Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Dua lingkaran L1 dan L2 berpusat pada sumbu X dengan radius R1 = 2 dan R2 = 4. Suatu garis singgung dalam dari kedua lingkaran tersebut menyinggung L1 di F dan menyinggung L2 di G. Garis singgung tersebut memotong sumbu X di Q sehingga luas AFQ = 5 satuan luas dengan A titik pusat L1. Panjang FG adalah ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 230: MATEMATIKA SAINTEK
Luas AFQ = 5 berarti \begin{split}
& \frac{1}{2}\cdot AF \cdot FQ = 5\\
\Rightarrow & \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot FQ = 5\\
\Rightarrow & FQ=5 \end{split} Segitiga AFQ sebangun dengan segitiga QGB dengan B merupakan pusat lingakaran L2 \begin{split}
& \frac{FQ}{QG}=\frac{AF}{GB}\\
\Rightarrow & \frac{5}{QG}=\frac{2}{4}\\
\Rightarrow & QG = 10 \end{split} Jadi panjang FG = FQ + QG = 5 + 10 = 15

Soal #2
Segitiga ABD siku-siku di B. Titik C pada BD sehingga CD = 3 dan BC = 2. Jika AB = 1 dan ∠CAD = β maka sin2 β = ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 230: MATEMATIKA SAINTEK

\(AD=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}\)
\(AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)

Dengan menggunakan rumus selisih sudut \begin{split} & \sin \beta \\ = & \sin (\theta-\alpha)\\ = & \sin \theta \cos \alpha - \cos \theta \sin \alpha\\ = & \frac{BD}{AD} \frac{AB}{AC} - \frac{AB}{AD} \frac{BC}{AC}\\ = & \frac{5}{\sqrt{26}} \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{26}} \frac{2}{\sqrt{5}}\\ = & \frac{3}{\sqrt{130}}\\ \end{split} Jadi $\sin^2 \beta = \left( \dfrac{3}{\sqrt{130}} \right)^2 = \dfrac{9}{130}$

Soal #3
Banyak nilai x yang memenuhi persamaan (sin2 2x + cos2 2x)(sin2 2x − cos2 2x) = 1, 0 ≤ x ≤ 2π adalah ...

Pembahasan
Dengan identititas

sin2 θ + cos2 θ = 1 dan
cos2 θ − sin2 θ = cos 2θ

persamaan pada soal akan menjadi (1)(−cos 4x) = 1 atau cos 4x = −1, sehingga \begin{split} & 4x = \pi + k \cdot 2 \pi\\ \Rightarrow & x = \frac{1}{4}\pi + \frac{1}{2}k\pi \end{split} Agar x memenuhi 0 ≤ x ≤ 2π maka nilai k yang mungkin hanya 0, 1, 2 atau 3. Jadi banyak nilai x yang memenuhi ada 4

Selengkapnya silahkan baca tentang Persamaan Trigonometri

Soal #4
Jika pencerminan titik P(s,t) terhadap garis x = a dan dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = b menghasilkan dilatasi 3 kali, maka ab = ...

Pembahasan
P(s,t) dicerminkan terhadap garis x = a akan menghasilkan bayangan (2a − s,t)
(2a − s,t) dicerminkan terhadap garis y = b akan menghasilkan bayangan (2a − s,2b − t)

(2a − s,2b − t) juga merupakan sebuah dilatasi sebesar 3 kali pada P(s,t) yakni
(2a − s,2b − t) = (3s,3t)
akibatnya
2a − s = 3s atau a = 2s dan
2b − s = 3t atau b = 2t
Jadi ab = 4st

Soal #5
Diketahui kubus ABCDEFGH dengan P merupakan titik tengah BF dan Q merupakan titik tengah DC. Jika ∠PHQ = θ, maka cos θ = ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 230: MATEMATIKA SAINTEK
Untuk mencari nilai cos θ, gunakan aturan cosinus pada segitiga PQH. Oleh karena itu panjang sisi-sisi segitiga PQH harus diketahui terlebih dahulu.

Misalkan panjang rusuk kubus = 2 (tidak masalah jika kita memisalkan panjang rusuknya dengan bilangan tertentu, karena yang diminta hanyalah perbandingan sisi saja yaitu perbandingan cosinus).

$HQ=\sqrt{HD^2+DQ^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$

$PQ=\sqrt{PB^2+BC^2+CQ^2}=\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt{6}$

$HP=\sqrt{HG^2+GF^2+FP^2}=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=3$

Jadi \begin{split}
\cos \theta = & \frac{HQ^2+HP^2-PQ^2}{2 \cdot HP \cdot HQ}\\
= & \frac{5+9-6}{2\sqrt{5}\cdot 3}\\
= & \frac{8}{6\sqrt{5}}\\
= & \frac{4}{3\sqrt{5}}\\
= & \frac{4}{15}\sqrt{15}
\end{split}

Soal #6
Jika diketahui sisa pembagian xf(x) oleh (x2 + 4x − 12) adalah ax + b, sisa pembagian (x − 1)g(x) oleh (x2 + x − 6) adalah x + 3 dan sisa pembagian f(x)g(x) oleh (x2 − 8x + 12) adalah 7x − 13, maka 4a2 + 4ab + b2 = ...

Pembahasan
Perhatikan bahwa 4a2 + 4ab + b2 = (2a + b)2, Ini artinya cukup mencari nilai 2a + b dengan cara mensubstitusikan x = 2 ke sisa pembagian xf(x) oleh (x2 + 4x − 12).

xf(x) = (x2 + 4x − 12)h(x) + (ax + b). Substitusi x = 2 diperoleh 2f(2) = 2a + b

sisa pembagian (x − 1)g(x) oleh (x2 + x − 6) adalah x + 3 berarti
(x − 1)g(x) = (x2 + x − 6)k(x) + (x + 3), substitusikan x = 2 diperoleh g(2) = 5

sisa pembagian f(x)g(x) oleh (x2 − 8x + 12) adalah 7x − 13 berarti
f(x)g(x) = (x2 − 8x + 12)j(x) + (7x − 13), substitusikan x = 2 diperoleh f(2)g(2) = 1. Karena g(2) = 5 maka f(2) = 1/5

AKibatnya 2a + b = 2/5. Jadi 2a + b = $\dfrac{4}{25}$

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik y = 3x + 1 jika ...

Solusi #7
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan 3x = y \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ & 2y^3-1 < y^2\\ & 2y^3-y^2-1 < 0\\ & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena 2y2 + y + 1 definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & $x < 0$ \end{split}

Soal #8
$\lim_{x \to 0}\limits \dfrac{x\sqrt{x+4}-2}{1-\cos x}=\ldots$

Pembahasan
\begin{split} & \lim_{x \to 0}\limits \dfrac{x\sqrt{x+4}-2}{1-\cos x}\\ = & \lim_{x \to 0}\limits \dfrac{x(\sqrt{x+4}-2)}{1-\cos x} \times \dfrac{1+\cos x}{1+\cos x} \times \dfrac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}\\ = & \lim_{x \to 0}\limits \dfrac{x(\sqrt{x+4}-2)(1+\cos^2 x)}{1-\cos^2 x} \times \dfrac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}\\ = & \lim_{x \to 0}\limits \dfrac{x(x+4-4)(1+\cos^2 x)}{\sin^2 x(\sqrt{x+4}+2)}\\ = & \lim_{x \to 0}\limits \dfrac{x^2(1+\cos^2 x)}{\sin^2 x(\sqrt{x+4}+2)}\\ = & \lim_{x \to 0}\limits \left(\dfrac{x}{\sin x}\right)^2 \times \dfrac{1+\cos^2 x}{\sqrt{x+4}+2}\\ = & \lim_{x \to 0}\limits \left(\dfrac{x}{\sin x}\right)^2 \times \lim_{x \to 0} \dfrac{1+\cos^2 x}{\sqrt{x+4}+2}\\ = & 1^2 \times \dfrac{1+\cos^2 0}{\sqrt{0+4}+2}\\ = & \dfrac{1+1^2}{\sqrt{4}+2}\\ = & \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \end{split}

Soal #9
Suat barisan geometri semua sukunya positif. Jika $\dfrac{U_1+U_2}{U_3+U_4}=\frac{1}{9}$ maka $\dfrac{U_1+U_2+U_3+U_4}{U_2+U_3}=\ldots$

Pembahasan
\begin{split} & \frac{U_1+U_2}{U_3+U_4}=\frac{1}{9}\\ \Rightarrow & \frac{a+ar}{ar^2+ar^3}=\frac{1}{9}\\ \Rightarrow & \frac{1+r}{r^2+r^3}=\frac{1}{9}\\ \Rightarrow & r^3+r^2=9r+9\\ \Rightarrow & r^2(r+1)=9(r+1)\\ \Rightarrow & r^2=9\\ \Rightarrow & r=3 \end{split} Jadi \begin{split} & \frac{U_1+U_2+U_3+U_4}{U_2+U_3}\\ = & \frac{a+ar+ar^2+ar^3}{ar+ar^2}\\ = & \frac{1+r+r^2+r^3}{r+r^2}\\ = & \frac{1+3+9+27}{3+9}\\ = & \frac{40}{12}\\ = & \frac{10}{3}\end{split}

Soal #10
Diketahui fungsi f(x) = x3 + bx2 + cx + d pada interval [−4,2] memotong sumbu X di −2 dan memotong sumbu Y di 26. Jika diketahui f''(−3) = 0 maka minimum f(x) adalah ...

Pembahasan
memotong sumbu X di −2 berarti f(−2) = 0
−8 + 4b − 2c + d = 0 atau 4b − 2c + d = 8 ...(1)

memotong sumbu Y di 26 berarti f(0) = 26, substitusikan x = 0 ke f(x) diperoleh d = 26, akibatnya persamaan (1) menjadi 4b − 2c = −18...(2)

Karen f''(x) = 6x + 2b dan f''(−3) = 0 maka −18 + 2b = 0 atau b = 9

Substitusi b = 9 ke persamaan (2) diperoleh c = 27 sehingga f(x) = x3 + 9x2 + 27x + 26

f(x) minimum jika f'(x) = 0
3x2 + 18x + 27 = 0 atau x2 + 6x + 9 = 0
Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat di atas diperoleh x = −3

Substitusikan titik-titik ujung interval dan x = −3 dapat diketahui
f(−4) = 214
f(−3) = −1
f(2) = 124
Jadi nilai minumum f(x) adalah −1

Soal #11
Diketahui \(f(x)=f(x+2)\) untuk setiap \(x\). Jika \(\int_0^2\limits f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7\limits f(x+8) \ dx =\ldots\)

Pembahasan
\(\int_0^2\limits f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1\limits f(x) \ dx + \int_1^2\limits f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1\limits f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2\limits f(x) \ dx = B-A\)
\begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split} Misalkan \(I_1=\int_3^4\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+2\) \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+4\) \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+6\) \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split} Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & 2B
\end{split}

Soal #12
Diketahui f dan g dengan f(x) = f(x + a), f(x) = 5x5 + 2016x3 untuk 0 < xa, dan g(x) = g(x + 2a), g(x) = 5x5 + 2016x3 untuk −a < xa, dan $\int_0^a\limits f(x)\ dx = b$. Nilai dari $\int_{0}^{3a}\limits (f(x)+g(x))\ dx $ adalah ...

Pembahasan
$\int_{0}^{3a}\limits (f(x)+g(x))\ dx = \int_{0}^{3a}\limits f(x)\ dx + \int_{0}^{3a}\limits g(x)\ dx$

Hitung kedua integral pada ruas kanan persamaan di atas secara terpisah \begin{split}
\int_{0}^{3a} f(x)\ dx = & \int_0^a f(x)\ dx + \int_a^{2a} f(x)\ dx + \int_{2a}^{3a} f(x)\ dx\\
= & b + \int_{a-a}^{2a-a} f(x+a)\ dx + \int_{2a-a}^{3a-a} f(x+a)\ dx\\
= & b + \int_{0}^{a} f(x)\ dx + \int_{a}^{2a} f(x)\ dx\\
= & b + b + \int_{a-a}^{2a-a} f(x+a)\ dx\\
= & 2b + \int_{0}^{a} f(x)\ dx\\
= & 2b + b = 3b
\end{split}
\begin{split}
\int_{0}^{3a} g(x)\ dx = & \int_0^a g(x)\ dx + \int_a^{3a} g(x)\ dx\\
= & \int_0^a g(x)\ dx + \int_{a-2a}^{3a-2a} g(x+2a)\ dx\\
= & \int_0^a g(x)\ dx + \int_{-a}^{a} g(x)\ dx
\end{split} Karena g(x) adalah fungsi ganjil maka $\int_{-a}^{a}\limits g(x)\ dx = 0$, sehingga \begin{split}
\int_{0}^{3a} g(x)\ dx = & \int_0^a g(x)\ dx + \int_{-a}^{a} g(x)\ dx\\
= & \int_0^a g(x)\ dx + 0\\
= & \int_0^a g(x)\ dx
\end{split} Dengan memperhatikan rumus fungsi f dan g pada interval 0 < xa, terlihat bahwa rumus fungsinya sama, sehingga \begin{split}
\int_{0}^{3a} g(x)\ dx =  & \int_0^a g(x)\ dx\\
= & \int_0^a f(x)\ dx\\
= & b
\end{split} Jadi $\int_{0}^{3a}\limits (f(x)+g(x))\ dx = 3b + b = 4b$

Soal #13
Banyaknya bilangan genap n = abc dengan tiga digit sehingga 3 < b < c adalah ...

Pembahasan
Nilai c yang mungkin adalah 6 atau 8. Jika c = 6 maka b = 4 atau b = 5; terdapat 2 kemungkinan. Jika c = 8 maka b = 4 atau b = 5 atau b = 6 atau b = 7; terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar 3 < b < c ada sebanyak 6.

Nilai a yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk a, sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = 54

Soal #14
Garis singgung kurva y = 3 − x2 di titik P(−a,b) dan Q(a,b) memotong sumbu Y di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 230: MATEMATIKA SAINTEK
Karena segitiga PQR sama sisi, maka θ = 60°, sehingga gradien garis singgung yang melalui P adalah tan 60° = $\sqrt{3}$

Gradien garis singgung di titik P merupakan nilai turunan pertama y = 3 − x2 di titik (−a,b). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\fbox{$\frac{\sqrt{3}}{2}$} \end{split}

Soal #15
Jika f(x) = Ax2 + Bx sehingga f'(0), \(\int_0^2 f(x) \ dx\), dan f(2) berturut-turut membentuk barisan aritmatika, maka nilai A/B = ...

Pembahasan
f'(0) = B

\(\int_0^2 Ax^2+Bx \ dx = \frac{8A}{3}+2B\)

f(2) = 4A + 2B

Karena barisan aritmatika \begin{split} & 2\left(\frac{8A}{3}+2B\right)=4A+2B+B\\ \Rightarrow & \frac{16A}{3}+4B=4A+3B\\ \Rightarrow & \frac{16A}{3}=4A-B\\ \Rightarrow & 16A=12A-3B\\ \Rightarrow & 4A=-3B\\ \Rightarrow & \frac{A}{B}=-\frac{3}{4} \end{split}

1 komentar:

avatar

maaf itu penjelasannya bagaimana ya maksudnya???

Click to comment