Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 245: MATEMATIKA SAINTEK
Diketahui persegi dengan panjang sisi 12, dan setengah lingkaran dengan diameteri pada alas, seperti pada gambar. Garis CE menyinggung lingkaran di titik F. Panjang CE = ...
Solusi #1
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 245: MATEMATIKA SAINTEK
Misalkan $EA = x$ maka $EF=x$ dan $DE=12-x$. Kemudian dengan rumus pythagoras
\begin{split}
& CD^2+DE^2=CE^2\\
\Rightarrow & 12^2+(12-x)^2=(12+x)^2\\
\Rightarrow & 144+144-24x+x^2=144+24x+x^2\\
\Rightarrow & 144=48x\\
\Rightarrow & x=3
\end{split} Jadi \begin{split}
CE & =CF+FE\\
& =12+3\\
& =\fbox{15}
\end{split}

Soal #2
Segitiga ABC siku-siku di B. Titik D terletak pada sisi BC sedemikian hingga CD = 2BD. Jika sudut DAB = 30°, maka besar sudut CAD adalah ...
Solusi #2
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 225: MATEMATIKA SAINTEK
\begin{split} & \tan 30^{\circ} = \frac{BD}{AB}\\ \Rightarrow & \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{AB}\\ \Rightarrow & AB = x\sqrt{3} \end{split} \begin{split} & \tan \angle BAC = \frac{BC}{AB}\\ \Rightarrow & \tan \angle BAC = \frac{3x}{x\sqrt{3}}\\ \Rightarrow & \tan \angle BAC = \sqrt{3}\\ \Rightarrow & \angle BAC = 60^{\circ} \end{split} Jadi sudut CAD = 60° − 30° = $\fbox{$30^{\circ}$}$

Soal #3
Diketahui 2sin2 t − 2sin t = 1 − csc t dengan 0 < t < 2π, t ≠ π. Banyak anggota himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah ...
Solusi #3
\begin{split} & 2\sin^2 t - 2\sin t = 1 - \csc t\\ \Rightarrow & 2\sin^2 t - 2\sin t = 1 - \frac{1}{\sin t}\text{ kalikan dengan }\sin t\\ \Rightarrow & 2\sin^3 t - 2\sin^2 t = \sin t - 1 \text{ misalkan } x=\sin t\\ \Rightarrow & 2x^3-2x^2=x-1\\ \Rightarrow & 2x^3-2x^2-x+1=0\\ \Rightarrow & (x-1)(2x^2-1)=0\\ \Rightarrow & x=1 \vee 2x^2=1\\ \Rightarrow & x=1 \vee x=\frac{1}{\sqrt{2}} \vee x=-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{split} Jika $x = \sin t = 1$ maka $t = \dfrac{\pi}{2}$
Jika $x = \sin t = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ maka $t = \dfrac{\pi}{4}$ atau $t = \dfrac{3\pi}{4}$
Jika $x = \sin t = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ maka $t = \dfrac{5\pi}{2}$ atau $t = \dfrac{7\pi}{4}$

Jadi banyak anggota himpunan penyelesaiannya ada sebanyak $\fbox{5}$

Soal #4
Jika Pencerminan titik $P(s,t)$ terhadap garis $x=a$ yang dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=b$ menghasilkan translasi $\begin{pmatrix} 10\\10 \end{pmatrix}$, maka $a+b=\ldots$
Solusi #4
Titik $P(s,t)$ dicerminkan terhadap garis $x=a$ dilanjutkan pencerminan terhadap garis $y=b$ akan menghasilkan bayangan $(2a-s,2b-t)$, Tetapi bayangan ini juga sama dengan mentranslasi $P(s,t)$ dengan translasi $\begin{pmatrix} 10\\10 \end{pmatrix}$ yaitu $(s+10,t+10)$. Dengan kata lain

$2a-s=s+10 \Rightarrow a = s+5$ dan
$2b-t=t+10 \Rightarrow b = t+5$

Jadi $a+b=s+t+10$

Soal #5
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik M berada pada rusuk AD sedemikian sehingga AM : MD = 1 : 2. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga CN : ND = 1 : 2. Titik P berada di rusuk DH sedemikian sehingga DP : PH = 2 : 1. Jika α adalah sudut antara bidang MNP dan garis PB, maka nilai cos α = ...
Solusi #5
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 225: MATEMATIKA SAINTEK

Perhatikan bidang BFHD, pada bidang tersebut memotong MNP secara tegak lurus dan pada bidang BFHD terletak garis PB oleh karena itu α juga akan sama dengan sudut antara PS dan PB. Berikut ilustrasi bidang BFHD

SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 225: MATEMATIKA SAINTEK

Misalkan panjang rusuk kubus adalah a maka $PD = \dfrac{2}{3} HD = \dfrac{2}{3}a$

BD adalah diagonal bidang maka $DR=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}$ dan $DS=\dfrac{2}{3}DR=\dfrac{1}{3}a\sqrt{2}$ sehingga $BS=\dfrac{2}{3}a\sqrt{2}$

Dengan menggunakan rumus pythagoras pada segitiga PDS diperoleh $PS=\dfrac{a}{3}\sqrt{6}$

Begitu juga pada segitiga PDB diperoleh $PB=\dfrac{a}{3}\sqrt{22}$

Gunakan aturan cosinus pada segitga BPS untuk menentukan cos α \begin{split} & \cos \alpha = \frac{PB^2+PS^2-BS^2}{2 \cdot PB \cdot PS}\\ \Rightarrow & \cos \alpha = \frac{\dfrac{22}{9}a^2+\dfrac{6}{9}a^2-\dfrac{8}{9}a^2}{2 \cdot \dfrac{a}{3}\sqrt{22} \cdot \dfrac{a}{3}\sqrt{6}}\\ \Rightarrow & \cos \alpha = \frac{\dfrac{20}{9}a^2}{\dfrac{4}{9}a^2\sqrt{33}}\\ \Rightarrow & \cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{33}}\\ \Rightarrow & \cos \alpha = \fbox{$\frac{5}{33}\sqrt{33}$} \end{split}

Soal #6
Diketahui sisa pembagian suku banyak f(x) − g(x) oleh x2 + x − 2 adalah x, sisa pembagian f(x) + g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah x + 1, maka sisa pembagian (f(x))2 + (g(x))2 oleh x − 1 adalah ...
Solusi #6
sisa pembagian (f(x))2 + (g(x))2 oleh x − 1 adalah (f(1))2 + (g(1))2 oleh karena itu akan dicari nilai dari f(1) dan g(1)

sisa pembagian f(x) − g(x) oleh x2 + x − 2 adalah x berarti
f(x) − g(x) = (x2 + x − 2)k(x) + x untuk suatu suku banyak k(x), substitusikan x = 1 diperoleh f(1) − g(1) = 1

sisa pembagian f(x) + g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah x + 1 berarti
f(x) + g(x) = (x2 − 3x + 2)h(x) + x + 1 untuk suatu suku banyak h(x), substitusikan x = 1 diperoleh f(1) + g(1) = 2

Dengan menyelesaikan SPLDV
f(1) − g(1) = 1
f(1) + g(1) = 2

diperoleh $f(1)=\dfrac{3}{2}$ dan $g(1)=\dfrac{1}{2}$

Jadi sisa pembagiannya adalah $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{4} = \fbox{$\dfrac{5}{2}$}$

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik \(y = 3^x+1\) jika ...
Solusi #7
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan \(3^x = y\) \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ \Rightarrow & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ \Rightarrow & 2y^3-1 < y^2\\ \Rightarrow & 2y^3-y^2-1 < 0\\ \Rightarrow & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena \(2y^2+y+1\) definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & \fbox{$x < 0$} \end{split}

Soal #8
$\lim_{x \to 0}\limits \dfrac{x^2 \sin (x)-\dfrac{1}{2} \sin(x)\sqrt{x}}{x^{3/2}}=\ldots$
Solusi #8
\begin{split} & \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \sin (x)-\dfrac{1}{2} \sin(x)\sqrt{x}}{x^{3/2}}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \sin (x)}{x^{3/2}}-\dfrac{\dfrac{1}{2} \sin(x)\sqrt{x}}{x\sqrt{x}}\\ = & \lim_{x \to 0} \sqrt{x} \sin (x) - \dfrac{1}{2} \cdot \frac{\sin (x)}{x}\\ = & 0-\frac{1}{2} \cdot 1\\ = & \fbox{$-\dfrac{1}{2}$} \end{split}

Soal #9
Misalkan (an) adalah barisan geometri yang memenuhi a2 + a5a4 = 10, a3 + a6a5 = 20. Nilai dari a2 adalah ...
Solusi #9
Misalkan an = arn-1 maka \begin{split} & \frac{ar^2+ar^5-ar^4}{ar+ar^4-ar^3}=\frac{20}{10}\\ \Rightarrow & \frac{r(ar+ar^4-ar^3)}{ar+ar^4-ar^3}=2\\ \Rightarrow & r=2 \end{split} Substitusikan $r=2$ ke persamaan $ar+ar^4-ar^3=10$ diperoleh $a=1$

Jadi $a_2 = ar = \fbox{2}$

Soal #10
Jika $f(x)=x^3-3x^2+a$ memotong sumbu Y di titik (0,10), maka nilai minimum $f(x)$ untuk $x \in [0,1]$ adalah ...
Solusi #10
$f(x)=x^3-3x^2+a$ memotong sumbu Y di titik (0,10) berarti $f(0)=10$ sehingga diperoleh $a=10$

$f(x)=x^3-3x^2+a$ minimum jika $f'(x)=0$ \begin{split} & 3x^2-6x=0\\ \Rightarrow & x=0 \vee x=2 \end{split} $x=0$ tidak mungkin karena $x \in [0,1]$ oleh karena itu
$f(0)=10$ dan
$f(1)=8$

Jadi nilai minimum $f(x)$ adalah $\fbox{8}$

Soal #11
Diketahui \(f(x)=f(x+2)\) untuk setiap \(x\). Jika \(\int_0^2\limits f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7\limits f(x+8) \ dx =\ldots\)
Solusi #11
\(\int_0^2\limits f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1\limits f(x) \ dx + \int_1^2\limits f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1\limits f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2\limits f(x) \ dx = B-A\)
\begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split}
Misalkan \(I_1=\int_3^4\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+2\) \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+4\) \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+6\) \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split} Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & \fbox{$2B$}
\end{split}

Soal #12
Diketahui suatu fungsi f(x) = xk dan g(x) = x. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi kurva g, sumbu x dan x = 1. Kurva f membagi daerah D menjadi D1 dan D2 dengan perbandingan 1 : 2. Jika D1 adalah daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g, maka k = ...
Solusi #12
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 225: MATEMATIKA SAINTEK
\begin{split} & \frac{D_1}{D_2}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow & 2D_1=D_2\\ \Rightarrow & 2 \int_0^1 x-x^k \ dx = \int_0^1 x^k \ dx\\ \Rightarrow & 2 \int_0^1 x \ dx - 2 \int_0^1 x^k \ dx = \int_0^1 x^k \ dx\\ \Rightarrow & 2 \int_0^1 x \ dx = 3 \int_0^1 x^k \ dx\\ \Rightarrow & 2 \left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^1 = 3 \left[\frac{1}{k+1}x^{k+1}\right]_0^1\\ \Rightarrow & 1 = \frac{3}{k+1}\\ \Rightarrow & \fbox{$k=2$} \end{split}

Soal #13
Banyaknya bilangan genap \(n = abc\) dengan tiga digit sehingga \(3 < b < c\) adalah ...
Solusi #13
ilai \(c\) yang mungkin adalah 6 atau 8.

Jika \(c = 6\) maka \(b = 4\) atau \(b = 5\); terdapat 2 kemungkinan.

Jika \(c = 8\) maka \(b = 4\) atau \(b = 5\) atau \(b = 6\) atau \(b = 7\); terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar \(3 < b < c\) ada sebanyak 6.

Nilai \(a\) yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk \(a\), sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = $\fbox{54}$

Soal #14
Garis singgung kurva \(y = 3 − x^2\) di titik \(P(−a,b)\) dan \(Q(a,b)\) memotong sumbu \(y\) di titik \(R\). Nilai \(a\) yang membuat segitiga \(PQR\) sama sisi adalah ...
Solusi #14
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 225: MATEMATIKA SAINTEK
Karena segitiga \(PQR\) sama sisi, maka \(\theta = 60^{\circ}\), sehingga gradien garis singgung yang melalui \(P\) adalah \(\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}\)

Gradien garis singgung di titik \(P\) merupakan nilai turunan pertama \(y\) di titik \((-a,b)\). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\fbox{$\frac{\sqrt{3}}{2}$} \end{split}

Soal #15
Garis l adalah garis singgung sekutu parabola $y=x^2-4x+7$ dan $y=p-3(x+2)^2$. Jika garis l menyinggung parabola $y=x^2-4x+7$ di $x=5$, maka $p=\ldots$
Solusi #15
Terlebih dahulu akan dicari garis singgung $y=x^2-4x+7$ di $x=5$
gradien garis singgungnya adalah $m=y'=2x-4$, tetapi karena $x=5$ maka $m=6$
Jika $x=5$ maka $y=(5)^2-4(5)+7=12$ sehingga titik singgungnya adalah $(5,12)$
Persamaan garis l dapat dinyatakan dengan \begin{split} & y-12=m(x-5)\\ \Rightarrow & y-12=6(x-5)\\ \Rightarrow & y=6x-18 \end{split} Garis l juga menyinggung $y=p-3(x+2)^2$ maka Diskriminan dari hasil substitusi garis ke parabola akan sama dengan 0 \begin{split} & 6x-18=p-3(x+2)^2\\ \Rightarrow & 6x-18=p-3(x^2+4x+4)\\ \Rightarrow & 6x-18=p-3x^2-12x-12\\ \Rightarrow & 3x^2+18x-6-p=0 \end{split} \begin{split} & D=0\\ \Rightarrow & b^2-4ac=0\\ \Rightarrow & 18^2-4(3)(-6-p)=0\\ \Rightarrow & 324+72+12p=0\\ \Rightarrow & 12p=-396\\ \Rightarrow & p=\fbox{$-33$} \end{split}

2 komentar

avatar

Kak saya mau nanya tentang jawaban nomor 11, kan di nmr 11 itu integral yang batasnya 3 sampai 7 dibagi jadi tiga bagian, menjadi integral 3 s/d 4 , 4 s/d 6 dan 6 s/d 7.



Pertanyaan saya, dari mana kita dapat mengerahui bahwa integral tersebut harus dibagi menjadi 3 bagian dengan batas2 nya seperti di atas ?


peranyaan kedua saya, bagaimana kita dapat mengetahui bahwa nilai x yang akan disubstitusikan adalah u+2, u+4 dan u+6 ?

Terima kasih sebelumnya, n sorry kalo pertanyaan saya kebanyakan :D

avatar

f(x)=f(x+2) berarti grafik f(x) dapat digeser kekiri atau kekanan sejauh kelipatan 2 satuan. nah di soal kan diketahui dari 0 s/d 2 yang panjang intervalnya 2, tetapi yang ditanya 3 s/d 7 yang panjang intervalnya 4. jadi kita pecah dulu yang 3 s/d 7 kemudian geser pecahan integralnya menuju 0 s/d 2 agar bisa dihitung sesuai dengan yang diketahui

Click to comment