Type something and hit enter

author photo
By On
Seperti persamaan-persamaan yang lain, persamaan trigonometri memerlukan penyelesaian dan inti dari penyelesaian adalah nilai variabel yang memenuhi persamaan. Penyelesaian persamaan trigonometri memiliki keunikan dibandingkan kelompok persamaan yang lain yaitu sebuah persamaan trigonometri bisa memiliki tak hingga banyaknya penyelesaian jika domain penyelesaiannya tidak dibatasi.

$\sin x = t$

Cari sebuah nilai $x$ yang memenuhi persamaan di atas, entah ada di kuadran berapa tergantung dari permasalahan. Misalkan sebuah nilai $x$ yang memenuhi pertama kali ditemukan adalah $x = \theta$ maka nilai $x$ yang lain adalah $$x = \theta + k \cdot 360^{\circ}$$ dengan $k$ bilangan bulat.

Telah diketahui juga bahwa $\sin (180^{\circ} - \theta) = \sin \theta$, maka nilai $x$ yang lain yang memenuhi persamaan juga adalah$$x = (180^{\circ} - \theta) + k \cdot 360^{\circ}$$ dengan $k$ bilangan bulat.

Contoh 1: Selesaikan $2\sin x = 1$
Untuk mempermudah penyelesaian tuliskan persamaan menjadi $\sin x = \frac{1}{2}$, kemudian dengan mengingat perbandingan sinus sudut istimewa dapat diketahui nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=30^{\circ}$ karena $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$. Jadi diperoleh penyelesaian $x=30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$, $k$ bilangan bulat
jika $k = 0$ maka $x = 30^{\circ}$
jika $k = 1$ maka $x = 390^{\circ}$
jika $k = -1$ maka $x = -330^{\circ}$
dan seterusnya untuk semua $k$ bilangan bulat

selain nilai $x$ di atas kita juga memperoleh penyelesaian yang lain yaitu $x=180^{\circ} - 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} = 150^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}$
jika $k = 0$ maka $x = 150^{\circ}$
jika $k = 1$ maka $x = 510^{\circ}$
jika $k = -1$ maka $x = -210^{\circ}$
dan seterusnya untuk semua $k$ bilangan bulat

$\cos x = t$

Dengan cara yang sama seperti $\sin x = t$ $$x = \theta + k \cdot 360^{\circ}$$ dengan $k$ bilangan bulat.

Kemudian dari identitias $\cos \theta = \cos -\theta$ diperoleh juga nilai $x$ yang lain $$x = -\theta + k \cdot 360^{\circ}$$ dengan $k$ bilangan bulat.

Contoh 2: Selesaikan $\sqrt{2} \cos x = -1$ pada interval $-180^{\circ} \leq x \leq 180^{\circ}$
Tuliskan persamaan di atas menjadi $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ kemudian dengan merasionalkan penyebut ruas kanan diperoleh $$\cos x = -\frac{1}{2}\sqrt{2}$$ Nilai x yang memenuhi persamaan di atas adalah 135°, sehingga $$x = 135^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$$, dengan $k$ bilangan bulat
Jika $k = 0$ maka $x = 135^{\circ}$ (ada pada interval)
Jika $k = 1$ maka $x = 395^{\circ}$ (tidak ada pada interval)
Jika $k = -1$ maka $x = 225^{\circ}$ (tidak ada pada interval)

nilai $x$ yang lain adalah $$x=-135^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$$ dengan $k$ bilangan bulat
Jika $k = 0$ maka $x = -135^{\circ}$ (ada pada interval)
Jika $k = 1$ maka $x = 225^{\circ}$ (tidak ada pada interval)
Jika $k = -1$ maka $x = -395^{\circ}$ (tidak ada pada interval)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {−135°, 135°}

$\tan x = t$

Tidak seperti sinus atau cosinus yang memiliki periode 360°, tangen yang memiliki periode 180° akan memiliki penyelesaian $$x = \theta + k \cdot 180^{\circ}$$ dengan $k$ bilangan bulat.

Contoh 3: Selesaikan $3 \tan x = \sqrt{3}$ pada interval $0^{\circ} \leq x \leq 540^{\circ}$
Dengan menuliskan persamaan menjadi $\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ dapat diketahui $x = 30^{\circ}$ karena $\tan 30^{\circ} =\frac{1}{3}\sqrt{3}$, Sehingga
Jika $k = 0$ maka $x = 30^{\circ}$ (ada pada interval)
Jika $k = 1$ maka $x = 210^{\circ}$ (ada pada interval)
Jika $k = 2$ maka $x = 390^{\circ}$ (ada pada interval)
Jika $k = 3$ maka $x = 570^{\circ}$ (tidak ada pada interval)
Jika $k = -1$ maka $x = -150^{\circ}$ (tidak ada pada interval)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {30°, 210°, 390°}

Click to comment