Soal #46
Diketahui persamaan kuadrat $x^2+ax+b=0$ dengan $a$ adalah bilangan bulat positif dan $b$ adalah bilangan real negatif. Jika salah satu akarnya adalah −5, maka nilai terbesar yang mungkin untuk $a$ adalah ...
Diketahui persamaan kuadrat $x^2+ax+b=0$ dengan $a$ adalah bilangan bulat positif dan $b$ adalah bilangan real negatif. Jika salah satu akarnya adalah −5, maka nilai terbesar yang mungkin untuk $a$ adalah ...
Solusi #46
Misalkan akar yang lainnya adalah $p$; dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat diperoleh $$-5+p=-a \Rightarrow a=5-p$$ dan $$-5p=b$$ karena $b < 0$ maka $-5p < 0 \Rightarrow p > 0$.
Karena $a$ bulat positif dan $a=5-p$ maka nilai yang mungkin untuk $p$ adalah 1, 2, 3 atau 4. $a$ maksimum jika $p=1$ yaitu $a=5-1=\fbox{4}$
Misalkan akar yang lainnya adalah $p$; dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat diperoleh $$-5+p=-a \Rightarrow a=5-p$$ dan $$-5p=b$$ karena $b < 0$ maka $-5p < 0 \Rightarrow p > 0$.
Karena $a$ bulat positif dan $a=5-p$ maka nilai yang mungkin untuk $p$ adalah 1, 2, 3 atau 4. $a$ maksimum jika $p=1$ yaitu $a=5-1=\fbox{4}$
Soal #47
Jika $A^{2x}=2$, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots$
Jika $A^{2x}=2$, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots$
Solusi #47
$A^{2x}=2$ maka $A^x=\sqrt{2}$ \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \fbox{$\frac{31}{18}$} \end{split}
$A^{2x}=2$ maka $A^x=\sqrt{2}$ \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \fbox{$\frac{31}{18}$} \end{split}
Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
Solusi #48
Berdasarkan gambar di atas garis $y=mx$ membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan $AB=CD$ sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & \fbox{$m=2$} \end{split}
Berdasarkan gambar di atas garis $y=mx$ membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan $AB=CD$ sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & \fbox{$m=2$} \end{split}
Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi $\dfrac{x-2}{x+3} \leq \dfrac{2x-3}{2x}$ adalah ...
Semua bilangan real x yang memenuhi $\dfrac{x-2}{x+3} \leq \dfrac{2x-3}{2x}$ adalah ...
Solusi #49
\begin{split} & \dfrac{x-2}{x+3} \leq \dfrac{2x-3}{2x}\\ \Rightarrow & \dfrac{x-2}{x+3} - \dfrac{2x-3}{2x} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2x(x-2)-(2x-3)(x+3)}{2x(x+3)} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{9-7x}{2x(x+3)} \leq 0\\ \Rightarrow & \fbox{$-3 < x < 0 \vee x \geq \frac{9}{7}$} \end{split}
selengkapnya silahkan baca tentang pertidaksamaan
\begin{split} & \dfrac{x-2}{x+3} \leq \dfrac{2x-3}{2x}\\ \Rightarrow & \dfrac{x-2}{x+3} - \dfrac{2x-3}{2x} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2x(x-2)-(2x-3)(x+3)}{2x(x+3)} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{9-7x}{2x(x+3)} \leq 0\\ \Rightarrow & \fbox{$-3 < x < 0 \vee x \geq \frac{9}{7}$} \end{split}
selengkapnya silahkan baca tentang pertidaksamaan
Soal #50
Jika grafik $y=x^2-(9+a)x+9a$ diperoleh dari grafik fungsi $y=x^2-2x-3$ melalui pencerminan terhadap garis $x=4$, maka $a=\ldots$
Jika grafik $y=x^2-(9+a)x+9a$ diperoleh dari grafik fungsi $y=x^2-2x-3$ melalui pencerminan terhadap garis $x=4$, maka $a=\ldots$
Solusi #50
Titik $(x,y)$ diceriminkan terhadap garis $x=4$ menghasilkan bayangan $(x',y')$ dengan $$x'=8-x$$ dan $$y'=y$$ Substitusikan ke $y=x^2-2x-3$ diperoleh $y'=(8-x')^2-2(8-x')-3$ atau $$y'=x'^2-14x'+45$$ Dengan menyamakan koefisien $y=x^2-(9+a)x+9a$ dan $y'=x'^2-14x'+45$ diperoleh $9a=45$ atau $9+a=14$
jadi $\fbox{$a=5$}$
Titik $(x,y)$ diceriminkan terhadap garis $x=4$ menghasilkan bayangan $(x',y')$ dengan $$x'=8-x$$ dan $$y'=y$$ Substitusikan ke $y=x^2-2x-3$ diperoleh $y'=(8-x')^2-2(8-x')-3$ atau $$y'=x'^2-14x'+45$$ Dengan menyamakan koefisien $y=x^2-(9+a)x+9a$ dan $y'=x'^2-14x'+45$ diperoleh $9a=45$ atau $9+a=14$
jadi $\fbox{$a=5$}$
Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #51
Misalkan P=Pria dan W=Wanita
Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144
Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah
PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa
ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72
Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = $\fbox{$72$}$
Misalkan P=Pria dan W=Wanita
Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144
Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah
PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa
ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72
Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = $\fbox{$72$}$
Soal #52
Diberikan $f(x)=ax-b$ dan $g(x)=cx+b$ dengan $a$, $b$ dan $c$ adalah bilangan-bilangan real positif. Syarat agar $f(g(x)) > g(f(x))$ adalah ...
Diberikan $f(x)=ax-b$ dan $g(x)=cx+b$ dengan $a$, $b$ dan $c$ adalah bilangan-bilangan real positif. Syarat agar $f(g(x)) > g(f(x))$ adalah ...
Solusi #52
\begin{split} & f(g(x)) > g(f(x))\\ \Rightarrow & f(cx+b) > g(ax-b)\\ \Rightarrow & a(cx+b)-b > c(ax-b)+b\\ \Rightarrow & acx+ab-b > acx-bc+b\\ \Rightarrow & ab-b > -bc+b\\ \Rightarrow & a-1 > -c+1\\ \Rightarrow & \fbox{$a+c > 2$} \end{split}
\begin{split} & f(g(x)) > g(f(x))\\ \Rightarrow & f(cx+b) > g(ax-b)\\ \Rightarrow & a(cx+b)-b > c(ax-b)+b\\ \Rightarrow & acx+ab-b > acx-bc+b\\ \Rightarrow & ab-b > -bc+b\\ \Rightarrow & a-1 > -c+1\\ \Rightarrow & \fbox{$a+c > 2$} \end{split}
Soal #53
Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memenuhi $f(2x)=g(x-3)$, maka $f^{-1}(x)=\ldots$
Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memenuhi $f(2x)=g(x-3)$, maka $f^{-1}(x)=\ldots$
Solusi #53
Misalkan $f(2x)=g(x-3)=y$ maka $f^{-1}(y)=2x$ dan $g^{-1}(y)=x-3$
$g^{-1}(y)=x-3$ maka $x=g^{-1}(y)+3$
sehingga $f^{-1}(y)=2x=2(g^{-1}(y)+3)$
Jadi $\fbox{$f^{-1}(x) = 2g^{-1}(x)+6$}$
Misalkan $f(2x)=g(x-3)=y$ maka $f^{-1}(y)=2x$ dan $g^{-1}(y)=x-3$
$g^{-1}(y)=x-3$ maka $x=g^{-1}(y)+3$
sehingga $f^{-1}(y)=2x=2(g^{-1}(y)+3)$
Jadi $\fbox{$f^{-1}(x) = 2g^{-1}(x)+6$}$
Soal #54
Diketahui matriks \(A=\begin{pmatrix} 8 & a\\a & 1\end{pmatrix}\) dan \(B=\begin{pmatrix} 1 & -1\\b & 1\end{pmatrix}\), dan C adalah matriks berukuran 2×2 yang mempunyai invers. Jika AC dan BC tidak memiliki invers, maka $3a^2+4b^3=\ldots$
Diketahui matriks \(A=\begin{pmatrix} 8 & a\\a & 1\end{pmatrix}\) dan \(B=\begin{pmatrix} 1 & -1\\b & 1\end{pmatrix}\), dan C adalah matriks berukuran 2×2 yang mempunyai invers. Jika AC dan BC tidak memiliki invers, maka $3a^2+4b^3=\ldots$
Solusi #54
matriks AC dan BC tidak memiliki invers tetapi A memiliki invers maka haruslah A dan B tidak memiliki invers dengan kata lain det(A) = 0 dan det(B) = 0
det(A) = 0 maka $8-a^2 = 0$ atau $a^2 = 8$
det(B) = 0 maka $1+b=0$ atau $b=-1$
Jadi $3a^2 + 4b^3 = 24 - 4 = \fbox{20}$
matriks AC dan BC tidak memiliki invers tetapi A memiliki invers maka haruslah A dan B tidak memiliki invers dengan kata lain det(A) = 0 dan det(B) = 0
det(A) = 0 maka $8-a^2 = 0$ atau $a^2 = 8$
det(B) = 0 maka $1+b=0$ atau $b=-1$
Jadi $3a^2 + 4b^3 = 24 - 4 = \fbox{20}$
Soal #55
Diketahui $\log 100$ dan $\frac{3}{2} \log a$ merupakan suku pertama dan suku ketiga suatu barisan aritmtika. Jika jumlah tiga suku pertama barisan tersebut adalah $3 \log a$ maka jumlah empat suku pertama barisan tersebut adalah...
Diketahui $\log 100$ dan $\frac{3}{2} \log a$ merupakan suku pertama dan suku ketiga suatu barisan aritmtika. Jika jumlah tiga suku pertama barisan tersebut adalah $3 \log a$ maka jumlah empat suku pertama barisan tersebut adalah...
Solusi #55
$U_1 = \log 100 = 2$
$U_3 =\frac{3}{2} \log a$
$U_1+U_2+U_3=3 \log a$ \begin{split}
& U_1 + U_1 + b + U_1 + 2b = 3 \log a\\
\Rightarrow & 3U_1 + 3b = 3 \log a\\
\Rightarrow & U_1 + b = \log a\\
\Rightarrow & U_2 = \log a
\end{split}
$U_n$ barisan aritmatika, maka \begin{split}
& U_2-U_1=U_3-U_2\\
\Rightarrow & \log a - 2 = \frac{3}{2} \log a - \log a\\
\Rightarrow & \log a - 2 = \frac{1}{2} \log a\\
\Rightarrow & \frac{1}{2} \log a = 2\\
\Rightarrow & \log a = 4
\end{split} Sehingga 3 suku pertama barisan aritmatika tersebut adalah 2 , 4 , 6
Jadi jumlah 4 suku pertamnya adalah 2 + 4 + 6 + 8 = $\fbox{20}$
$U_1 = \log 100 = 2$
$U_3 =\frac{3}{2} \log a$
$U_1+U_2+U_3=3 \log a$ \begin{split}
& U_1 + U_1 + b + U_1 + 2b = 3 \log a\\
\Rightarrow & 3U_1 + 3b = 3 \log a\\
\Rightarrow & U_1 + b = \log a\\
\Rightarrow & U_2 = \log a
\end{split}
$U_n$ barisan aritmatika, maka \begin{split}
& U_2-U_1=U_3-U_2\\
\Rightarrow & \log a - 2 = \frac{3}{2} \log a - \log a\\
\Rightarrow & \log a - 2 = \frac{1}{2} \log a\\
\Rightarrow & \frac{1}{2} \log a = 2\\
\Rightarrow & \log a = 4
\end{split} Sehingga 3 suku pertama barisan aritmatika tersebut adalah 2 , 4 , 6
Jadi jumlah 4 suku pertamnya adalah 2 + 4 + 6 + 8 = $\fbox{20}$
Soal #56
Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, lengkungan BD dan BE berturut-turut adalah busur lingkaran yang berpusat di C dan A seperti pada gambar. Jika AB = BC = 2 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah ... cm2
Solusi #56
Luas daerah yang diarsir adalah luas persegi dikurangi luas seperempat lingkaran
Jadi luas daerah pada soal sama dengan luas daerah pada gambar di atas ini \[L=2 \times 2 - \frac{1}{4} \pi 2^2=\fbox{$4-\pi$}\]
Jadi luas daerah pada soal sama dengan luas daerah pada gambar di atas ini \[L=2 \times 2 - \frac{1}{4} \pi 2^2=\fbox{$4-\pi$}\]
Soal #57
Nilai ujian matematika 30 siswa pada suatu kelas berupa bilangan cacah tidak lebih daripada 10. Rata-rata nilai mereka adalah 8 dan hanya terdapat 5 siswa yang memperoleh nilai 7. Jika p menyatakan banyak siswa yang memperoleh nilai kurang dari 7, maka nilai p terbesar yang mungkin adalah ...
Nilai ujian matematika 30 siswa pada suatu kelas berupa bilangan cacah tidak lebih daripada 10. Rata-rata nilai mereka adalah 8 dan hanya terdapat 5 siswa yang memperoleh nilai 7. Jika p menyatakan banyak siswa yang memperoleh nilai kurang dari 7, maka nilai p terbesar yang mungkin adalah ...
Solusi #57
Masih belum ada solusi
Masih belum ada solusi
Soal #58
Diketahui $f$ adalah fungsi kuadrat dengan $f(0) = 0$ dan $f(2) = 10$. Jika $\lim_{x \to 1}\limits \dfrac{x^2-x}{f(x)-1}=\frac{1}{5}$, maka $f(1)=\ldots$
Diketahui $f$ adalah fungsi kuadrat dengan $f(0) = 0$ dan $f(2) = 10$. Jika $\lim_{x \to 1}\limits \dfrac{x^2-x}{f(x)-1}=\frac{1}{5}$, maka $f(1)=\ldots$
Solusi #58
Misalkan $f(x) = ax^2 + bx + c$
Karena $f(0) = 0$ maka $c = 0$ atau $f(x) = ax^2 + bx$
Karena $f(2) = 10$ maka $4a + 2b = 10$
Selanjutnya \begin{split} & \lim_{x \to 1} \frac{x^2-x}{f(x)-1}=\frac{1}{5}\\ \Rightarrow & \lim_{x \to 1} \frac{x^2-x}{ax^2+bx-1}=\frac{1}{5} \end{split} Limit di atas merupakan bentuk 0/0, oleh karena itu $a + b − 1 = 0$ atau $a + b = 1$
Dengan menyelesaikan SPLDV
$4a + 2b = 10$
$a + b = 1$
diperoleh nilai $a = 4$ dan $b = −3$
Sehingga $f(x) = 4x^2 −3x$
Jadi $\fbox{$f(1) = 1$}$
Misalkan $f(x) = ax^2 + bx + c$
Karena $f(0) = 0$ maka $c = 0$ atau $f(x) = ax^2 + bx$
Karena $f(2) = 10$ maka $4a + 2b = 10$
Selanjutnya \begin{split} & \lim_{x \to 1} \frac{x^2-x}{f(x)-1}=\frac{1}{5}\\ \Rightarrow & \lim_{x \to 1} \frac{x^2-x}{ax^2+bx-1}=\frac{1}{5} \end{split} Limit di atas merupakan bentuk 0/0, oleh karena itu $a + b − 1 = 0$ atau $a + b = 1$
Dengan menyelesaikan SPLDV
$4a + 2b = 10$
$a + b = 1$
diperoleh nilai $a = 4$ dan $b = −3$
Sehingga $f(x) = 4x^2 −3x$
Jadi $\fbox{$f(1) = 1$}$
Soal #59
Jika $(x,y)=(1,1)$ dan $(x,y)=(a,-2)$ merupakan penyelesaian $3x+y=b$ dan $cx-dy=1$, maka $a+b+c+d=\ldots$
Jika $(x,y)=(1,1)$ dan $(x,y)=(a,-2)$ merupakan penyelesaian $3x+y=b$ dan $cx-dy=1$, maka $a+b+c+d=\ldots$
Solusi #59
$(x,y)=(1,1)$ penyelesaian dari $3x+y=b$ maka $3+1=b$ atau $b=4$
$(x,y)=(a,-2)$ penyelesaian dari $3x+y=b$ maka $3a-2=4$ atau $a=2$
$(x,y)=(a,-2)=(2,-2)$ penyelesaian dari $cx-dy=1$ maka $2c+2d=1$ atau $c+d=\dfrac{1}{2}$
Jadi $a+b+c+d=\fbox{$6\frac{1}{2}$}$
$(x,y)=(1,1)$ penyelesaian dari $3x+y=b$ maka $3+1=b$ atau $b=4$
$(x,y)=(a,-2)$ penyelesaian dari $3x+y=b$ maka $3a-2=4$ atau $a=2$
$(x,y)=(a,-2)=(2,-2)$ penyelesaian dari $cx-dy=1$ maka $2c+2d=1$ atau $c+d=\dfrac{1}{2}$
Jadi $a+b+c+d=\fbox{$6\frac{1}{2}$}$
Soal #60
Semua bilangan real yang x yang memenuhi \(\dfrac{1}{|x-2|} < \dfrac{1}{1-x}\) adalah ...
Semua bilangan real yang x yang memenuhi \(\dfrac{1}{|x-2|} < \dfrac{1}{1-x}\) adalah ...
Solusi #60
Jika x > 2
\begin{split}
& \frac{1}{x-2} < \frac{1}{1-x}\\
\Rightarrow & \frac{1}{x-2} - \frac{1}{1-x} < 0\\
\Rightarrow & \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-1} < 0\\
\Rightarrow & \frac{2x-3}{(x-2)(x-1)} < 0\\
\Rightarrow & x < 1 \text{ atau } \frac{3}{2} < x < 2\\
\end{split} tetapi tidak ada nilai x > 2 yang memenuhi
Jika x < 2
\begin{split}
& \frac{1}{2-x} < \frac{1}{1-x}\\
\Rightarrow & \frac{1}{2-x} - \frac{1}{1-x} < 0\\
\Rightarrow & -\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-1} < 0\\
\Rightarrow & \frac{-1}{(x-2)(x-1)} < 0\\
\Rightarrow & \frac{1}{(x-2)(x-1)} > 0\\
\Rightarrow & x < 1 \text{ atau }x > 2\\
\end{split} Jika x < 2 maka semua nilai x yang memenuhi adalah $\fbox{$x < 1$}$
Silahkan baca tentang pertidaksamaan untuk pembahasan yang lebih dipahami
Jika x > 2
\begin{split}
& \frac{1}{x-2} < \frac{1}{1-x}\\
\Rightarrow & \frac{1}{x-2} - \frac{1}{1-x} < 0\\
\Rightarrow & \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-1} < 0\\
\Rightarrow & \frac{2x-3}{(x-2)(x-1)} < 0\\
\Rightarrow & x < 1 \text{ atau } \frac{3}{2} < x < 2\\
\end{split} tetapi tidak ada nilai x > 2 yang memenuhi
Jika x < 2
\begin{split}
& \frac{1}{2-x} < \frac{1}{1-x}\\
\Rightarrow & \frac{1}{2-x} - \frac{1}{1-x} < 0\\
\Rightarrow & -\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-1} < 0\\
\Rightarrow & \frac{-1}{(x-2)(x-1)} < 0\\
\Rightarrow & \frac{1}{(x-2)(x-1)} > 0\\
\Rightarrow & x < 1 \text{ atau }x > 2\\
\end{split} Jika x < 2 maka semua nilai x yang memenuhi adalah $\fbox{$x < 1$}$
Silahkan baca tentang pertidaksamaan untuk pembahasan yang lebih dipahami