Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Jika x2 − (3a + b)x + 6ab − 2b2 memiliki 2 akar real x1 dan x2 yang berbeda dengan a − b = 3, maka selisih x1 dan x2 adalah ...
Solusi #46
Selsisih dua akar persamaan kuadrat dapat dihitung dengan rumus $\left| \dfrac{\sqrt{D}}{A} \right|$ \begin{split} & \left| \dfrac{\sqrt{D}}{A} \right|\\ = & \left| \dfrac{\sqrt{B^2-4AC}}{A} \right|\\ = & \left| \dfrac{\sqrt{(3a+b)^2-4(6ab-2b^2)}}{1} \right|\\ = & \left| \sqrt{9a^2+6ab+b^2-24ab+8b^2} \right|\\ = & \left| \sqrt{9a^2-18ab+9b^2} \right|\\ \end{split} Karena a − b = 3 maka substitusikan a = b + 3 ke persamaan di atas diperoleh \begin{split} & \left| \sqrt{9a^2-18ab+9b^2} \right|\\ = & \left| \sqrt{9(b+3)^2-18(b+3)b+9b^2} \right|\\ = & \left| \sqrt{9(b^2+6b+9)-18b^2-54b+9b^2} \right|\\ = & \left| \sqrt{9b^2+54b+81-18b^2-54b+9b^2} \right|\\ = & \left| \sqrt{81} \right|\\ = & \left| 9 \right|\\ = & \fbox{9} \end{split}

Soal #47
Jika A2x = 2, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots$
Solusi #47
A2x = 2 maka Ax = √2 \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \fbox{$\frac{31}{18}$} \end{split} Baca tentang Eksponen untuk lebih memahami cara penyelesaian di atas

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
Solusi #48
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 316: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis y = mx membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan AB = CD sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & \fbox{$m=2$} \end{split}

Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi $\dfrac{2x}{2x+3} > \dfrac{x}{x-3}$ adalah ...
Solusi #49
\begin{split} & \dfrac{2x}{2x+3} > \dfrac{x}{x-3}\\ \Rightarrow & \dfrac{2x}{2x+3} - \dfrac{x}{x-3} > 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2x(x-3)-x(2x+3)}{(2x+3)(x-3)} > 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2x^2-6x-2x^2-3x}{(2x+3)(x-3)} > 0\\ \Rightarrow & \dfrac{-9x}{(2x+3)(x-3)} > 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x}{(2x+3)(x-3)} < 0\\ \Rightarrow & \fbox{$x < -\frac{3}{2} \vee 0 < x < 3$}\\ \end{split} Baca tentang Pertidaksamaan untuk lebih memahami cara penyelesaian di atas

Soal #50
Jika grafik y = x2 − (9+a)x + 9a diperoleh dari grafik fungsi y = x2 − 2x − 3 melalui pencerminan terhadap garis x = 4, maka a = ...
Solusi #50
Titik (x,y) diceriminkan terhadap garis x = 4 menghasilkan bayangan (x',y') dengan

x' = 8 − x dan y' = y

Substitusikan ke y = x2 − 2x − 3 diperoleh \begin{split}
& y'=(8-x')^2-2(8-x')-3\\
\Leftrightarrow & y'=x'^2-14x'+45
\end{split}Dengan menyamakan koefisien y' = x'2 − 14x' + 45 dan y = x2 − (9+a)x + 9a diperoleh 9a = 45 atau 9 + a = 14

jadi a = 5

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #51
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72

Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Diberikan fungsi $f(x) = \dfrac{1}{x-1}$ dan g(x) = x + 1. Semua bilangan real x yang memenuhi (fg)(x) < f(x)g(x) adalah ...
Solusi #52
\begin{split} & (f \circ g)(x) < f(x)g(x)\\ \Rightarrow & \frac{1}{(x+1)-1} < \frac{x+1}{x-1}\\ \Rightarrow & \frac{1}{x} - \frac{x+1}{x-1} < 0\\ \Rightarrow & \frac{x-1-x(x+1)}{x(x-1)} < 0\\ \Rightarrow & \frac{x-1-x^2-x}{x(x-1)} < 0\\ \Rightarrow & \frac{-1-x^2}{x(x-1)} < 0\\ \Rightarrow & \frac{1+x^2}{x(x-1)} > 0\\ \Rightarrow & \fbox{$x < 0 \text{ atau } x > 1$}\\ \end{split} Baca tentang Pertidaksamaan untuk lebih memahami cara penyelesaian di atas

Soal #53
Jika f(x) = ax + b dan f−1(x) = bx + a untuk suatu bilangan negatif a dan b maka a − b = ...
Solusi #53
Misalkan f(x) = ax + b = y maka $x=\dfrac{1}{a}y-\dfrac{b}{a} \Rightarrow f^{-1}x=\dfrac{1}{a}x-\dfrac{b}{a} $. Ini berarti $$\frac{1}{a}y-\frac{b}{a} = bx+a$$ Dari persamaan di atas diperoleh $$\frac{1}{a}=b \Rightarrow ab=1$$ dan $$-\frac{b}{a}=a \Rightarrow b=-a^2$$ substitusikan b = −a2 ke ab = 1 diperoleh −a3 = 1 atau a = −1.

Jika a = −1 maka b = −(−1)2 = −1

Jadi a − b = −1 − (−1) = 0

Soal #54
Jika matriks \(A=\begin{pmatrix}2a & 2\\-4 & a \end{pmatrix}\) dan \(B=\begin{pmatrix}2b & b\\-4 & b \end{pmatrix}\) mempunyai invers, maka semua bilangan real b yang memenuhi det(ABA−1) > 0 adalah ...
Solusi #54
\begin{split} & \det(ABA^{-1}) > 0\\ \Rightarrow & \det A \det B \det A^{-1} > 0\\ \Rightarrow & \det B > 0\\ \Rightarrow & 2b^2+4b > 0\\ \Rightarrow & 2b(b+2) > 0\\ \Rightarrow & \fbox{$b < -2 \text{ atau } b > 0$} \end{split}

Soal #55
Diketahui x, y, z adalah barisan aritmetika dengan beda b dan x + y + z = 12. Jika xyz = 28, maka nilai b terkecil adalah ...
Solusi #55
x, y, z adalah barisan aritmetika dengan beda b maka x = yb dan z = y + b, akibatnya \begin{split} & x + y + z = 12\\ \Rightarrow & y-b+y+y+b=12\\ \Rightarrow & 3y = 12\\ \Rightarrow & y = 4 \end{split} Oleh karena itu barisan aritmatika di atas adalah 4 − b, 4, 4 + b maka \begin{split} & xyz = 28\\ \Rightarrow & (4-b) \cdot 4 \cdot (4+b) = 28\\ \Rightarrow & (4-b) \cdot (4+b) = 7\\ \Rightarrow & 16-b^2=7\\ \Rightarrow & b^2=9\\ \Rightarrow & b = 3 \text{ atau } b=-3 \end{split} Jadi nilai terkecil dari b adalah −3

Soal #56
 SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 318: MATEMATIKA DASAR
Diketahui luas segitiga sama kaki XYZ adalah 16 cm2. Titik A dan B berturut-turut adalah titik tengah XY dan XZ seperti pada gambar. Jika C titik pada YZ sehingga XC tegak lurus YZ, maka luas daerah yang diarsir adalah ... cm2.
Solusi #56
Luas segitga XYZ adalah 16 maka \(\dfrac{1}{2} YZ \cdot XC= 16\)
Segitiga ABX dan segitiga YZX sebangun dengan perbandingan 1 : 2 akibatnya \(AB=\frac{1}{2}YZ\) dan \(DX=\frac{1}{2}CX\)

Luas segitiga ABX = \begin{split} & \frac{1}{2}AB \cdot DX \\ = & \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}YZ \cdot \frac{1}{2}CX \\ = & \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}YZ \cdot CX \\ = & \frac{1}{4} \cdot 16\\ = & 4 \end{split} Sehingga Luas AYZB = Luas XYZ − Luas ABX = 16 − 4 = 12

Jadi Luas daerah yang diarsir adalah \(\dfrac{1}{2}\cdot 12=6\) cm2

Soal #57
Rata-rata nilai ujian matematika siswa di suatu kelas dengan 50 siswa tetap sama meskipun nilai terendah dan nilai tertinggi dikeluarkan. Jumlah nilai-nilai tersebut adalah 350. Jika data nilai-nilai ujian matematika tersebut merupakan bilangan asli yang tidak lebih besar dari 10, maka jangkauan data nilai yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #57
Rata-rata 50 siswa tersebut adalah 350/50 = 7

Misalkan nilai yang terbesar adalah a dan yang terkecil adalah b maka, setelah kedua nilai itu dikeluarkan rata-ratanya menjadi (350 − ab)/48

Rata-ratanya tetap sama berarti \begin{split} & \frac{350-a-b}{48}=7\\ \Rightarrow & 350-a-b=336\\ \Rightarrow & a+b=14 \end{split} Pasangan bilangan asli a dan b dengan b < a ≤ 10 yang memenuhi persamaan di atas adalah
a = 10 & b = 4
a = 9 & b = 5
a = 8 & b = 6

Jadi jangkauan yang mungkin ada sebanyak 3

Soal #58
Diketahui f(x) = x2 + ax + b. Jika $\lim_{x \to -2}\limits \dfrac{x+2}{f(x)} = -\dfrac{1}{5}$. Maka nilai a + b = ...
Solusi #58
Dengan aturan L'Hospital pada limit diperoleh \begin{split} & \lim_{x \to -2} \frac{1}{f'(x)}= -\frac{1}{5}\\ = & \lim_{x \to -2} \frac{1}{2x+a}= -\frac{1}{5}\\ = & \frac{1}{-4+a}= -\frac{1}{5}\\ = & -4+a=-5\\ = & a=-1 \end{split} Limit di atas merupakan bentuk 0/0, oleh karena itu \begin{split} & f(-2) = 0\\ \Rightarrow & 4 - 2a + b = 0\\ \Rightarrow & - 2a + b = -4\\ \Rightarrow & a+b=-4+3a\\ \Rightarrow & a+b=-4+3(-1)=\fbox{$-7$} \end{split}

Soal #59
Jika ax + y = 4, x + by = 7, dan ab = 2, maka xy = ...
Solusi #59
Kalikan persamaan pertama dengan b diperoleh abx + by = 4b atau 2x + by = 4b

Dengan menyelesaikan SPLDV
2x + by = 4b
x + by = 7
diperoleh x = 4b − 7

Kalikan persamaan kedua dengan a diperoleh ax + aby = 7a atau ax + 2y = 7a

Dengan menyelesaikan SPLDV
ax + 2y = 7a
ax + y = 4
diperoleh y = 7a − 4

Jadi xy = (4b − 7) − (7a − 4) = 4b − 7a − 3

Soal #60
Semua bilangan real x yang memenuhi \(\dfrac{1}{|x-1|} < \dfrac{1}{2-x}\) adalah ...
Solusi #60
Jika x − 1 ≥ 0 atau x ≥ 1 \begin{split} & \frac{1}{x-1} < \frac{1}{2-x}\\ \Rightarrow & \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2} < 0\\ \Rightarrow & \frac{2x-3}{(x-1)(x-2)} < 0\\ \Rightarrow & x < 1 \text{ atau } \frac{3}{2} < x < 2 \end{split} Tetapi x ≥ 1 maka yang memenuhi adalah $\dfrac{3}{2} < x < 2$

Jika x < 1 \begin{split} & \frac{1}{-x+1} < \frac{1}{2-x}\\ \Rightarrow & \frac{-1}{x-1}+\frac{1}{x-2} < 0 \\ \Rightarrow & \frac{1}{(x-1)(x-2)} < 0\\ \Rightarrow & 1 < x < 2 \end{split} Tetapi x < 1 sehingga nilai di atas tidak memenuhi

Jadi semua bilangan yang memenuhi adalah \(\fbox{$\dfrac{3}{2} < x < 2$}\)

Click to comment