Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 227: MATEMATIKA SAINTEK
Diketahui lingkaran pada gambar di atas memiliki persamaan garis singgung di titik $A(4+2\sqrt{3})$, $B(6,2+\sqrt{3})$ dan $C(c,0)$. Persamaan lingkaran yang memenuhi hal tersebut adalah...
Solusi #1
Lingkaran tersebut menyinggung sumbu X di titik $x=c$ maka pusatnya di titik D berbentuk $(c,b)$, sehingga persamaan lingkarannya adalah $$(x-c)^2+(y-b)^2=r^2$$ titik A dan B berada pada lingkaran, berarti $$(4-c)^2+(2+\sqrt{3}-b)^2=r^2$$ $$(6-c)^2+(2+\sqrt{3}-b)^2=r^2$$ Dengan mengurangkan kedua persamaan di atas diperoleh $(4-c)^2=(6-c)^2$ sehingga diperoleh $\fbox{$c=5$}$

Jarak titik A ke pusat lingkaran sama dengan jarak C ke pusat lingkaran akibatnya
\begin{split} & AD^2=CD^2\\ \Rightarrow & (4-5)^2+(2+\sqrt{3}-b)^2=(5-5)^2+(0-b)^2\\ \Rightarrow & 1+(2+\sqrt{3})^2-2(2+\sqrt{3})b+b^2=b^2\\ \Rightarrow & 2(2+\sqrt{3})b=1+(2+\sqrt{3})^2\\ \Rightarrow & (4+2\sqrt{3})b=1+4+4\sqrt{3}+3\\ \Rightarrow & (4+2\sqrt{3})b=8+4\sqrt{3}\\ \Rightarrow & (4+2\sqrt{3})b=2(4+2\sqrt{3})\\ \Rightarrow & \fbox{$b=2$}\\ \end{split}
Persamaan lingkarannya menjadi $(x-5)^2+(y-2)^2=r^2$. Substitusikan titik $(c,0)=(5,0)$ ke persamaan lingkaran diperoleh $\fbox{$r^2=4$}$, jadi persamaan lingkaran yang dimaksud adalah $\fbox{$(x-5)^2+(y-2)^2=4$}$

Soal #2
Segitiga ABC siku-siku di B. Titik D terletak pada sisi BC sedemikian sehingga $CD:BD=(\sqrt{3}-1):1$. Jika $\angle DAB = 45^{\circ}$, maka besar sudut CAD adalah ...
Solusi #2
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 227: MATEMATIKA SAINTEK
Karena $CD:BD=(\sqrt{3}-1):1$ maka $BD=x$ dan $CD=x\sqrt{3}-x$.
Karena besar sudut BAD 45° maka $AB=BD=x$ \begin{split} \tan (\theta+45^{\circ}) = & \frac{BC}{AB}\\ = & \frac{x\sqrt{3}}{x}\\ = & \sqrt{3}\\ \end{split} akibatnya $\theta + 45^{\circ} = 60^{\circ}$ atau $\fbox{$\angle CAD = \theta = 15^{\circ}$}$

Soal #3
Fungsi $f(x) = \sec^2 x - \tan x \sec x$ untuk $0 < x < 2\pi$, $x \neq \dfrac{\pi}{2}$, dan $x \neq \dfrac{3\pi}{2}$ naik pada interval ...
Solusi #3
$f(x)$ naik jika $f'(x) > 0$
\begin{split} & 2 \sec x \sec x \tan x - \sec^2 x \sec x - \tan x \sec x \tan x > 0\\ & (-\sec x)(-2 \sec x \tan x + \sec^2 x + \tan^2 x ) > 0\\ & (-\sec x)(\sec x - \tan x )^2 > 0\\ & -\sec x > 0\\ & \sec x < 0\\ & \cos x < 0\\ & \fbox{$90^{\circ} < x < 270^{\circ}$} \end{split}

Soal #4
Jika titik $(a,b)$ dicerminkan terhadap garis $y=x+1$ menjadi titik $(c,d)$, maka $3c+2d=\ldots$
Solusi #4
Untuk mempermudah pencerminan, lakukan translasi $T(0,-1)$ pada titik $(a,b)$ dan garis $y=x-1$ dengan kata lain titik $(a,b)$ dan garis $y=x-1$ digeser ke bawah sejauh 1 satuan.

Setelah ditranslasi maka titik $(a,b-1)$ akan dicerminkan terhadap $y=x$ sehingga diperoleh bayangan $(b-1,a)$.

Lakukan translasi $T(0,1)$ pada titik $(b-1,a+1)$ agar diperoleh bayangan yang sebenarnya yaitu $(b-1,a+1)=(c,d)$. Ilustrasinya seperti ini
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 227: MATEMATIKA SAINTEK
Sehingga $b-1 = c$ dan $a+1 = d$ akibatnya \begin{split} & 3c+2d\\ =& 3(b-1)+2(a+1)\\ =& \fbox{$2a+3b-1$} \end{split}

Soal #5
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2 satuan. Titik P adalah titik potong garis AC dan BD. Jika $\alpha$ adalah sudut antara garis HP dan CF maka $\cos \alpha $ sama dengan ...
Solusi #5
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 227: MATEMATIKA SAINTEK
Karena CF sejajar PQ maka $\alpha$ juga akan sama dengan sudut antara PQ dan PH.

$PQ = \dfrac{1}{2}CF = \sqrt{2}$
$HQ = HP = \sqrt{HD^2+DP^2}=\sqrt{6}$

Dengan aturan cosinus diperoleh \begin{split} \cos \alpha = & \frac{PQ^2+PH^2-HQ^2}{2 \cdot PQ \cdot PH}\\ = & \frac{2+6-6}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}}\\ = & \frac{2}{2 \cdot \sqrt{12}}\\ = & \frac{2}{4 \cdot \sqrt{3}}\\ = & \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3}}\\ = & \fbox{$\frac{1}{6}\sqrt{3}$}\\ \end{split}

Soal #6
Jika sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^3-3x+5$ adalah $3x^2-2$, dan sisa pembagian $x^4+f^2(x)$ oleh $x^3-3x+5$ adalah $ax^2+bx+c$, maka $a+b+c=\ldots$
Solusi #6
Misalkan
$f = f(x)$
$h = h(x)$
$q = q(x) = x^3-3x+5$
$s = s(x) = 3x^2-2$
$f = hq + s$ maka $f^2 = h^2q^2 + 2hqs + s^2$ \begin{split} & x^4+f(x)^2 \\ = & x^4+f^2\\ = & x^4+{\color{Red} {h^2q^2}}+{\color{Red} {2hqs}}+s^2 \end{split} Suku-suku yang berwarna merah habis dibagi $q$, sehingga tinggal mencari sisa pembagian $x^4 + s^2$ oleh $q$. \begin{split} & x^4+s^2\\ = & x^4+(3x^2-2)^2\\ = & 10x^4-12x^2+4 \end{split} Dengan menggunakan pembagian bersusun $10x^4 - 12x^2 + 4$ dibagi oleh $x^3-3x+5$ menghasilkan sisa $18x^2-50x + 4$. Sehingga $a=18$, $b=-50$, dan $c = 4$. Jadi $a+b+c=18-50+4=\fbox{$-28$}$

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik \(y = 3^x+1\) jika ...
Solusi #7
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan \(3^x = y\) \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ \Rightarrow & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ \Rightarrow & 2y^3-1 < y^2\\ \Rightarrow & 2y^3-y^2-1 < 0\\ \Rightarrow & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena \(2y^2+y+1\) definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & \fbox{$x < 0$} \end{split}

Soal #8
$\lim_{x \to 0}\limits \dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}}=\ldots$
Solusi #8
\begin{split} & \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}} \times {\color{Blue}{\frac{\sqrt{x^2+1}+1}{\sqrt{x^2+1}+1}}}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{x^2+1-1}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}(\sqrt{x^2+1}+1)}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}(\sqrt{x^2+1}+1)} \times {\color{Blue}{\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}}}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}}{x^2}(\sqrt{x^2+1}+1)}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{\frac{3x^5}{x^4}+\frac{4\sin^4 x}{x^4}}(\sqrt{x^2+1}+1)}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{3x+\frac{4\sin^4 x}{x^4}}(\sqrt{x^2+1}+1)}\\ = & \frac{1}{\sqrt{0+4}(\sqrt{0+1}+1)}\\ = & \fbox{$\frac{1}{4}$} \end{split}

Soal #9
Jika a, b, c, d, dan e adalah bilangan real positif yang membentuk barisan aritmetika turun dan a, d, e membentuk barisan geometri, maka nilai $\frac{b}{e}$ = ...
Solusi #9
Misalkan barisan aritmatika di atas memiliki beda x maka
U1 = a
U2 = b = a + x
U3 = c = a + 2x
U4 = d = a + 3x
U5 = e = a + 4x

a, d, e membentuk barisan geometri maka \begin{split} & \frac{d}{a}=\frac{e}{d}\\ \Rightarrow & d^2 = ae\\ \Rightarrow & (a+3x)^2=a(a+4x)\\ \Rightarrow & a^2+6ax+9x^2=a^2+4ax\\ \Rightarrow & 2ax=-9x^2\\ \Rightarrow & 2a=-9x \end{split} Oleh karena itu \begin{split} \frac{b}{e} & = \frac{a+x}{a+4x}\\ & = \frac{2a+2x}{2a+8x}\\ & = \frac{-9x+2x}{-9x+8x}\\ & = \frac{-7x}{-1x}\\ & = \fbox{$7$} \end{split}

Soal #10
Diketahui $f(x) = x^3 + ax + 2$. Jika nilai maksimum $f(x)$ pada interval $0 \leq x \leq 1$ terjadi pada $x = 0$, maka nilai terbesar dari $a$ adalah ...
Solusi #10
$f(0) \geq f(x)$ pada interval $0 \leq x \leq 1$ \begin{split} & f(0) \geq f(x)\\ \Rightarrow & 2 \geq x^3+ax+2\\ \Rightarrow & x^3+ax \leq 0\\ \Rightarrow & x^2+a \leq 0\\ \Rightarrow & a \leq -x^2\\ \Rightarrow & a \leq -1 \end{split} Jadi nilai maksimum dari a adalah −1

Soal #11
Diketahui \(f(x)=f(x+2)\) untuk setiap \(x\). Jika \(\int_0^2\limits f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7\limits f(x+8) \ dx =\ldots\)
Solusi #11
\(\int_0^2\limits f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1\limits f(x) \ dx + \int_1^2\limits f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1\limits f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2\limits f(x) \ dx = B-A\)
\begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split}
Misalkan \(I_1=\int_3^4\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+2\) \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+4\) \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+6\) \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split} Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & \fbox{$2B$}
\end{split}

Soal #12
Diketahui fungsi $f(x)=x^k$ dan $g(x)=x$. Misalkan $D$ adalah daerah yang dibatasi kurva $g$, sumbu $y$ dan $y=1$. Jika kurva $f$ membagi daerah $D$ sama besar maka $k= \ldots$
Solusi #12
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 227: MATEMATIKA SAINTEK
Berdasarkan ilustrasi di atas D1 = D2 \begin{split} & \int_0^1 1-x^k \ dx = \int_0^1 x^k-x \ dx\\ \Rightarrow & \left[x-\frac{x^{k+1}}{k+1}\right]_0^1=\left[\frac{x^{k+1}}{k+1}-\frac{x^2}{2}\right]_0^1\\ \Rightarrow & 1-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{k+1}-\frac{1}{2}\\ \Rightarrow & \frac{3}{2}=\frac{2}{k+1}\\ \Rightarrow & 3k+3=4\\ \Rightarrow & k=\fbox{$\frac{1}{3}$}\end{split}

Soal #13
Banyaknya bilangan genap \(n = abc\) dengan tiga digit sehingga \(3 < b < c\) adalah ...
Solusi #13
ilai \(c\) yang mungkin adalah 6 atau 8.

Jika \(c = 6\) maka \(b = 4\) atau \(b = 5\); terdapat 2 kemungkinan.

Jika \(c = 8\) maka \(b = 4\) atau \(b = 5\) atau \(b = 6\) atau \(b = 7\); terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar \(3 < b < c\) ada sebanyak 6.

Nilai \(a\) yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk \(a\), sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = $\fbox{54}$

Soal #14
Garis singgung kurva \(y = 3 − x^2\) di titik \(P(−a,b)\) dan \(Q(a,b)\) memotong sumbu \(y\) di titik \(R\). Nilai \(a\) yang membuat segitiga \(PQR\) sama sisi adalah ...
Solusi #14
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 227: MATEMATIKA SAINTEK
Karena segitiga \(PQR\) sama sisi, maka \(\theta = 60^{\circ}\), sehingga gradien garis singgung yang melalui \(P\) adalah \(\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}\)

Gradien garis singgung di titik \(P\) merupakan nilai turunan pertama \(y\) di titik \((-a,b)\). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\fbox{$\frac{\sqrt{3}}{2}$} \end{split}

Soal #15
Misalkan vektor $p=\left(\ {}^2\!\log x^c, 2, \ {}^2\!\log x^{2c}\right)$ dan $q=\left(\ {}^2\!\log x, 2, \ {}^2\!\log x^{2c^2}\right)$ dengan 0 < x < ∞. Nilai c yang memenuhi agar p dan q membentuk sudut tumpul berada pada interval ...
Solusi #15
Misalkan 2log x = z maka \begin{split} p & =\left( {}^2\!\log x^c, 2, {}^2\!\log x^{2c} \right)\\ & =\left(c\cdot {}^2\!\log x, 2, 2c\cdot {}^2\!\log x \right)\\ & =\left(cz, 2, 2cz \right) \end{split} dan \begin{split} q & =\left( {}^2\!\log x, 2, {}^2\!\log x^{} \right)\\ & = \left( {}^2\!\log x, 2, 2c^2\cdot {}^2\!\log x \right)\\ & = \left(z, 2, 2c^2z \right) \end{split} Misalkan sudut antara p dan q adalah θ dan θ merupakan sudut tumpul maka
\begin{split} & -1 < \cos \theta < 0\\ \Rightarrow & -1 < \frac{p \cdot q}{|p||q|} < 0\\ \Rightarrow & -1 < \frac{\left(cz, 2, 2cz \right) \cdot \left(z, 2, 2c^2z \right)}{\sqrt{c^2z^2+4+4c^2z^2}\sqrt{z^2+4+4c^4z^2}} < 0\\ \Rightarrow & -1 < \frac{cz^2 + 4 + 4c^3z^2}{\sqrt{c^2z^2+4+4c^2z^2}\sqrt{z^2+4+4c^4z^2}} < 0 \end{split}
Bentuk terakhir adalah pertidaksamaan yang terdiri dari 2 variabel, tentu hal ini tidak bisa diselesaikan dengan metode yang diajarkan pada tingkat SMA. Mungkin ini soal "Bonus"

8 komentar

avatar

maaf mau nanya, untuk soal nomor 5 kenapa garis CF sejajar dengan PQ?, dan kenapa nilai PQ = CF/2? terima kasih

avatar

APQ dan ACF sebangun dengan perbandingan 1:2, karena AC = 2AP. Karena sebangun maka PQ sejajar CF

avatar

Maaf gan mau nanya, no. 15
Kenapa c+4c^3<0 ya..? Lbih tepatnya Knpa -4 nya brubah jdi 0..?

avatar
This comment has been removed by the author.
avatar

Terima kasih tanggapannya mbak diana, kami sudah meralatnya :)

avatar

Gan.. nnya lgi, No. 11 knpa f(x+8) berubah jadi f(x) ya..?? Masih gagal paham.. hahaha

avatar

karena f(x+2) = f(x) akibatnnya
f(x+8) = f(x+6) = f(x+4) = f(x+2) = f(x)

avatar

Min yg traionsformasi geometri kalau dicari gradien kok gg sama ya

Click to comment