Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Lingkaran L1 mempunyai jari-jari 5 dengan titik pusat (0,0), sedangkan lingkaran L2 mempunyai jari-jari 3 dengan pusat sumbu X positif. Jika persamaan garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran itu adalah 4x + 3y − 25 = 0, maka jarak titik pusat kedua lingkaran itu adalah ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 231: MATEMATIKA SAINTEK
Titik B merupakan titik potong antara garis singgung 4x + 3y − 25 = 0 dengan sumbu X, dengan mensubstitusikan y = 0 diperoleh $x = \dfrac{25}{4}$ yang merupakan absis titik B. Akibatnya panjang  $OB = \dfrac{25}{4}$

Segitiga ABO dan BCD merupakan dua segitiga yang sebangun dengan perbandingan 5 : 3, akibatnya \begin{split}
& \dfrac{OB}{OD}=\dfrac{5}{3}\\
\Rightarrow & \dfrac{\frac{25}{4}}{OD}=\dfrac{5}{3}\\
\Rightarrow & BD = \dfrac{15}{4}
\end{split} Jadi panjang OD = OB + BD = $\dfrac{25}{4}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{40}{4}=10$

Soal #2
Segitiga ABC siku-siku di B. Titik D terletak pada sisi BC sedemikian sehingga CD : BD =(√3 − 1) : 1. Jika ∠DAB = 45°, maka besar sudut CAD adalah ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 231: MATEMATIKA SAINTEK
Karena CD : BD =(√3 − 1) : 1 maka BD = x dan CD = x3x.

Karena besar sudut BAD = 45° maka AB = BD = x \begin{split} \tan (\theta+45^{\circ}) = & \frac{BC}{AB}\\ = & \frac{x\sqrt{3}}{x}\\ = & \sqrt{3} \end{split} akibatnya θ + 45° = 60° atau ∠CAD = θ = 15°

Soal #3
Nilai x antara 0 dan π yang memenuhi pertidaksamaan 2cos x + sin x ≥ 1 adalah ...

Pembahasan
Untuk menjawab soal ini, kita gunakan grafik fungsi trigonometri dengan terlebih dahulu mengubah pertidaksamaan menjadi 2cos x ≥ 1 − sin x

grafik 2cos x memiliki grafik seperti cos x tapi dengan amplitudo 2 sedangkan grafik 1 − sin x memiliki grafik seperti −sin x namun digeser vertikal ke atas sejauh 1 satuan. Sketsanya seperti berikut

SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 231: MATEMATIKA SAINTEK

Dalam interval 0 ≤ x ≤ π di atas, terlihat grafik 2cos x akan berada di atas grafik 1 − sin x jika x berada antara 0 dan π/2 akibatnya nilai x antara 0 dan π yang memenuhi pertidaksamaan 2cos x + sin x ≥ 1 adalah $0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$

Jika ada yang memiliki penyelesaian tanpa grafik silahkan komen :)

Soal #4
Jika vektor $v=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat (0,0), kemudian dicerminkan pada garis x = −y menjadi vektor u, maka u + v = ...

Pembahasan
$v=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat (0,0) akan menghasilkan bayangan $\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ dicerminkan pada garis x = −y akan menghasilkan bayangan $u = \begin{pmatrix} -a \\ b \end{pmatrix}$

Jadi $u+v=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2b \end{pmatrix}$

SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 231: MATEMATIKA SAINTEK


Soal #5
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik M berada pada rusuk AD sedemikian sehingga AM : MD = 1 : 2. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga CN : ND = 1 : 2. Titik P berada di rusuk DH sedemikian sehingga DP : PH = 2 : 1. Jika α adalah sudut antara bidang MNP dan garis PB, maka nilai cos α = ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 231: MATEMATIKA SAINTEK

Perhatikan bidang BFHD, bidang tersebut memotong MNP secara tegak lurus dan pada bidang BFHD terletak garis PB oleh karena itu α juga akan sama dengan sudut antara PS dan PB. Berikut ilustrasi bidang BFHD

SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 231: MATEMATIKA SAINTEK

Misalkan panjang rusuk kubus adalah 3 (tidak masalah jika kita memisalkan panjang rusuknya dengan bilangan tertentu, karena yang diminta hanyalah perbandingan sisi saja yaitu perbandingan cosinus) maka $PD = \dfrac{2}{3} HD = \dfrac{2}{3}\cdot 3 = 2$

Karena panjang rusuknya 3 maka maka panjang DM = DN = 2 akibatnya \begin{split}
DS & =\dfrac{1}{2}\sqrt{DM^2+DN^2}\\
& =\dfrac{1}{2}\sqrt{8}\\
& =\sqrt{2}
\end{split} BD adalah diagonal bidang dengan panjang $3\sqrt{2}$ maka \begin{split}
BS & =BD-DS\\
& =3\sqrt{2}-\sqrt{2}\\
& =2\sqrt{2}
\end{split} Dengan menggunakan rumus pythagoras pada segitiga PDS diperoleh $PS=\sqrt{6}$

Begitu juga pada segitiga PDB diperoleh $PB=\sqrt{22}$

Gunakan aturan cosinus pada segitga BPS untuk menentukan cos α \begin{split} \cos \alpha & = \frac{PB^2+PS^2-BS^2}{2 \cdot PB \cdot PS}\\ & = \frac{22+6-8}{2 \cdot \sqrt{22} \cdot \sqrt{6}}\\ & = \frac{20}{2 \cdot \sqrt{22 \cdot 6}}\\ & = \frac{10}{\sqrt{4 \cdot 33}}\\ & = \frac{10}{2\sqrt{33}}\\ & = \frac{5}{\sqrt{33}}\\ & = \frac{5}{33}\sqrt{33} \end{split}

Soal #6
Jika sisa pembagian f(x) oleh x3 − 3x + 5 adalah 3x2 − 2, dan sisa pembagian x2 + f2(x) oleh x3 − 3x + 5 adalah ax2 + bx + c, maka a + b + c = ...

Pembahasan
Misalkan
f = f(x)
h = h(x)
q = q(x) = x3 − 3x + 5
s = s(x) = 3x2 − 2

sisa pembagian f(x) oleh x3 − 3x + 5 adalah 3x2 − 2 berarti 
f(x) = h(x)(x3 − 3x + 5) + 3x2 − 2 atau jika disederhanakan f = hq + s

f2 = h2q2 + 2hqs + s2 \begin{split} & x^2+f^2(x) \\ = & x^2+h^2q^2+2hqs+s^2\\ = & x^2+{\color{Blue} {h^2q^2+2hqs}}+s^2 \end{split} Suku-suku yang diwarnai biru habis dibagi q, sehingga tinggal mencari sisa pembagian x2 + s2 oleh q. \begin{split} & x^2+s^2\\ = & x^2+(3x^2-2)^2\\ = & 9x^4-11x^2+4 \end{split} Dengan menggunakan pembagian bersusun 9x4 − 11x2 + 4 dibagi oleh x3 − 3x + 5 diperoleh sisa 16x2 − 45x + 4. Sehingga a = 16, b = −45, dan c = 4

Jadi a + b + c = 16 + (−45) + 4 = −25

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik y = 3x + 1 jika ...

Pembahasan
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan 3x = y \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ & 2y^3-1 < y^2\\ & 2y^3-y^2-1 < 0\\ & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena 2y2 + y + 1 definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & x < 0 \end{split}

Soal #8
Nilai dari $\lim_{x \to 2}\limits \dfrac{\sqrt{1-\cos(x-2)}}{\sqrt{x^2-2x}}$ adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & \lim_{x \to 2}\limits \dfrac{\sqrt{1-\cos(x-2)}}{\sqrt{x^2-2x}}\\ = & \lim_{x \to 2}\limits \sqrt{\dfrac{1-\cos(x-2)}{x^2-2x}}\\ = & \lim_{x \to 2}\limits \sqrt{\dfrac{1-\left( 1-2\sin^2 \frac{1}{2}(x-2) \right)}{x(x-2)}}\\ = & \lim_{x \to 2}\limits \sqrt{\dfrac{2\sin^2 \frac{1}{2}(x-2)}{x(x-2)}}\\ = & \sqrt{\dfrac{\lim_{x \to 2}\limits 2\sin \frac{1}{2}(x-2)}{x} \cdot \lim_{x \to 2}\limits \dfrac{\sin \frac{1}{2}(x-2)}{x-2}}\\ = & \sqrt{\dfrac{2\sin \frac{1}{2}(2-2)}{2} \cdot \lim_{x \to 2}\limits \dfrac{1}{2} \dfrac{\sin \frac{1}{2}(x-2)}{\frac{1}{2}(x-2)}}\\ = & \sqrt{\dfrac{2\sin 0}{2} \cdot \lim_{x \to 2} \dfrac{1}{2} \dfrac{\sin \frac{1}{2}(x-2)}{\frac{1}{2}(x-2)}}\\ = & \sqrt{0 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1}\\ = & 0 \end{split}

Soal #9
Diketahui selisih jumlah enam suku pertama dan jumlah tiga suku pertama deret geometri dengan rasio positif adalah 168. Jika suku ke 4 deret tersebut adalah 24, maka suku kedua deret geometri tersebut adalah ...

Pembahasan
Misalkan barisan geomteri tersebut memiliki rumus Un = arn-1

Jumlah enam suku pertama = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6
Jumlah tiga suku pertama = U1 + U2 + U3
Suku ke 4 = 24 maka ar3 = 24

Sehingga selisih jumlah enam suku pertama dengan jumlah tiga suku pertama adalah U4 + U5 + U6 = 168. \begin{split} & U_4 + U_5 + U_6 = 168\\ \Rightarrow & ar^3 + ar^3r + ar^3r^2 = 168\\ \Rightarrow & 24 + 24 r + 24r^2 = 168\\ \Rightarrow & 1 + r + r^2 = 7\\ \Rightarrow & r^2 + r - 6 = 0\\ \Rightarrow & (r+3)(r-2) = 0\\ \Rightarrow & r = -3 \text{ atau } r = 2 \end{split} Karena rasio positif maka r = 2. Kemudian substitusikan r = 2 ke ar3 = 24 diperoleh a = 6

Jadi suku kedua = ar = 6⋅2 = 12

Soal #10
Misalkan f(x) = x3 + 2x2 + a dan g(x) = x + a berpotongan di sumbu X, dengan a bilangan bulat. Nilai minimum f(x) di interval −1 ≤ x ≤ 2 adalah ...

Pembahasan
f(x) dan g(x) berpotongan maka persamaan f(x) = g(x) memiliki penyelesaian \begin{split} & x^3 + 2x^2 + a = x + a\\ \Rightarrow & x^3 + 2x^2 - x = 0\\ \Rightarrow & x(x^2+2x-1) = 0\\ \Rightarrow & x = 0 \text{ atau } (x^2+2x-1)=0 \end{split} Persamaan kuadrat di atas tidak memiliki penyelesaian bilangan bulat, jadi haruslah x = 0. Akibatnya f(x) dan g(x) memotong sumbu X di x = 0 dengan kata lain f(x) dan g(x) melalui titik (0,0).

Karena melalui titik (0,0) maka f(0) = 0 atau 0 + a = 0, diperoleh a = 0

sehingga f(x) = x3 + 2x2

f(x) maksimum jika f'(x) = 0 atau 3x2 + 4x = 0, dengan menyelesaikannya diperoleh x = 0 atau x = −4/3 tetapi x = −4/3 tidak dalam interval −1 ≤ x ≤ 2

Kemudian hitung nilai f ketika x = 0, dan ketika x merupakan ujung interval
f(−1) = 1
f(0) = 0
f(2) = 16

Jadi nilai minimum f(x) adalah 0

Soal #11
Diketahui \(f(x)=f(x+2)\) untuk setiap \(x\). Jika \(\int_0^2\limits f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7\limits f(x+8) \ dx =\ldots\)

Pembahasan
\(\int_0^2\limits f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1\limits f(x) \ dx + \int_1^2\limits f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1\limits f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2\limits f(x) \ dx = B-A\)
\begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split} Misalkan \(I_1=\int_3^4\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+2\) \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+4\) \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+6\) \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split} Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & 2B
\end{split}

Soal #12
Diketahui f(x) = k(x3 − 6x2 + 9x), k > 0, dan $\int_0^a\limits f(x)\ dx = 7$ untuk (a,b) titik balik minimum. Nilai k adalah ...

Pembahasan
(a,b) titik balik minimum maka f'(a) = 0 \begin{split} & k(3a^2-12a+9)=0\\ \Rightarrow & a^2-4a+3=0\\ \Rightarrow & (a-3)(a-1)=0\\ \Rightarrow & a=3 \text{ atau }a=1 \end{split} Karena f(a) = f(3) = 0 dan f(a) = f(1) = 4k, maka titik minimum yang mungkin hanyalah ketika a = 3. Jadi \begin{split} & \int_0^a f(x)\ dx = 27\\ \Rightarrow & \int_0^3 k(x^3-6x^2+9x)\ dx = 27\\ \Rightarrow & k\int_0^3 x^3-6x^2+9x\ dx = 27\\ \Rightarrow & k\left[\frac{1}{4}x^4-2x^3+\frac{9}{2}x^2\right]_0^3 = 27\\ \Rightarrow & k\left[\frac{81}{4}-54+\frac{81}{2}\right] = 27\\ \Rightarrow & \frac{27}{4}k = 27\\ \Rightarrow & k = 4 \end{split}

Soal #13
Banyaknya bilangan genap n = abc dengan tiga digit sehingga 3 < b < c adalah ...

Pembahasan
Nilai c yang mungkin adalah 6 atau 8. Jika c = 6 maka b = 4 atau b = 5; terdapat 2 kemungkinan. Jika c = 8 maka b = 4 atau b = 5 atau b = 6 atau b = 7; terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar 3 < b < c ada sebanyak 6.

Nilai a yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk a, sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = 54

Soal #14
Garis singgung kurva y = 3 − x2 di titik P(−a,b) dan Q(a,b) memotong sumbu Y di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 231: MATEMATIKA SAINTEK
Karena segitiga PQR sama sisi, maka θ = 60°, sehingga gradien garis singgung yang melalui P adalah tan 60° = $\sqrt{3}$

Gradien garis singgung di titik P merupakan nilai turunan pertama y = 3 − x2 di titik (−a,b). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{split}

Soal #15
Nilai k antara 0 dan π yang membuat $\int_0^k (\sin x + \cos x)\ dx$ maksimum adalah ...

Pembahasan
Misalkan $f(k)=\int_0^k (\sin x + \cos x)\ dx$. f(k) akan maksimum jika f'(k) = 0 \begin{split} & f'(k) = 0\\ \Rightarrow & \sin k + \cos k = 0\\ \Rightarrow & \sin k = -\cos k \end{split} Nilai k antara 0 dan π yang memnuhi persamaan di atas hanya $k=\dfrac{3}{4}\pi$

8 komentar

avatar

website yang sangat amat membantu sekali, saya jadi bisa banyak belajar cara baru makasih banget min = D

avatar

Sama-sama, terima kasih atas kunjungannya

avatar
This comment has been removed by the author.
avatar

Mungkin gini min untuk nomor 3

2cosx+sinx>1
2cosx>1-sinx

Karena 00, akibatnya ruas kira juga harus >0, maka untuk pi/21-sinx

Kuadratkan kedua ruas diperoleh:

4cos^2(x)>1-2sinx+sin^2(x)
4-4sin^2(x)>1-2sinx+sin^2(x)
5sin^2(x)-2sinx-3>0
-5/3 dibaca kurang dari sama dengan dan lebih dari sama dengan (kecuali yg bagian pi/2<x<pi)

CMIIW

avatar

Kok ga sesuai sama yg ditulis sih^ :((

avatar
This comment has been removed by the author.
avatar

apa yang tidak sesuai dengan yang ditulis ?

avatar

Jawaban yg saya kirim ga sesuai sama yg saya ketik

Click to comment