Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Diketahui \(1-\sqrt{2}\) adalah salah satu akar \(x^2+ax+b=0\) dengan \(b\) bilangan real positif dan \(a\) suatu bilangan bulat. Nilai terkecil \(a\) adalah ...

Solusi
Misalkan persamaan kuadrat di atas memiliki akar \(x_1=1-\sqrt{2}\) dan \(x_2\) maka \begin{split} & x_1 + x_2 = -a\\ \Rightarrow & 1-\sqrt{2}+x_2 = -a \end{split} Karena \(a\) bilangan bulat maka haruslah \(x_2=p+\sqrt{2}\) untuk suatu bilangan bulat \(p\); akibatnya \(1+p=-a\) atau \(a=-1-p\)

\(b\) bilangan real negatif \begin{split} & x_1 \cdot x_2 = b > 0\\ \Rightarrow & (1-\sqrt{2})(p+\sqrt{2}) > 0\\ \Rightarrow & p+\sqrt{2} < 0\\ \Rightarrow & p < -\sqrt{2} \end{split} Karena \(p\) bilangan bulat maka \(p \in \{-2,-3,-4,\ldots\}\)

Oleh karena itu \(a \in \{1,2,3,\ldots\}\)

Jadi nilai terkecil \(a\) adalah 1

Soal #47
Jika \(A^{2x}=2\), maka \(\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots\)

Solusi
\(A^{2x}=2\) maka \(A^x=\sqrt{2}\) \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \frac{31}{18} \end{split}

Jadi jawabannya adalah \(\dfrac{31}{18}\)

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...

Solusi


Berdasarkan gambar di atas garis $y=mx$ membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan $AB=CD$ sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & m=2 \end{split}
Jadi $m=2$

Soal #49
Semua bilangan real $x$ yang memenuhi $\dfrac{x+2}{x+3} \leq \dfrac{x-3}{x-4}$ adalah...

Solusi
\begin{split} & \dfrac{x+2}{x+3} \leq \dfrac{x-3}{x-4}\\ \Rightarrow & \dfrac{x+2}{x+3} - \dfrac{x-3}{x-4} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x+2)(x-4)-(x-3)(x+3)}{(x+3)(x-4)} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{-2x+1}{(x+3)(x-4)} \leq 0 \end{split}
Pembuat nol dari pertidaksamaan di atas adalah $x=\dfrac{1}{2}$, $x=-3$ dan $x=4$. Dengan mengujinya pada garis bilangan diperoleh

$-3 < x \leq \dfrac{1}{2}$ atau $x > 4$

Soal #50
Jika grafik $y=x^2-(9+a)x+9a$ diperoleh dari grafik fungsi $y=x^2-2x-3$ melalui pencerminan terhadap garis $x=4$, maka $a=\ldots$

Solusi
Titik $(x,y)$ diceriminkan terhadap garis $x=4$ menghasilkan bayangan $(x',y')$ dengan $$x'=8-x$$ dan $$y'=y$$ Substitusikan ke $y=x^2-2x-3$ diperoleh $y'=(8-x')^2-2(8-x')-3$ atau $$y'=x'^2-14x'+45$$ Dengan menyamakan koefisien $y=x^2-(9+a)x+9a$ dan $y'=x'^2-14x'+45$ diperoleh $9a=45$ atau $9+a=14$

Jadi $a=5$

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...

Solusi
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah
PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa
ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72

Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Jika $f(x)=x^2−x+2$ dan $g(x)=ax+b$, dengan $a=0$ dan $b=0$, serta $f(g(x))=9x^2−3x+2$, maka $a+b=...$

Solusi

\begin{split} & f(g(x))=9x^2−3x+2\\ \Rightarrow & f(ax+b)=9x^2−3x+2\\ \Rightarrow & (ax+b)^2−(ax+b)+2=9x^2−3x+2\\ \Rightarrow & a^2x^2+(2ab-a)x+b^2-b+2=9x^2−3x+2\\ \end{split}
$a^2=9 \Rightarrow a = 3 \vee a = -3$

Jika $a=3$ diperoleh $6b-3=-3 \Rightarrow b=0$

Jika $a=-3$ diperoleh $-6b+3=-3 \Rightarrow b=1$

Jadi haruslah $a=-3$ dan $b=1$

Jadi $a+b=-2$

Soal #53
Jika fungsi $f$ dan $g$ mempunyai invers dan memnuhi $g(x-2)=f(x+2)$, maka $g^{−1}(x)=\dots$

Solusi
Ganti $x$ dengan $x+2$ pada $g(x-2)=f(x+2)$ diperoleh $g(x+2−2)=f(x+2+2)$ atau $$g(x) = f(x + 4)$$ Misalkan $g(x) = f(x + 4) = y$ \[g(x)=y \Rightarrow x=g^{-1}(y)\] \[f(x+4)=y \Rightarrow x+4 = f^{-1}(y)\] dari dua persamaan di atas diperoleh \[g^{-1}(y)+4=f^{-1}(y)\] Jadi $g^{−1}(x) = f^{−1}(x)-4$

Soal #54
Jika $\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, maka $\det P = \ldots$

Solusi
Misalkan $P=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

\begin{split} & \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & P \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & P \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & P \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} \end{split}

\begin{split} & \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & P \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & P \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & P \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a+b \\ c+d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a+3 \\ c-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \end{split}

Matriks $P=\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}$

Jadi $\det P =-3$

Soal #55
Misalkan Uk dan Sk berturut-turut menyatakan suku ke-k dan jumlah k suku pertama suatu barisan aritmatika. Jika U2 + U4 + U6 + U8 + U10 = 72, maka S13 = ...

Solusi
\begin{split} & U_2+U_4+U_6+U_8+U_{10}+U_{12}=72\\ \Rightarrow & a+b+a+3b+a+5b+a+7b+a+9b+a+11b=72\\ \Rightarrow & 6a+36b=72\\ \Rightarrow & a+6b=12 \end{split}

\begin{split} S_{13} & = \frac{13}{2}(2a+(13-1)b)\\ & = \frac{13}{2}(2a+12b)\\ & = 13(a+6b)\\ & = 13 \cdot 12\\ & = 156 \end{split}

Jadi S13 = 156

Soal #56

Titik X, Y, Z terletak pada segitiga ABC dengan AZ = AY, BZ = BX, dan CX = CY seperti pada gambar. Jika AB, AC, dan BC berturut-turut adalah 4 cm, 3 cm dan 5 cm, maka luas segitiga CXY adalah . . . cm2

Solusi

Berdasarkan gambar di atas diperoleh BX + XC = 5 atau 4 − x + 3 − x = 5, dari persamaan ini diperoleh x = AZ = AY = 1

Dengan panjang sisi 3, 4 dan 5 maka ABC merupakan segitiga siku-siku di A, oleh karena itu $\sin C = \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{5}$

Sehingga luas segitga CXY adalah $\dfrac{1}{2}\cdot CX \cdot CY \sin C$ \[\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 2 \cdot \dfrac{4}{5} = \frac{8}{5}\]

Soal #57
Dalam suatu kelas terdapat 30 siswa. Rata-rata nilai mata pelajaran statistika mereka adalah 8. Rata-rata nilai tersebut tetap sama meskipun satu nilai terendah dan satu nilai tertinggi dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan cacah satu angka dan tidak semua siswa memperoleh nilai yang sama, maka jumlah nilai tertinggi dan nilai terendah adalah ...

Solusi
Total nilai 30 siswa adalah 30 × 8 = 240

Misalkan nilai yang terkecil adalah a dan yang terbesar adalah b maka \begin{split}
& \frac{240-a-b}{28}=8\\
\Rightarrow & 240-a-b=224\\
\Rightarrow & a+b=16
\end{split}
Jadi jumlah nilai tertinggi dan nilai terendah adalah 16

Soal #58
Jika $f(x)=x^2+ax+b$ dengan $f(2)=0$ dan $\lim_{x \to 2}\limits \dfrac{f(x+1)-f(x)}{x-2}=2$ maka $b=\ldots$

Solusi
Karena limit di atas memiliki nilai maka limit tersebut berbentuk 0/0 yaitu \begin{split} & \lim_{x \to 2} f(x+1)-f(x) = 0\\ \Rightarrow & f(3)-f(2) = 0\\ \Rightarrow & (9+3a+b)-(4+2a+b) = 0\\ \Rightarrow & a = -5\\ \end{split} Substitusikan $a=-5$ ke persamaan $f(2)=0$ maka $4-10+b=0$

Jadi $b=6$

Soal #59
Jika $−x + 3y = 9$, $4x + 3y = 12$, $ax + by = -13$, dan $ax - by = 19$, maka $ab = \ldots$

Solusi
Dengan menyelesaikan SPLDV

$−x + 3y = 9$
$4x + 3y = 12$

diperoleh nilai $x = \dfrac{3}{5}$ dan $y = \dfrac{16}{5}$ kemudian substitusi ke dua persamaan berikutnya \begin{split}
& \frac{3}{5}a+\frac{16}{5}b=-13\\
& \frac{3}{5}a-\frac{16}{5}b=19
\end{split} diperoleh nilai $a = 5$ dan $b = -5$

Jadi $ab = -25$
Soal #60
Semua bilangan real $x$ yang memenuhi $x-1 < \dfrac{2}{|x|}$ adalah ...

Solusi
Jika $x > 0$ \begin{split} & x-1 < \dfrac{2}{|x|}\\ \Rightarrow & x-1 < \dfrac{2}{x}\\ \Rightarrow & x-1 - \dfrac{2}{x} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x^2-x-2}{x} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x-2)(x+1)}{x} < 0 \end{split} Pembuat nol dari pertidaksamaan di atas adalah $x=2$, $x=-1$ dan $x=0$, kemudian dengan mengujinya pada garis bilangan $x > 0$ diperoleh solusi $0 < x < 2$

Jika $x < 0$ \begin{split} & x-1 < \dfrac{2}{|x|}\\ \Rightarrow & x-1 < \dfrac{2}{-x}\\ \Rightarrow & x-1 + \dfrac{2}{x} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x^2-x+2}{x} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x^2-x+2}{x} < 0 \end{split} Karena pembilang dari pertidaksamaan di atas definit negatif maka pembuat nolnya hanya $x=0$, kemudian dengan mengujinya pada garis bilangan $x < 0$ diperoleh solusi $x < 0$

Dengan menggabungkan kedua solusi diperoleh nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $x < 0$ atau $0 < x < 2$

Click to comment