Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Misalkan m dan n adalah bilangan bulat dan merupakan akar-akar persamaan $x^2+ax-30=0$, maka nilai a agar m + n maksimum adalah ...
Solusi #46
Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar diperoleh $$m+n=-a$$ dan $$mn=-30$$ Pasangan bilangan bulat $(m,n)$ yang memenuhi $mn=-30$ adalah
(−30,1), (30,−1)
(−15,2), (15,−2)
(−10,3), (10,−3)
(−6,5), (6,−5)
Karena $m+n=-a$ maka nilai maksimum $a$ adalah nilai maksimum $-m-n$ yaitu ketika $m=-30$ dan $n=1$

Jadi nilai maksimum $a=-(-30)-1=\fbox{29}$

Soal #47
Jika $A^{2x}=2$, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots$
Solusi #47
$A^{2x}=2$ maka $A^x=\sqrt{2}$ \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \fbox{$\frac{31}{18}$} \end{split}

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
Solusi #48
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 321: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis $y=mx$ membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan $AB=CD$ sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & \fbox{$m=2$} \end{split}

Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi $\dfrac{8}{x}-\dfrac{15}{2x+1} \geq 1$ adalah ...
Solusi #49
\begin{split} & \frac{8}{x}-\frac{15}{2x+1} \geq 1\\ \Rightarrow & \frac{8}{x}-\frac{15}{2x+1} - 1 \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{8(2x+1)}{x(2x+1)}-\frac{15x}{(2x+1)x} - \dfrac{(2x+1)x}{(2x+1)x}\geq 0\\ \Rightarrow & \frac{8(2x+1)-15x-x(2x+1)}{(2x+1)x}\geq 0\\ \Rightarrow & \frac{-2x^2+8}{(2x+1)x}\geq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2-4}{(2x+1)x} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{(x-2)(x+2)}{(2x+1)x} \leq 0\\ \Rightarrow & \fbox{$-2 \leq x < -\frac{1}{2} \vee 0 < x \leq 2$}\\ \end{split} Untuk lebih jelas tentang penyelesaian ini silahkan baca Pertidaksamaan

Soal #50
Jika grafik $y=x^2-(9+a)x+9a$ diperoleh dari grafik fungsi $y=x^2-2x-3$ melalui pencerminan terhadap garis $x=4$, maka $a=\ldots$
Solusi #50
Titik $(x,y)$ diceriminkan terhadap garis $x=4$ menghasilkan bayangan $(x',y')$ dengan $$x'=8-x$$ dan $$y'=y$$ Substitusikan ke $y=x^2-2x-3$ diperoleh $y'=(8-x')^2-2(8-x')-3$ atau $$y'=x'^2-14x'+45$$ Dengan menyamakan koefisien $y=x^2-(9+a)x+9a$ dan $y'=x'^2-14x'+45$ diperoleh $9a=45$ atau $9+a=14$

jadi $\fbox{$a=5$}$

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #51
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72

Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = $\fbox{$72$}$

Soal #52
Diberikan fungsi $f(x)=ax-b$ dan $g(x)=cx+b$ dengan a, b, dan c adalah bilangan-bilangan real positif. Syarat agar $f(g(x)) > g(f(x))$ adalah ...
Solusi #52
\begin{split} & f(g(x)) > g(f(x))\\ \Rightarrow & a(cx+b)-b > c(ax-b)+b\\ \Rightarrow & acx+ab-b > acx -bc +b\\ \Rightarrow & ab-b > -bc +b\\ \Rightarrow & a-1 > -c +1\\ \Rightarrow & a+c > 2\\ \end{split}

Soal #53
Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memenuhi $f(2x)=g(x-3)$, maka $f^{-1}(x)=\ldots$
Solusi #53
Misalkan $f(2x)=g(x-3)=y$ maka $f^{-1}(y)=2x$ dan $g^{-1}(y)=x-3$

$g^{-1}(y)=x-3$ maka $x=g^{-1}(y)+3$

sehingga $f^{-1}(y)=2x=2(g^{-1}(y)+3)$

Jadi $\fbox{$f^{-1}(x) = 2g^{-1}(x)+6$}$

Soal #54
Jika $\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, maka $\det P = \ldots$
Solusi #54
Misalkan $P=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
\begin{split} & \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & P \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & P \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & P \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} \end{split}

\begin{split} & \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & P \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & P \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & P \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a+b \\ c+d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a+3 \\ c-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \end{split}
Matriks $P=\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}$

Jadi $\fbox{$\det P =-3$}$

Soal #55
Misalkan $U_k$ dan $S_k$ berturut-turut menyatakan suku ke-$k$ dan jumlah $k$ suku pertama suatu barisan aritmetika. Jika
$U_2+U_4+U_6+U_8+U_{10}+U_{12}=72$
maka $S_{13}=\ldots$
Solusi #55
\begin{split} & U_2+U_4+U_6+U_8+U_{10}+U_{12}=72\\ \Rightarrow & a+b+a+3b+a+5b+a+7b+a+9b+a+11b=72\\ \Rightarrow & 6a+36b=72\\ \Rightarrow & a+6b=12 \end{split}
\begin{split} S_{13} & =\frac{13}{2}(2a+12b)\\ & = 13(a+6b)\\ & = 13 \cdot 12 = 156\end{split}

Soal #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 321: MATEMATIKA DASAR
Titik X, Y, dan Z terletak pada segitiga ABC sehingga AZ = AY, BZ = BX, CX = CY seperti pada gambar. Jika BC, CA, dan AB berturut-turut adalah a cm, b cm, dan c cm, maka 2AY = ... cm
Solusi #56
Misalkan $AZ=AY=x$ maka $BZ=BX=c-x$ dan $CY=CX=b-x$ Tetapi karena $BC=BX+CX$ maka \begin{split} & BC = BX+CX\\ \Rightarrow & a = c-x+b-x\\ \Rightarrow & a=b+c-2x\\ \Rightarrow & 2x=b+c-a\\ \Rightarrow & \fbox{$2AY=b+c-a$} \end{split}

Soal #57
Seorang siswa mengikuti 6 kali ujian dengan nilai 5 ujian pertama 6, 4, 8, 5 dan 7. Jika semua nilai dinyatakan dalam bilangan asli yang tidak lebih besar daripada 10 dan rata-rata 6 kali ujian lebih kecil dari mediannya, maka nilai ujian terakhir yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #57
Rata-rata 6 kali ujian lebih kecil dari mediannya berarti \begin{split} & \frac{4+5+6+7+8+x}{6} < \text{median}\\ \Rightarrow & 30+x < 6 \cdot \text{median ...(1)} \end{split} Jika $x < 5$ maka mediannya = 5,5, sehingga pertidaksamaan (1) menjadi $$30+x < 6 \cdot 5,5 = 33$$ nilai $x < 5$ yang memenuhi hanya 1 dan 2

Jika $x = 5$ maka mediannya = 5, sehingga pertidaksamaan (1) menjadi $$30+x < 6 \cdot 5 = 30$$ tetapi $x = 5$ tidak memenuhi

Jika $x = 6$ maka mediannya = 6, sehingga pertidaksamaan (1) menjadi $$30+x < 6 \cdot 6 = 36$$ tetapi $x = 6$ tidak memenuhi

Jika $x > 6$ maka mediannya = 6,5, sehingga pertidaksamaan (1) menjadi $$30+x < 6 \cdot 6,5 = 39$$ tetapi $x > 6$ yang memenuhi hanya 7 dan 8

Nilai bilangan asli x yang mungkin adalah 1, 2, 7 dan 8 yaitu sebanyak $\fbox{4}$

Soal #58
Diketahui $f(x)=x^2+ax+b$. Jika $f(b+1)=0$ dan $\lim_{x \to 0}\limits \dfrac{f(x+b)}{x}=-1$, maka $a+2b=\ldots$
Solusi #58
$f(x)=x^2+ax+b$ maka $f'(x)=2x+a$, kemudian dengan aturan L'Hospital limit di atas menjadi \begin{split} & \lim_{x \to 0} f'(x+b)=-1\\ \Rightarrow & f'(b)=-1\\ \Rightarrow & 2b+a=-1\\ \Rightarrow & \fbox{$a+2b$}=-1\\ \end{split}

Soal #59
Jika $3x-2y=-1$, $-2x+3y=4$, $4x+by=4b$ dan $ax+3y=2a$, maka $a+b=\ldots$
Solusi #59
Dengan menyelesaikan sistem persamaan linier \begin{split} & 3x-2y=-1\\ & -2x+3y=4 \end{split} diperoleh $x=1$ dan $y=2$

Substitusikan nilai $x=1$ dan $y=2$ ke persamaan $4x+by=4b$ diperoleh $b=2$

Substitusikan nilai $x=1$ dan $y=2$ ke persamaan $ax+3y=2a$ diperoleh $a=6$

Jadi $\fbox{$a+b=8$}$

Soal #60
Semua bilangan real $x$ yang memenuhi $\dfrac{|x-2|+x}{2-|x-2|} \geq 1$
Solusi #60
Jika $x \geq 2$ dan $x \neq 4$ \begin{split} & \frac{|x-2|+x}{2-|x-2|} \geq 1\\ \Rightarrow & \frac{(x-2)+x}{2-(x-2)} \geq 1\\ \Rightarrow & \frac{2x-2}{4-x} \geq 1\\ \Rightarrow & \frac{2x-2}{4-x} - 1 \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{2x-2}{4-x} - \frac{4-x}{4-x} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{(2x-2)-(4-x)}{4-x} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{3x-6}{4-x} \geq 0\\ \Rightarrow & 2 \leq x < 4 \end{split}
Jika $x < 2$ dan $x \neq 0$ \begin{split} & \frac{|x-2|+x}{2-|x-2|} \geq 1\\ \Rightarrow & \frac{-(x-2)+x}{2+(x-2)} \geq 1\\ \Rightarrow & \frac{2}{x} \geq 1\\ \Rightarrow & \frac{2}{x} - 1 \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{2}{x} - \frac{x}{x)} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{2-x}{x} \geq 0\\ \Rightarrow & 0 < x \leq 2 \end{split} Dengan menggabungkan kedua penyelesaian diperoleh $\fbox{$0 < x < 4$}$

Untuk lebih jelas tentang penyelesaian ini silahkan baca Pertidaksamaan

Click to comment