Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 229: MATEMATIKA SAINTEK
Diketahui lingkaran menyinggung sisi-sisi persegi panjang dengan ukuran 12×15, seperti pada gambar. Garis CE menyinggung lingkaran. Panjang DE = ...

Solusi #1
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 229: MATEMATIKA SAINTEK
Titik H merupakan titik singgung lingkaran dengan sisi bagian bawah persegi panjang yang sekaligus titik tengah AB, akibatnya HB = HA = 6. Dengan menggunakan sifat garis singgung diperoleh HB = BI = 6, begitu juga dengan HA = AG = 6. Karena BI = 6 maka CI = 15 − 6 = 9, akibatnya CF = 9. Misalkan EG = EX = 6, maka DE = 9 − x dan CE = 9 + x.

Dengan menggunakan rumus pythagoras pada segitiga CDE diperoleh \begin{split}
& CE^2 = CD^2 + DE^2\\
\Rightarrow & (9+x)^2 = 12^2 + (9-x)^2\\
\Rightarrow & 81 + 18x+x^2 = 144+81 - 18x+x^2\\
\Rightarrow & 18x = 144 - 18x\\
\Rightarrow & 36x = 144\\
\Rightarrow & x = 4
\end{split} Jadi DE = 9 − x = 9 − 4 = 5

Soal #2
Pada trapesium ABCD, DA ⊥ AB dan sisi AB > DC. Dari titik C ditarik garis AD memotong AB di titik E. Jika diketahui ∠ABD = 20°, ∠DBC = 40°, DC = 10 satuan, maka panjang sisi BC adalah ...

Solusi #2
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 229: MATEMATIKA SAINTEK
Segitiga FEB sebangun dengan segitiga CFD, akibatnya ∠CDF = ∠FBE = 20°.
Misalkan panjang BE = x. Dengan perbandingan tangen diperoleh
$\tan 20^{\circ} = \dfrac{FE}{BE}=\dfrac{FE}{x} \Rightarrow FE = x \tan 20^{\circ}$ dan
$\tan 20^{\circ} = \dfrac{CF}{CD}=\dfrac{CF}{10} \Rightarrow CF = 10 \tan 20^{\circ}$ dan
$\tan 60^{\circ} = \dfrac{CE}{BE} \Rightarrow \sqrt{3} = \dfrac{CE}{x} \Rightarrow CE = x\sqrt{3}$ 
Karena CE = CF + FE maka \begin{split}
& x\sqrt{3} = 10 \tan 20^{\circ} + x \tan 20^{\circ}\\
\Rightarrow & x\sqrt{3} - x \tan 20^{\circ} = 10 \tan 20^{\circ}\\
\Rightarrow & x(\sqrt{3} - \tan 20^{\circ}) = 10 \tan 20^{\circ}\\
\Rightarrow & x = \frac{10 \tan 20^{\circ}}{\sqrt{3} - \tan 20^{\circ}}
\end{split}Dengan rumus pythagoras diperoleh \begin{split}
BC & = \sqrt{BE^2+CE^2}\\
& = \sqrt{x^2+(x\sqrt{3})^2}\\
& = \sqrt{x^2+3x^2}\\
& = \sqrt{4x^2}\\
& = 2x\\
& = 2\left( \frac{10 \tan 20^{\circ}}{\sqrt{3} - \tan 20^{\circ}} \right)\\
& = \frac{20 \tan 20^{\circ}}{\sqrt{3} - \tan 20^{\circ}}\\
& = \frac{20 \tan 20^{\circ}}{\sqrt{3} - \tan 20^{\circ}} \times \frac{\cos 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}\\
& = \frac{20 \sin 20^{\circ}}{\sqrt{3}\cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}\\
& = \frac{20 \sin 20^{\circ}}{2\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\cos 20^{\circ} - \frac{1}{2}\sin 20^{\circ}\right)}\\
& = \frac{20 \sin 20^{\circ}}{2\left(\sin 60^{\circ}\cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ}\sin 20^{\circ}\right)}\\
& = \frac{20 \sin 20^{\circ}}{2\sin(60^{\circ}-20^{\circ})}\\
& = \frac{20 \sin 20^{\circ}}{2\sin 40^{\circ}}\\
& = \frac{20 \sin 20^{\circ}}{4\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}}\\
& = \frac{5}{\cos 20^{\circ}}\\
& = 5\sec 20^{\circ}
\end{split} Jika ada yang punya penyelesaian lebih sederhana silahkan komen :)

Soal #3
Himpunan x di selang [0,2π] yang memenuhi pertaksamaan √3cos x ≤ sin x ≤ 0 dapat ditulis sebagai [a,b]. Nilai a × b adalah ...

Solusi #3
Dari pertaksamaan kita ketahui bahwa nilai cos x dan sin x negatif. Keduanya negatif hanya terjadi di kuadran III yaitu antara [π,3π/2]. Oleh karena itu cukup menyelesaikan √3cos x ≤ sin x dengan x ada di kuadran III. \begin{split} & \sqrt{3} \cos x \leq \sin x\\ \Rightarrow & \sqrt{3} \geq \frac{\sin x}{\cos x}\text{ (tanda berubah karena cos x negatif)}\\ \Rightarrow & \frac{\sin x}{\cos x} \leq \sqrt{3}\\ \Rightarrow & \tan x \leq \tan \dfrac{4\pi}{3}\\ \Rightarrow & x \leq \frac{4\pi}{3} \end{split} Tetapi karena x ada di kuadran III maka $\left[ \pi,\dfrac{4\pi}{3},\right]$ Sehingga $a = \pi$ dan $b = \dfrac{4π}{3}$, jadi $a \times b = \dfrac{4\pi^2}{3}$

Soal #4
Jika vektor $u=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ dicerminkan pada garis x = y kemudian dirotasikan sejauh 90° dengan pusat (0,0) menjadi vektor v, maka u + v = ...

Solusi #4
vektor $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ dicerminkan pada garis x = y akan menghasilkan vektor $\begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix}$

vektor $\begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix}$ dirotasikan sejauh 90° dengan pusat (0,0) menghasilkan vektor $v = \begin{pmatrix} -a \\ b \end{pmatrix}$

Jadi $u+v=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2b \end{pmatrix}$

Soal #5
Pada kubus ABCDEFGH, titik M terletak pada diagonal BE dengan perbandingan EM : MB = 1 : 3 dan N adalah titik tengah rusuk CD. Jika R terletak pada rusuk AB dimana RM sejajar AE, maka sin ∠MNR adalah ...

Solusi #5
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 229: MATEMATIKA SAINTEK
Misalkan rusuk kubus di atas adalah 4 (tidak masalah jika kita memisalkan panjang rusuknya dengan bilangan tertentu, karena yang diminta hanyalah perbandingan sisi saja yaitu perbandingan sinus). Untuk mencari nilai sin ∠MNR = sin θ kita gunakan perbandingan MR : MN.

SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 229: MATEMATIKA SAINTEK
Perhatikan gambar kedua persegi di atas merupakan sisi dari kubus ABCDEFGH. Pada persegi sebelah kiri tertulis 1 dan 3 dengan warna merah, ini bukan panjang tapi hanya perbandingan EM : MB = 1 : 3. Karena AB = 4, maka AR = 1 dan RB = 3 agar sesuai perbandingan EM : MB = 1 : 3. Akibatnya panjang MR = 3. Pada persegi sebelah kanan, kita bisa menghitung panjang NR dengan rumus pythagoras yaitu NR = √17.

Kembali ke kubus dan perhatikan segitga MNR, dengan rumus pythagoras lagi didapat NM = √26.

Jadi $\sin \angle MNR = \dfrac{MR}{MN} = \dfrac{3}{\sqrt{26}}$

Soal #6
Fungsi f(x) dan g(x) adalah fungsi dengan sifat f(−x) = f(x) dan g(−x) = g(x). Jika sisa pembagian (x − 1)f(x) oleh x2 − 2x − 3 adalah x + 3 dan sisa pembagian (x + 2)g(x) oleh x2 + 2x − 3 adalah x + 5, maka sisa pembagian xf(x)g(x) oleh x2 + 4x + 3 adalah ...

Solusi #6
Jika sisa pembagian (x − 1)f(x) oleh x2 − 2x − 3 adalah x + 3 maka \begin{split} (x − 1)f(x) = & (x^2 − 2x − 3)h(x) + (x + 3)\\ = & (x-3)(x+1)h(x)+(x+3)\text{ ...(1)} \end{split} untuk suatu fungsi h(x)

Dengan cara yang sama seperti di atas diperoleh \begin{split} (x + 2)g(x) = & (x^2+2x-3)k(x) +(x+5)\\ = & (x+3)(x-1)k(x)+(x+5)\text{ ...(2)} \end{split} untuk suatu fungsi k(x)

Misalkan sisa pembagian xf(x)g(x) oleh x2 + 4x + 3 adalah mx + n maka \begin{split} xf(x)g(x) = &(x^2+4x+3)j(x)+(mx+n)\\ = & (x+3)(x+1)j(x)+(mx+n)\text{ ...(3)} \end{split} untuk suatu fungsi j(x)

Substitusikan x = 3 dan x = −1 ke persamaan (1) diperoleh \begin{split} & (3 − 1)f(3) = (3^2 − 2(3) − 3)h(3) + (3 + 3)\\ \Rightarrow & 2f(3)=6\\ \Rightarrow & f(3)=3 \end{split} dan \begin{split} & (-1 − 1)f(-1) = ((-1)^2 − 2(-1) − 3)h(-1) + (-1 + 3)\\ \Rightarrow & -2f(-1)=2\\ \Rightarrow & f(-1)=-1 \end{split} Substitusikan x = −3 dan x = 1 ke persamaan (2) diperoleh \begin{split} & (-3 + 2)g(-3) = & ((-3)^2+2(-3)-3)k(-3) +(-3+5)\\ \Rightarrow & -g(-3)=2\\ \Rightarrow & g(-3)=-2 \end{split} dan \begin{split} & (1 + 2)g(1) = & (1^2+2(1)-3)k(1) +(1+5)\\ \Rightarrow & 3g(1)=6\\ \Rightarrow & g(1)=2 \end{split} Berdasarkan sifat f(−x) = f(x) dan g(−x) = g(x) maka kita juga mendapatkan $f(-3)=3$, $f(-1)=-1$, $g(3)=-2$ dan $g(-1)=2$

Substitusikan x = −3 ke persamaan (3) diperoleh \begin{split} & -3f(-3)g(-3) = ((-3)^2+4(-3)+3)j(-3)+(-3m+n)\\ \Rightarrow & -3(3)(-2) = -3m+n\\ \Rightarrow & -3m+n=18\text{ ...(4)} \end{split} Substitusikan x = −1 ke persamaan (3) diperoleh \begin{split} & -f(-1)g(-1) = ((-1)^2+4(-1)+3)j(-1)+(-m+n)\\ \Rightarrow & -(-1)(2) = -m+n\\ \Rightarrow & -m+n=2\text{ ...(4)} \end{split} Dengan menyelesaikan sistem persamaan yang dibentuk dari persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai m = −8 dan n = −8. Jadi sisa pembagiannya adalah −8x − 6

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik y = 3x + 1 jika ...

Solusi #7
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan 3x = y \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ & 2y^3-1 < y^2\\ & 2y^3-y^2-1 < 0\\ & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena 2y2 + y + 1 definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & x < 0 \end{split}

Soal #8
$\lim_{x \to 0}\limits \dfrac{\sqrt{2x^2+1}-1}{\sqrt{3\sin^5 x+x^4}}$

Solusi #8
\begin{split} & \lim_{x \to 0}\limits \dfrac{\sqrt{2x^2+1}-1}{\sqrt{3\sin^5 x+x^4}}\\ = & \lim_{x \to 0}\limits \dfrac{\sqrt{2x^2+1}-1}{\sqrt{3\sin^5 x+x^4}} \times \dfrac{\sqrt{2x^2+1}+1}{\sqrt{2x^2+1}+1}\\ = & \lim_{x \to 0}\limits \dfrac{2x^2+1-1}{\sqrt{3\sin^5 x+x^4}(\sqrt{2x^2+1}+1)} \\ = & \lim_{x \to 0}\limits \dfrac{2x^2}{\sqrt{3\sin^5 x+x^4}(\sqrt{2x^2+1}+1)} \times \dfrac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} \\ = & \lim_{x \to 0}\limits \dfrac{2}{\dfrac{\sqrt{3\sin^5 x+x^4}}{x^2}(\sqrt{2x^2+1}+1)} \\ = & \lim_{x \to 0}\limits \dfrac{2}{\sqrt{3\dfrac{\sin^5 x}{x^4} + \dfrac{x^4}{x^4}}(\sqrt{2x^2+1}+1)} \\ = & \lim_{x \to 0}\limits \dfrac{2}{\sqrt{3\sin x\dfrac{\sin^4 x}{x^4} + 1}(\sqrt{2x^2+1}+1)} \\ = & \dfrac{2}{\sqrt{3(0)(1) + 1}(\sqrt{0+1}+1)} \\ = & \dfrac{2}{\sqrt{1}(\sqrt{1}+1)} \\ = & \dfrac{2}{2} = 1\\ \end{split}

Soal #9
Misalkan (an) adalah barisan geometri yang memenuhi sistem a2 + a5a4 = 10, a3 + a6a5 = 20. Nilai a2 adalah ...

Solusi #9
Misalkan an = arn-1, maka \begin{split} & \dfrac{a_3+a_6-a_5}{a_2+a_5-a_4}=\dfrac{20}{10}\\ \Rightarrow & \dfrac{ar^2+ar^5-ar^4}{ar+ar^4-ar^3}=2\\ \Rightarrow & \dfrac{r(ar+ar^4-ar^3)}{ar+ar^4-ar^3}=2\\ \Rightarrow & r=2 \end{split} Substitusikan r = 2 ke a2 + a5a4 = 10 \begin{split} & a_2+a_5-a_4=10\\ \Rightarrow & ar+ar^4-ar^3=10\\ \Rightarrow & 2a+16a-8a=10\\ \Rightarrow & 10a=10\\ \Rightarrow & a=1 \end{split} Jadi a2 = ar2-1 = 1(21) = 2

Soal #10
Misalkan $f(x)=a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}}$ mempunyai titik belok di (4,13). Nilai a + b = ...

Solusi #10
Titik belok f ada di (4,13) maka turunan kedua f sama dengan 0 saat x = 4
$f(x)=a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}}=ax^{\frac{1}{2}}+bx^{-\frac{1}{2}}$ \begin{split} & f(x)=ax^{\frac{1}{2}}+bx^{-\frac{1}{2}}\\ \Rightarrow & f'(x) =\frac{1}{2}ax^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}bx^{-\frac{3}{2}}\\ \Rightarrow & f''(x) =-\frac{1}{4}ax^{-\frac{3}{2}}+\frac{3}{4}bx^{-\frac{5}{2}}\\ \end{split} Substitusikan x = 4 ke turunan kedua diperoleh \begin{split} & f''(4) =0\\ \Rightarrow & -\frac{1}{32}a + \frac{3}{128}b =0\\ \Rightarrow & -4a + 3b = 0\text{ ...(1)} \end{split} Karena f melalui (4,13) maka f(4) = 13 \begin{split} & \sqrt{4}a+\frac{b}{\sqrt{4}}=13\\ \Rightarrow & 2a+\frac{b}{2}=13\\ \Rightarrow & 4a+b=26\text{ ...(2)} \end{split} Dengan menyelesaikan sistem persamaan yang terbentuk oleh (1) dan (2) diperoleh $a=\dfrac{39}{8}$ dan $b=\dfrac{13}{2}$. Jadi $a+b=\dfrac{91}{8}$

Soal #11
Diketahui \(f(x)=f(x+2)\) untuk setiap \(x\). Jika \(\int_0^2\limits f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7\limits f(x+8) \ dx =\ldots\)

Solusi #11
\(\int_0^2\limits f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1\limits f(x) \ dx + \int_1^2\limits f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1\limits f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2\limits f(x) \ dx = B-A\)
\begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split} Misalkan \(I_1=\int_3^4\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+2\) \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+4\) \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+6\) \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split} Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & 2B
\end{split}

Soal #12
Diketahui suatu fungsi f(x) = xk dan g(x) = x. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi kurva g, sumbu x dan x = 1. Kurva f membagi daerah D menjadi D1 dan D2 dengan perbandingan 1 : 2. Jika D1 adalah daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g, maka k = ...

Solusi #12
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 229: MATEMATIKA SAINTEK
\begin{split} & \frac{D_1}{D_2}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow & 2D_1=D_2\\ \Rightarrow & 2 \int_0^1 x-x^k \ dx = \int_0^1 x^k \ dx\\ \Rightarrow & 2 \int_0^1 x \ dx - 2 \int_0^1 x^k \ dx = \int_0^1 x^k \ dx\\ \Rightarrow & 2 \int_0^1 x \ dx = 3 \int_0^1 x^k \ dx\\ \Rightarrow & 2 \left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^1 = 3 \left[\frac{1}{k+1}x^{k+1}\right]_0^1\\ \Rightarrow & 1 = \frac{3}{k+1}\\ \Rightarrow & k=2 \end{split}

Soal #13
Banyaknya bilangan genap n = abc dengan tiga digit sehingga 3 < b < c adalah ...

Solusi #13
Nilai c yang mungkin adalah 6 atau 8. Jika c = 6 maka b = 4 atau b = 5; terdapat 2 kemungkinan. Jika c = 8 maka b = 4 atau b = 5 atau b = 6 atau b = 7; terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar 3 < b < c ada sebanyak 6.

Nilai a yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk a, sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = 54

Soal #14
Garis singgung kurva y = 3 − x2 di titik P(−a,b) dan Q(a,b) memotong sumbu Y di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ...

Solusi #14
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 229: MATEMATIKA SAINTEK
Karena segitiga PQR sama sisi, maka θ = 60°, sehingga gradien garis singgung yang melalui P adalah tan 60° = $\sqrt{3}$

Gradien garis singgung di titik P merupakan nilai turunan pertama y = 3 − x2 di titik (−a,b). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\fbox{$\frac{\sqrt{3}}{2}$} \end{split}

Soal #15
Misalkan x1, x2 akar-akar dari persamaan x2 − 3x + a = 0 dan y1, y2 akar-akar dari persamaan x2 − 12x − b = 0. Jika x1, x2, y1, y2 membentuk barisan geometri yang naik maka nilai ab = ...

Solusi #15
x1, x2, y1, y2 membentuk barisan geometri maka

x2 = x1r
y1 = x1r2
y2 = x1r3
dengan r > 1

Kemudian dengan rumus jumlah akar persamaan kuadrat diperoleh x1 + x2 = 3 dan y1 + y2 = 12 \begin{split} & \frac{y_1+y_2}{x_1+x_2}=\frac{12}{3}\\ \Rightarrow & \frac{x_1r^3 + x_1r^2}{x_1r+x_1}=4\\ \Rightarrow & \frac{r^2(x_1r + x_1)}{x_1r+x_1}=4\\ \Rightarrow & r^2=4\\ \Rightarrow & r=2\\ \end{split} Substitusikan r = 2 ke persamaan x1 + x2 = 3 diperoleh \begin{split} & x_1+x_1r=3\\ \Rightarrow & 3x_1=3\\ \Rightarrow & x_1=1 \end{split} Sehingga x2 = 2, y1 = 4 dan y2 = 8

Dengan menggunakan rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat diperoleh
x1x2 = a dan y1y2 = b
a = 2 dan −b = 32. Jadi ab = −64

3 komentar

avatar

terimakasih kak sangat membantu!!:))

avatar

Terima kasih atas kunjungannya :)

avatar

Cara singkat nomor 2
CDB=20 derajat, sehingga

BC/DC=sin20/sin40
BC/10=sin20/2(sin20)(cos20)
BC=5/cos20=5sec20

Click to comment