Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Diketahui $1 + \sqrt{3}$ adalah salah satu akar $x^2-ax+b=0$ dengan $b$ bilangan real positif dan $a$ suatu bilangan bulat. Nilai terkecil $a$ adalah ...
Solusi #46
Misalkan persamaan kuadrat di atas memiliki akar $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ dan $x_2$ dan dengan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat diperoleh \begin{split} & x_1 + x_2 = a\\ \Rightarrow & 1+\sqrt{3}+x_2 = a \end{split} Karena $a$ bilangan bulat maka haruslah $x_2 = p - \sqrt{3}$ untuk suatu $p$ bilangan bulat.

$b$ bilangan real positif \begin{split} & x_1 x_2 = b > 0\\ \Rightarrow & (1+\sqrt{3})(p-\sqrt{3}) > 0\\ \Rightarrow & p-\sqrt{3} > 0\\ \Rightarrow & p > \sqrt{3} \end{split} Karena $p$ bilangan bulat maka $p \in \{2,3,4,...\}$

Jadi nilai terkecil untuk $a$ adalah $p + 1 = 2 + 1 = \fbox{3}$

Soal #47
Jika $A^{2x}=2$, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots$
Solusi #47
$A^{2x}=2$ maka $A^x=\sqrt{2}$ \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \fbox{$\frac{31}{18}$} \end{split} Baca tentang Eksponen untuk lebih memahami cara penyelesaian di atas

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
Solusi #48
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 314: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis $y=mx$ membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan $AB=CD$ sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & \fbox{$m=2$} \end{split}

Soal #49
Semua bilangan real $x$ yang memenuhi $\dfrac{x+2}{x+3} \leq \dfrac{x-3}{x-4}$ adalah...
Solusi #49
\begin{split} & \dfrac{x+2}{x+3} \leq \dfrac{x-3}{x-4}\\ \Rightarrow & \dfrac{x+2}{x+3} - \dfrac{x-3}{x-4} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x+2)(x-4)-(x-3)(x+3)}{(x+3)(x-4)} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{-2x+1}{(x+3)(x-4)} \leq 0\\ \Rightarrow & \fbox{$-3 < x \leq \dfrac{1}{2} \vee x > 4$} \end{split}
Baca tentang Pertidaksamaan untuk lebih memahami cara penyelesaian di atas

Soal #50
Jika grafik $y=x^2-(9+a)x+9a$ diperoleh dari grafik fungsi $y=x^2-2x-3$ melalui pencerminan terhadap garis $x=4$, maka $a=\ldots$
Solusi #50
Titik $(x,y)$ diceriminkan terhadap garis $x=4$ menghasilkan bayangan $(x',y')$ dengan $$x'=8-x$$ dan $$y'=y$$ Substitusikan ke $y=x^2-2x-3$ diperoleh $y'=(8-x')^2-2(8-x')-3$ atau $$y'=x'^2-14x'+45$$ Dengan menyamakan koefisien $y=x^2-(9+a)x+9a$ dan $y'=x'^2-14x'+45$ diperoleh $9a=45$ atau $9+a=14$

jadi $\fbox{$a=5$}$

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #51
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72

Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = $\fbox{$72$}$

Soal #52
Jika $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}$ dan $g(x) = 10 − x^2$, maka himpunan bilangan real yang memenuhi $(f \circ g)(x) < 2$ adalah ...
Solusi #52
\begin{split} & (f \circ g)(x) < 2\\ \Rightarrow & f(g(x)) < 2\\ \Rightarrow & \frac{1}{\sqrt{1-g(x)}} < 2\\ \Rightarrow & \frac{1}{\sqrt{1-(10 − x^2)}} < 2\\ \Rightarrow & \frac{1}{\sqrt{x^2-9}} < 2\\ \Rightarrow & \frac{1}{\sqrt{x^2-9}} - 2 < 0\\ \Rightarrow & \frac{1}{\sqrt{x^2-9}} - \frac{2\sqrt{x^2-9}}{\sqrt{x^2-9}} < 0\\ \Rightarrow & \frac{1-2\sqrt{x^2-9}}{\sqrt{x^2-9}} < 0\\ \Rightarrow & 1-2\sqrt{x^2-9} < 0\\ \Rightarrow & 2\sqrt{x^2-9} > 1\\ \Rightarrow & 4x^2-36 > 1\\ \Rightarrow & 4x^2-37 > 0\\ \Rightarrow & (2x+\sqrt{37})(2x-\sqrt{37}) > 0\\ \Rightarrow & \fbox{$x < -\frac{\sqrt{37}}{2} \vee x > \frac{\sqrt{37}}{2}$}\\ \end{split}

Soal #53
Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memenuhi $f(2x)=g(x+3)$, maka $f^{-1}(x)=\ldots$
Solusi #53
Misalkan $f(2x)=g(x+3)=y$ maka $f^{-1}(y)=2x$ dan $g^{-1}(y)=x+3$

$g^{-1}(y)=x+3$ maka $x=g^{-1}(y)-3$

sehingga $f^{-1}(y)=2x=2(g^{-1}(y)-3)$

Jadi $\fbox{$f^{-1}(x) = 2g^{-1}(x)-6$}$

Soal #54
Jika matriks \(A=\begin{pmatrix}2a & 2\\-4 & a \end{pmatrix}\) dan \(B=\begin{pmatrix}2b & b\\-4 & b \end{pmatrix}\) mempunyai invers, maka semua bilangan real b yang memenuhi det(ABA-1) > 0 adalah ...
Solusi #54
\begin{split} & \det(ABA^{-1}) > 0\\ \Rightarrow & \det A \det B \det A^{-1} > 0\\ \Rightarrow & \det B > 0\\ \Rightarrow & 2b^2+4b > 0\\ \Rightarrow & 2b(b+2) > 0\\ \Rightarrow & \fbox{$b < -2 \vee b > 0$} \end{split}

Soal #55
Bilangan $\log (a^3b)$, $\log (a^2b^6)$, dan $\log (a^5b^7)$ merupakan tiga suku pertama barisan aritmatika. Jika suku ke-9 barisan tersebut adalah $\log (b^p)$, maka $p=...$
Solusi #55
\begin{split} & \log (a^5b^7) - \log (a^2b^6) = \log (a^2b^6) - \log (a^3b)\\ \Rightarrow & \log \left( \frac{a^5b^7}{a^2b^6}\right) = \log \left( \frac{a^2b^6}{a^3b}\right)\\ \Rightarrow & \log (a^3b) = \log \left( \frac{b^3}{a}\right)\\ \Rightarrow & a^3b = \frac{b^5}{a}\\ \Rightarrow & a^4 = b^4\\ \Rightarrow & a = b \end{split}
Substitusikan $a=b$ ke bilangan pertama diperoleh $U_1 = \log (a^3b) = \log (a^4)$

Beda barisan aritmatika di atas adalah \begin{split} b &= U_2 - U_1 \\ &= \log (a^8) - \log (a^4)\\ &= \log (a^4) \end{split} Jadi suku ke-9 adalah \begin{split} & U_1+8b\\ = & \log (a^4) + 8 \log (a^4)\\ = & \log (a^4) + \log (a^32)\\ = & \log (a^36) \end{split} Jadi $p=\fbox{36}$

Soal #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 315: MATEMATIKA DASAR
Diketahui dua buah lingkaran dengan titik pusat yang sama, berturut-turut berjari-jari R1 dan R2 dengan R1 > R2 . Jika panjang tali busur AB = 10, maka selisih luas lingkaran tersebut adalah ... cm2
Solusi #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 315: MATEMATIKA DASAR
Selisih luas lingkaran
\begin{split}
=& \pi R_1^2 - \pi R_2^2\\
=& \pi OA^2 - \pi OC^2\\
=& \pi (OA^2-OC^2)\\
=& \pi AC^2\\
=& \pi 5^2\\
=& \fbox{$25 \pi$}
\end{split}

Soal #57
Seorang siswa mengikuti 6 kali ujian dengan nilai 5 ujian pertama 6, 4, 8, 5 dan 7. Jika semua nilai dinyatakan dalam bilangan asli yang tidak lebih besar daripada 10 dan rata-rata 6 kali ujian lebih kecil dari mediannya, maka nilai ujian terakhir yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #57
Rata-rata 6 kali ujian lebih kecil dari mediannya berarti \begin{split} & \frac{4+5+6+7+8+x}{6} < \text{median}\\ \Rightarrow & 30+x < 6 \cdot \text{median ...(1)} \end{split} Jika $x < 5$ maka mediannya = 5,5, sehingga pertidaksamaan (1) menjadi $$30+x < 6 \cdot 5,5 = 33$$ nilai $x < 5$ yang memenuhi hanya 1 dan 2

Jika $x = 5$ maka mediannya = 5, sehingga pertidaksamaan (1) menjadi $$30+x < 6 \cdot 5 = 30$$ tetapi $x = 5$ tidak memenuhi

Jika $x = 6$ maka mediannya = 6, sehingga pertidaksamaan (1) menjadi $$30+x < 6 \cdot 6 = 36$$ tetapi $x = 6$ tidak memenuhi

Jika $x > 6$ maka mediannya = 6,5, sehingga pertidaksamaan (1) menjadi $$30+x < 6 \cdot 6,5 = 39$$ tetapi $x > 6$ yang memenuhi hanya 7 dan 8

Nilai bilangan asli x yang mungkin adalah 1, 2, 7 dan 8 yaitu sebanyak $\fbox{4}$

Soal #58
Diketahui $f(x) = x^2+ax +b$. Jika \(\lim_{x \to 3}\limits \dfrac{f(x)}{x-3}=2\), maka $a-b=...$
Solusi #58
Limit di atas merupakan limit bentuk 0/0 maka \begin{split}
& f(3)=0\\
\Rightarrow & 9+3a+b=0\\
\Rightarrow & 3a+b=-9 \end{split} Dengan dalil L'Hospital diperoleh \begin{split}
& \lim_{x \to 3} \frac{x^2+ax+b}{x-3}=2\\
\Rightarrow & \lim_{x \to 3} \frac{2x+a}{1}=2\\
\Rightarrow & 6+a=2\\
\Rightarrow & a=-4 \end{split} Substitusi $a=-4$ ke $3a+b=-9$ diperoleh \begin{split}
& 3a+b=-9\\
\Rightarrow & -12 +b =-9\\
\Rightarrow & b=3
\end{split} Jadi $\fbox{$a-b=-4-3=-7$}$

Soal #59
Jika 2x + 3y = 12, 3x − 2y = 5, ax + by = 16, dan axby = 8, maka ab = ...
Solusi #59
Dengan menyelesaikan SPLDV

2x + 3y = 12
3x − 2y = 5

diperoleh nilai x = 3 dan y = 2. Substitusikan nilai x dan y ke dua persamaan berikutnya

3a + 2b = 16
3a − 2b = 8

Kemudian selesaikan sehingga diperoleh a = 4 dan b = 2.

Jadi ab = 4 − 2 = $\fbox{2}$

Soal #60
Semua bilangan real $x$ yang memenuhi \(\dfrac{1}{|x-1|} < \dfrac{1}{2-x}\) adalah ...
Solusi #60
Jika $x-1 \geq 0$ atau $x \geq 1$ \begin{split} & \frac{1}{x-1} < \frac{1}{2-x}\\ \Rightarrow & \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2} < 0\\ \Rightarrow & \frac{2x-3}{(x-1)(x-2)} < 0\\ \end{split} Pembuat 0 dari pertidaksamaan di atas adalah x = 1, x = 3/2 dan x = 2. Kemudian uji pada garis bilangan x ≥ 1 diperoleh
3/2 < x < 2

Jika x < 1 \begin{split} & \frac{1}{-x+1} < \frac{1}{2-x}\\ \Rightarrow & \frac{-1}{x-1}+\frac{1}{x-2} < 0 \\ \Rightarrow & \frac{1}{(x-1)(x-2)} < 0\\ \end{split} Pembuat 0 dari pertidaksamaan di atas adalah x = 1 dan x = 2. Kemudian uji pada garis bilangan x < 1 diperoleh
1 < x < 2 [tidak sesuai dengan x < 1]

Jadi semua bilangan yang memenuhi adalah \(\fbox{$\frac{3}{2} < x < 2$}\)

Click to comment