan genap n = abc dengan tiga digit sehingga 3 < b < c adalah ...

Pembahasan
Nilai c yang mungkin adalah 6 atau 8. Jika c = 6 maka b = 4 atau b = 5; terdapat 2 kemungkinan. Jika c = 8 maka b = 4 atau b = 5 atau b = 6 atau b = 7; terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar 3 < b < c ada sebanyak 6.

Nilai a yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk a, sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = 54

Soal #14
Garis singgung kurva y = 3 − x2 di titik P(−a,b) dan Q(a,b) memotong sumbu Y di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ...

Pembahasan

Karena segitiga PQR sama sisi, maka θ = 60°, sehingga gradien garis singgung yang melalui P adalah tan 60° = $\sqrt{3}$

Gradien garis singgung di titik P merupakan nilai turunan pertama y = 3 − x2 di titik (−a,b). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{split}

Soal #15
Misalkan a, b, c membentuk barisan geometri. Jika a + b + c = 26 dan a2 + b2 + c2 = 364, maka b = ...

Pembahasan
Kuadratkan kedua ruas persamaan a + b + c = 26 diperoleh
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 676 ...(1)

Substitusikan a2 + b2 + c2 = 364 ke persamaan (1) diperoleh
364 + 2ab + 2ac + 2bc = 676 atau 2ab + 2ac + 2bc = 312 ...(2)

a, b, c membentuk barisan geometri maka berlaku b2 = ac, kemudian substitusikan ke persamaan (2) diperoleh
2ab + 2b2 + 2bc = 312 atau 2b(a + b + c) = 312 ...(3)

Karena a + b + c = 26 maka persamaan (3) menjadi 52b = 312. Jadi b = 312/52 = 6

5 komentar

avatar

kak no. 2 kalo dikerjain pake dalil stewart x nya dapat 20/3 terus AD nya dapat 16/3

avatar

Terima kasih koreksinya gan, ternyata kami yang salah menuliskan nilai cos C yang seharusnya 3/4 tetapi ditulis 2/3

avatar

Thanks :)
bisa utk persiapan SBMPTN thn ini..

avatar

terima kasih sudah berkunjung :)

avatar

Tulisannya kacau gan tolong rapihin lagi yaa

Click to comment