Type something and hit enter

author photo
By On

Soal #46
Diketahui 1 − √3 adalah salah satu akar x2ax + b = 0 dengan b bilangan real positif dan a suatu bilangan bulat. Nilai terbesar a adalah ...
Solusi #46
Misalkan persamaan kuadrat di atas memiliki akar x1 = 1 − √3 dan x2 dan dengan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat diperoleh \begin{split} & x_1 + x_2 = a\\ \Rightarrow & 1-\sqrt{3}+x_2 = a \end{split} Karena a bilangan bulat maka haruslah x2 = p + √3 untuk suatu p bilangan bulat.

b bilangan real positif berarti \begin{split} & x_1 x_2 = b > 0\\ \Rightarrow & (1-\sqrt{3})(p+\sqrt{3}) > 0\\ \Rightarrow & p+\sqrt{3} < 0\\ \Rightarrow & p < -\sqrt{3} \end{split} Karena p bilangan bulat maka p ∈ {−2,−3,−4,...}

Jadi nilai terbesar untuk a adalah p + 1 = −2 + 1 = −1

Soal #47
Jika A2x = 2, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots$
Solusi #47
A2x = 2 maka Ax = √2 \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \fbox{$\frac{31}{18}$} \end{split} Baca tentang Eksponen untuk lebih memahami cara penyelesaian di atas

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
Solusi #48
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 316: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis y = mx membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan AB = CD sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & \fbox{$m=2$} \end{split}

Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi \(\dfrac{x^2-4}{1-x^2} > 2\) adalah ...
Solusi #49
\begin{split} & \frac{x^2-4}{1-x^2} > 2\\ \Rightarrow & \frac{x^2-4}{1-x^2}-2 > 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2-4}{1-x^2}-\frac{2-2x^2}{1-x^2} > 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2-4-2+2x^2}{1-x^2} > 0\\ \Rightarrow & \frac{3x^2-6}{1-x^2} > 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2-2}{1-x^2} < 0\\ \Rightarrow & \frac{(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})}{(1+x)(1-x)} < 0\\ \Rightarrow & \fbox{$-\sqrt{2} < x < -1 \vee 1 < x < \sqrt{2}$} \end{split} Baca tentang Pertidaksamaan untuk lebih memahami cara penyelesaian di atas

Soal #50
Jika grafik y = x2 − (9+a)x + 9a diperoleh dari grafik fungsi y = x2 − 2x − 3 melalui pencerminan terhadap garis x = 4, maka a = ...
Solusi #50
Titik (x,y) diceriminkan terhadap garis x = 4 menghasilkan bayangan (x',y') dengan

x' = 8 − x dan y' = y

Substitusikan ke y = x2 − 2x − 3 diperoleh \begin{split}
& y'=(8-x')^2-2(8-x')-3\\
\Leftrightarrow & y'=x'^2-14x'+45
\end{split}Dengan menyamakan koefisien y' = x'2 − 14x' + 45 dan y = x2 − (9+a)x + 9a diperoleh 9a = 45 atau 9 + a = 14

jadi a = 5

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #51
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72

Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Diketahui f(x) = ax + b + 2 dan g(x) = ax − 4 memenuhi f(f(x)) = g(g(x)), maka ab + 6a + b = ...
Solusi #52
\begin{split} & f(f(x)) = g(g(x))\\ \Rightarrow & a(ax + b + 2) + b + 2 = a(ax-4) - 4\\ \Rightarrow & a^2x+ab+2a+b+2=a^2x-4a-4\\ \Rightarrow & ab+2a+b+2=-4a-4\\ \Rightarrow & ab+6a+b=\fbox{$-6$} \end{split}

Soal #53
Jika g(x) = pxq dan g-1(x) = qxp untuk suatu bilangan negatif p dan q, maka $\dfrac{p}{q}=\ldots$
Solusi #53
Misalkan g(x) = y = pxq maka $x = \dfrac{1}{p}y + \dfrac{q}{p}$. Ini berarti $$g^{-1}(x) = \dfrac{1}{p}x + \dfrac{q}{p} = qx - p$$ dari persamaan di atas diperoleh $$\dfrac{1}{p}=q \Rightarrow pq = 1$$ dan $$\dfrac{q}{p}=-p \Rightarrow q =-p^2$$ Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut diperoleh p = −1 dan q = −1. Jadi $\dfrac{p}{q}=\fbox{1}$

Soal #54
Jika A adalah matriks berukuran 2×2 yang mempunyai invers dengan A2 − 2AI = 0, maka A − 2I = ...
Solusi #54
\begin{split} & A^2 - 2A - I = 0\\ \Rightarrow & A^2 - 2A = I\\ \Rightarrow & A(A - 2I) = I \text{ kedua ruas dikali } A^{-1} \text{ dari kiri}\\ \Rightarrow & A^{-1}A(A - 2I) = A^{-1}I \\ \Rightarrow & I(A - 2I) = A^{-1} \\ \Rightarrow & A - 2I = \fbox{$A^{-1}$}\end{split}

Soal #55
Bilangan log (ab4), log (a3b7), dan log (a6b9) merupakan tiga suku pertama barisan aritmatika. Jika suku ke-11 barisan tersebut adalah log (bp), maka p = ...
Solusi #55
\begin{split} & \log (a^6b^9) - \log (a^3b^7) = \log (a^3b^7) - \log (ab^4)\\ \Rightarrow & \log \left( \frac{a^6b^9}{a^3b^7}\right) = \log \left( \frac{a^3b^7}{ab^4}\right)\\ \Rightarrow & \log (a^3b^2) = \log (a^2b^3)\\ \Rightarrow & a^3b^2 = a^2b^3\\ \Rightarrow & a = b \end{split}
Substitusikan a = b ke bilangan pertama diperoleh U1 = log (ab4) = log (aa4) = log (a5)

Beda barisan aritmatika di atas adalah \begin{split} b &= U_2 - U_1 \\ &= \log (a^{10}) - \log (a^5)\\ &= \log \left(\frac{a^{10}}{a^5}\right)\\ &= \log (a^5) \end{split} suku ke-11 adalah \begin{split} & U_1+10b\\ = & \log (a^5) + 10 \log (a^5)\\ = & \log (a^5) + \log (a^{50})\\ = & \log (a^{55}) \end{split} Jadi p = 55

Soal #56
 SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 316: MATEMATIKA DASAR
Titik X, Y, dan Z terletak pada segitiga ABC sehingga AZ = AY, BZ = BX, CX = CY seperti pada gambar. Jika BC, CA, dan AB berturut-turut adalah a cm, b cm, dan c cm, maka 2AY = ... cm
Solusi #56
Misalkan AZ = AY = x maka BZ = BX = c − x dan CY = CX = b − x Tetapi karena BC = BX + CX maka \begin{split} & BC = BX+CX\\ \Rightarrow & a = c-x+b-x\\ \Rightarrow & a=b+c-2x\\ \Rightarrow & 2x=b+c-a\\ \Rightarrow & 2AY=\fbox{$b+c-a$} \end{split}

Soal #57
Dalam suatu kelas terdapat 30 siswa. Rata-rata nilai mata pelajaran statistika mereka adalah 8. Rata-rata nilai tersebut tetap sama meskipun satu nilai terendah dan tertinggi dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan bulat positif yang tidak lebih besar dari 10 dan tidak semua siswa memperoleh nilai yang sama, maka jumlah nilai tertinggi dan terendah adalah ...
Solusi #57
Total nilai 30 siswa adalah 30 × 8 = 240

Misalkan nilai yang terkecil adalah a dan yang terbesar adalah b maka \begin{split}
& \frac{240-a-b}{28}=8\\
\Rightarrow & 240-a-b=224\\
\Rightarrow & a+b=\fbox{16}
\end{split}

Soal #58
Diketahui f(x) = x2 + axb. Jika f(b+1) = 0 dan $\lim_{x \to 0}\limits \dfrac{f(x+b)}{x}=-1$ maka a + 2b = ...
Solusi #58
f(x) = x2 + axb maka f'(x) = 2x + a

Dengan menggunakan aturan L'Hospital pada limit di atas diperoleh \begin{split} & \lim_{x \to 0}\limits \dfrac{f(x+b)}{x}=-1\\ \Rightarrow & \lim_{x \to 0}\limits f'(x+b)=-1\\ \Rightarrow & \lim_{x \to 0}\limits 2(x+b)+a=-1\\ \Rightarrow & 2(0+b)+a=-1\\ \Rightarrow & a+2b=\fbox{$-1$}\\ \end{split}

Soal #59
Jika x + 3y = 9, 4x + 3y = 12, ax + by = −13 dan axby = 19, maka ab = ...
Solusi #59
Dengan menyelesaikan sistem persamaan

x + 3y = 9
4x + 3y = 12

diperoleh x = 1 dan y = $\frac{8}{3}$, sehingga dua persamaan berikut menjadi

$a+\frac{8}{3}b=-13$
$a-\frac{8}{3}b=19$

dengan menyelesaikannya diperoleh a = 3 dan b = −6

Jadi ab−18

Soal #60
Semua bilangan real x yang memenuhi $x - 1 < \dfrac{2}{|x|}$ adalah ...
Solusi #60
Jika x > 0 \begin{split} & x-1 < \dfrac{2}{x}\\ \Rightarrow & x-1 - \dfrac{2}{x} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x^2-x -2}{x} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x-2)(x+1)}{x} < 0\\ \Rightarrow & x < -1 \vee 0 < x < 2 \end{split} Karena x > 0 maka nilai x yang memenuhi adalah 0 < x < 2;

Jika x < 0 \begin{split} & x-1 < \dfrac{2}{-x}\\ \Rightarrow & x-1 + \dfrac{2}{x} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x^2-x +2}{x} < 0 \text{ [pembilangnya definit positif akibatnya...]}\\ \Rightarrow & x < 0\text{ [sesuai syarat x > 0]} \end{split} Jadi semua nilai x yang memenuhi adalah x < 0 atau 0 < x < 2
Baca tentang Pertidaksamaan untuk lebih memahami cara penyelesaian di atas

7 komentar

avatar

min knapa setiap buka page pembahasannya ga keluar (bahasa pemprograman?)

avatar

aktifkan javascript di browser (browser rekomendasi: google chrome) dan gunakan koneksi yang cukup kencang

avatar

sorry min, kenapa android saya buka di web (maaf) dunia informa javascript saya aktif, tapi untuk disini ga bisa? saya lebih cenderung suka sama ini daripada yg saya bilang tadi? mohon bantuannya min?
saya udah pake bolt, sama udah memperbarui chrome saya?

avatar

terima kasih atas responnya. kami juga menemukan permasalahan yang sama untuk android. kami sedang mencari akar permasalahannya dan menyelesaikannya. Mohon maaf sebelumnya jika kami lambat bekerja

avatar

min soal no 55 kenapa U1nya bisa log(a^5) ?

avatar

dan kenapa u2nya = log(a^1 0) ?

avatar

sudah diperbaiki, terima kasih atas responnya

Click to comment