Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Diketahui 1 − √3 adalah salah satu akar x2ax + b = 0 dengan b bilangan real positif dan a suatu bilangan bulat. Nilai terbesar a adalah ...
Solusi #46
Misalkan persamaan kuadrat di atas memiliki akar x1 = 1 − √3 dan x2 dan dengan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat diperoleh \begin{split} & x_1 + x_2 = a\\ \Rightarrow & 1-\sqrt{3}+x_2 = a \end{split} Karena a bilangan bulat maka haruslah x2 = p + √3 untuk suatu p bilangan bulat.

b bilangan real positif berarti \begin{split} & x_1 x_2 = b > 0\\ \Rightarrow & (1-\sqrt{3})(p+\sqrt{3}) > 0\\ \Rightarrow & p+\sqrt{3} < 0\\ \Rightarrow & p < -\sqrt{3} \end{split} Karena p bilangan bulat maka p ∈ {−2,−3,−4,...}

Jadi nilai terbesar untuk a adalah p + 1 = −2 + 1 = −1

Soal #47
Jika A2x = 2, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots$
Solusi #47
A2x = 2 maka Ax = √2 \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \fbox{$\frac{31}{18}$} \end{split} Baca tentang Eksponen untuk lebih memahami cara penyelesaian di atas

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
Solusi #48
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 316: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis y = mx membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan AB = CD sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & \fbox{$m=2$} \end{split}

Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi $\dfrac{2x}{x-3}-\dfrac{3}{x} \geq 2$ adalah ...
Solusi #49
\begin{split} & \dfrac{2x}{x-3}-\dfrac{3}{x} \leq 2\\ \Rightarrow & \dfrac{2x}{x-3}-\dfrac{3}{x} - 2 \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2x^2}{x(x-3)}-\dfrac{3(x-3)}{x(x-3)} - \dfrac{2x(x-3)}{x(x-3)} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2x^2-3(x-3)-2x(x-3)}{x(x-3)} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2x^2-3x+9-2x^2+6x}{x(x-3)} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{3x+9}{x(x-3)} \leq 0\\ \Rightarrow & \fbox{$x \leq -3 \text{ atau } 0 < x < 3$}\\ \end{split} Baca tentang Pertidaksamaan untuk lebih memahami cara penyelesaian di atas

Soal #50
Jika grafik y = x2 − (9+a)x + 9a diperoleh dari grafik fungsi y = x2 − 2x − 3 melalui pencerminan terhadap garis x = 4, maka a = ...
Solusi #50
Titik (x,y) diceriminkan terhadap garis x = 4 menghasilkan bayangan (x',y') dengan

x' = 8 − x dan y' = y

Substitusikan ke y = x2 − 2x − 3 diperoleh \begin{split}
& y'=(8-x')^2-2(8-x')-3\\
\Leftrightarrow & y'=x'^2-14x'+45
\end{split}Dengan menyamakan koefisien y' = x'2 − 14x' + 45 dan y = x2 − (9+a)x + 9a diperoleh 9a = 45 atau 9 + a = 14

jadi a = 5

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #51
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72

Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Jika f(x) = x + 2ab dan g(x) = 2bx + 2. Serta 4f(0) = 3g(1), maka 4a − 5b = ...
Solusi #52
\begin{split} & 4f(0) = 3g(1)\\ \Rightarrow & 4(2a-b) = 3(2b+2)\\ \Rightarrow & 8a-4b = 6b+6\\ \Rightarrow & 8a-10b = 6\\ \Rightarrow & 4a-5b = \fbox{3} \end{split}

Soal #53
Suatu fungsi f mempunyai invers dan grafiknya berupa garis lurus dengan gradien positif, serta memenui $f(x)-f^{-1}(x)=\dfrac{3}{2}x-3$, maka f(x) + f-1(x) = ...
Solusi #53
Misalkan f(x) = mx + c dengan m > 0, maka $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{m}x -\dfrac{c}{m}$. Oleh karena itu \begin{split} & f(x)-f^{-1}(x)=\dfrac{3}{2}x-3\\ \Rightarrow & mx + c - \left( \dfrac{1}{m}x -\dfrac{c}{m} \right) = \dfrac{3}{2}x-3\\ \Rightarrow & \left(m-\dfrac{1}{m} \right) x + \left(c +\dfrac{c}{m}\right) = \dfrac{3}{2}x-3 \end{split} Dari persamaan di atas diperoleh $m-\dfrac{1}{m}=\dfrac{3}{2}$ dan $c +\dfrac{c}{m}=-3$ \begin{split} & m-\dfrac{1}{m}=\dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow & m^2-1=\dfrac{3}{2}m\\ \Rightarrow & 2m^2-2=3m\\ \Rightarrow & 2m^2-3m-2=0\\ \Rightarrow & (2m+1)(m-2)=0\\ \Rightarrow & m=-\dfrac{1}{2} \text{ atau } m =2 \end{split} Karena m > 0 maka m = 2, kemudian subsitusikan ke $c +\dfrac{c}{m}=-3$ diperoleh c = -2. Sehingga $f(x) = 2x - 2$ dan $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2}x+1$ Jadi \begin{split} & f(x)+f^{-1}(x) \\ = & (2x - 2)+\left(\dfrac{1}{2}x+1\right)\\ = & \fbox{$\dfrac{5}{2}x -1$} \end{split}

Soal #54
Jika $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, maka $B\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}=\ldots$
Solusi #54
Misalkan $B=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
\begin{split} & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{split}

\begin{split} & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{split}
Matriks $B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, Jadi \begin{split} B\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}= & \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\\ =& \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{split}

Soal #55
Jika alog(b), alog(b+2), dan alog(2b+4) adalah tiga suku berurutan suatu barisan aritmatika dan jumlah tiga suku tersebut adalah 6, maka 2ab = ...
Solusi #55
Barisan aritmatika berlaku U2U1 = U3U2 \begin{split} & ^a\log (b+2)-\ ^a\log (b)=\ ^a\log (2b+4)-\ ^a\log (b+2)\\ \Rightarrow & ^a\log \left( \frac{b+2}{b} \right)=\ ^a\log \left( \frac{2b+4}{b+2} \right)\\ \Rightarrow & \frac{b+2}{b}=\frac{2b+4}{b+2}\\ \Rightarrow & \frac{b+2}{b}=\frac{2(b+2)}{b+2}\\ \Rightarrow & \frac{b+2}{b}=\frac{2(b+2)}{b+2}\\ \Rightarrow & \frac{b+2}{b}=2\\ \Rightarrow & b+2=2b\\ \Rightarrow & b=2 \end{split} Jumlah semua suku tersebut adalah 6 berarti U1 + U2 + U3 = 6 \begin{split} & ^a\log (b) +\ ^a\log (b+2) +\ ^a\log (2b+4) = 6\\ \Rightarrow & ^a\log (2) +\ ^a\log (4) +\ ^a\log (8) = 6\\ \Rightarrow & ^a\log (2 \cdot 4 \cdot 8)= 6\\ \Rightarrow & ^a\log (64)= 6\\ \Rightarrow & a^6 = 64\\ \Rightarrow & a = 2 \end{split} Jadi 2ab = 2

Soal #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 319: MATEMATIKA DASAR
Pada trapesium sama kaki ABCD, AB sejajar dengan CD. AB = 2 cm, dan CD = 10 cm, serta M terletak di CD dengan BM = BC seperti pada gambar. Jika luas segiempat ABMD adalah 6 cm2, maka keliling trapesium ABCD adalah ... cm
Solusi #56
Karena ABMD adalah trapesium sama kaki maka BM = BC = AD, akibatnya ABMD merupakan sebuah jajar genjang dengan luas 6 cm2.

Luas = 6 cm2.
maka AB × t = 6. Karena AB = 2 maka 2t = 6 atau t = 3, ilustrasinya seperti berikut ini
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 319: MATEMATIKA DASAR
Dari ilustrasi di atas dan dengan menggunakan rumus pythagoras diperoleh BC = AD = 5

Jadi Keliling trapesium ABCD adalah AB + BC + CD + DA = 2 + 5 + 10 + 5 = 22

Soal #57
Dalam suatu kelas terdapat 23 siswa. Rata-rata nilai kuis aljabar mereka adalah 7. Terdapat hanya 2 orang yang memperoleh nilai yang sama yang merupakan nilai tertinggi, serta hanya 1 orang yang memperoleh nilai terendah. Rata-rata nilai mereka berkurang 0,1 jika semua nilai tertinggi dan nilai terendah dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan cacah tidak lebih daripada 10, maka nilai terendah yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #57
23 siswa dengan rata-rata 7 maka total nilainya adalah 23×7 = 161

Misalkan yang tertinggi adalah a dan yang terendah b, maka total nilai 20 siswa sianya adalah 161 − 2ab. Berarti rata-ratanya adalah \begin{split} & \frac{161-2a-b}{20}=7-0.1\\ \Rightarrow & 161-2a-b=138\\ \Rightarrow & 2a+b=23 \end{split} Nilai a yang mungkin hanya 10, 9 atau 8.
Jika a = 10 maka b = 3 dan jangkauan = 10 − 3 = 7
Jika a = 9 maka b = 5 dan jangkauan = 9 − 5 = 4
Jika a = 8 maka b = 7, tetapi 7 tidak mungkin menjadi nilai terendah karena rata-ratanya 7

Jadi jangkauan yang mungkin adalah 7 atau 4

Soal #58
Diketahui f adalah fungsi kuadrat dengan f(0) = 0 dan f(2) = 10. Jika $\lim_{x \to 1}\limits \dfrac{x^2-x}{f(x)-1}=\dfrac{1}{5}$, maka f(1) = ...
Solusi #58
limit pada soal merupakan limit bentuk 0/0. sehingga \begin{split} & \lim_{x \to 1}\limits f(x)-1=0\\ \Rightarrow & f(1)-1=0\\ \Rightarrow & f(1)=\fbox{1} \end{split}

Soal #59
Jika semua solusi dari sistem persamaan linier dua variabel ax + y = 3 dan x + 2y = 5 selalu bernilai positif, maka ...
Solusi #59
Dengan menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel di atas diperoleh $x=\dfrac{1}{2a-1}$ dan $y=\dfrac{5a-3}{2a-1}$.

Karena solusinya positif maka $2a - 1 > 0 \Rightarrow a > \dfrac{1}{2}$ dan $5a-3 > 0 \Rightarrow a > \dfrac{3}{5}$

Jadi nilai a yang memenuhi adalah $a > \dfrac{3}{5}$

Soal #60
Semua bilangan real x yang memenuhi |x − 2| + x2 < 4 adalah ...
Solusi #60
Jika x > 2 maka \begin{split} & x-2+x^2 < 4\\ \Rightarrow & x^2+x-6 < 0\\ \Rightarrow & (x+3)(x-2) < 0\\ \Rightarrow & -3 < x < 2 \end{split} Tetapi karena x > 2, maka penyelesaian di atas tidak memenuhi

Jika x < 2 maka \begin{split} & -x+2+x^2 < 4\\ \Rightarrow & x^2-x-2 < 0\\ \Rightarrow & (x-2)(x+1) < 0\\ \Rightarrow & -1 < x < 2 \end{split} penyelesaian di atas memenuhi x < 2 maka semua bilangan real yang memenuhi adalah −1 < x < 2

1 komentar:

Click to comment