Type something and hit enter

author photo
By On

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma merupakan persamaan yang melibatkan variabel di dalam tanda logaritma. Untuk menyelesaikan persamaan logaritma dapat dilakukan dengan dua cara yaitu mengubahnya menjadi persamaan eksponen atau menjadikan ruas kiri dan kanan menjadi bentuk logaritma dengan basis yang sama. Selain itu terdapat beberapa persyaratan yang harus dipenuhi oleh himpunan penyelesaiannya.

Mengubahnya menjadi persamaan eksponen

$${}^a\!\log f(x) = b \Rightarrow f(x)=a^b$$ dengan syarat $f(x) > 0$

Contoh 1: Selesaikan ${}^2\!\log (2x+4) = 3$
Dengan mengubahnya menjadi bentuk eksponen diperoleh $2x+4=2^3$ atau $2x+4=8$ kemudian dengan manipulasi aljabar diperoleh $x=2$

Membuat basisnya menjadi sama

$${}^a\!\log f(x) = ^a\!\log g(x) \Rightarrow f(x)=g(x)$$ dengan syarat $f(x) > 0$ dan $g(x) > 0$

Contoh 2: Selesaikan ${}^2\!\log (x^2-30) = {}^2\!\log x$
Logaritma pada ruas kiri dan kanan memiliki basis yang sama, akibatnya \begin{split} & x^2-30 = x\\ \Rightarrow & x^2-x-30 = 0\\ \Rightarrow & (x-6)(x+5) = 0\\ \Rightarrow & x=6 \text{ atau }x=-5 \end{split} $x=-5$ bukan termasuk solusi karena akan berakibat $^2\!\log (-5) = \ ^2\!\log (-5)$. Walaupun kesamaan tercapai tetapi nilai $^2\!\log (-5)$ tidak ada dalam himpunan bilangan real, jadi solusinya hanya $x=6$

Contoh 3: selesaikan $2 \ ^3\!\log x = \ ^3\!\log 4 + \ ^3\!\log (x-1)$
Ruas kiri masih terdapat satu log dan ruas kanan terdapat dua log. Oleh karena itu tuliskan ruas kanan menjadi satu log saja dengan menggunakan aturan logaritma $$^3\!\log (x^2)=\ ^3\!\log (4(x-1))$$ Sekarang kedua ruas telah menjadi logaritma dengan basis yang sama, akibatnya \begin{split} & x^2=4(x-1)\\ \Rightarrow & x^2-4x+4=0\\ \Rightarrow & (x-2)(x-2)=0\\ \Rightarrow & x=2 \end{split}

Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan logaritma dapat diselesaikan dengan cara menyamakan basis-basis dari logaritma, kemudian membandingkan kedua argumennya. $^a\!\log f(x) > \ ^a\!\log g(x)$ diselesaikan dengan cara $$f(x) >g(x) \text{ jika } a > 1$$ $$f(x) <g(x) \text{ jika } 0< a < 1$$ dengan syarat $f(x) > 0$ dan $g(x) > 0$
Contoh 4: Selesaikan $^2\!\log 4x > \ ^2\!\log 12$
Basis logaritma ruas kiri dan kanan telah sama dan basisnya lebih dari 1 berarti tinggal menyelesaikan $4x > 12$ sehingga diperoleh $x > 3$

Materi Eksponen:
  1. Logaritma 1: Definis dan Aturannya
  2. Logaritma 2: Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma
  3. Logaritma 3: Fungsi Logaritma dan Grafiknya

Click to comment