Type something and hit enter

author photo
By On
Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
Banyak yang hafal nilai sinus, cosinus dan tangen dari sudut-sudut istimewa, tapi banyak juga yang tidak tahu dari mana asal nilai tersebut. Seperti kenapa nilai sin(30°) = 1/2 ? Pertanyaan yang jarang muncul oleh siswa karena yang penting tahu sin(30°) = 1/2 sudah cukup membantu untuk mengerjakan soal trigonometri. Oleh karena itu kali ini akan dibahas tentang asal-usul perbandingan trigonometri pada sudut istimewa menggunakan definisi perbandingan trigonometri yang telah dibahas sebelumnya.

sin 30°

Perhatikan segitiga ABC sama sisi berikut. Karena sama sisi pasti ketiga sudutnya sama besar yaitu sama-sama 60°.
sin 30 = 1/2
Buat garis bagi yang melalui titik C dan memotong AB di D agar didapatkan besar sudut BCD 30°. Karena segitiga ABC sama sisi maka CD juga merupakan garis tinggi sehingga terbentuk segitiga siku-siku BDC yang siku-siku di D. CD juga merupakan garis berat sehingga D merupakan titik tengah garis AB sehingga jika sisi AB pajangnya 2x maka BD panjangnya x.
sin 30 = 1/2
Dengan menggunakan definisi perbandingan sinus pada gambar diatas dapat disimpulkan bahwa \[\sin 30^{\circ} =\frac{BD}{BC}= \frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\]

cos 30°

Nilai Trigonometri Sudut Istimewa
Segitiga ABC di atas merupakan segitiga siku-siku di B dengan sudut A = 30°. Telah diketahui bahwa $\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}$, ini artinya perbandingan antara panjang sisi BC terhadap sisi AC sama dengan 1 : 2. Oleh karena itu kita bisa misalkan panjang $BC = x$ dan $AC = 2x$. Dengan rumus pythagoras diperoleh panjang AB
\begin{split}
AB & = \sqrt{AC^2-BC^2}\\
& = \sqrt{(2x)^2-x^2}\\
& = \sqrt{4x^2-x^2}\\
& = \sqrt{3x^2}\\
& = x\sqrt{3}
\end{split}
Kemudian dengan menggunakan definisi perbandingan cosinus $$\cos 30^{\circ} = \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{x\sqrt{3}}{2x} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

tan 30°

Dengan menggunakan segitiga di atas kita juga bisa menentukan nilai dari tan 30° yaitu $$\tan 30^{\circ} = \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{x}{x\sqrt{3}} =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$$ Tetapi penulisan $\tan 30^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ jarang digunakan, jadi rasionalkan penyebutnya menjadi $$\tan 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$$

sin 60°, cos 60° dan tan 60°

Pada segitiga di atas sudut A = 30° dan sudut B = 90°, akibatnya sudut C = 180° − 90° − 30° = 60°.
Nilai Trigonometri Sudut Istimewa
Dari gambar di atas dapat ditentukan perbandingan trigonometri untuk sudut 60°
$$\sin 60^{\circ} = \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{x\sqrt{3}}{2x} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos 60^{\circ}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{x}{2x}=\dfrac{1}{2}$$
$$\tan 60^{\circ}=\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{x\sqrt{3}}{x}=\sqrt{3}$$

sin 45°, cos 45° dan tan 45°

Dengan menggunakan segitiga siku-siku sama kaki bisa ditentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 45°. Segitiga siku-siku sama kaki memiliki dua sudut yang besarnya 45° yang berakibat sisi-sisi didepan sudut 45° memiliki panjang yang sama, misalkan panjangnya $x$. Dengan menggunakan rumus pythagoras diperoleh panjang sisi yang satunya lagi sama dengan $x\sqrt{2}$. Ilustrasinya seperti pada gambar di bawah
Nilai Trigonometri Sudut Istimewa
Jadi $$\sin 45^{\circ} = \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{x}{x\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\cos 45^{\circ} = \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{x}{x\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\tan 45^{\circ} = \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{x}{x}=1$$
Rangkuman
$\theta$ $\sin \theta$ $\cos \theta$ $\tan \theta$
30° $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
45° $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{1}{2}$
60° $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 1 $\sqrt{3}$

Click to comment