Type something and hit enter

author photo
By On
Jika diberikan persamaan $2^x=8$ dengan mudah diperoleh penyelesaian $x=3$. Namun bagaimana jika diberikan persamaan $2^x=7$, berapakah nilai $x$ yang memenuhi ? Tentu bisa ditebak nilainya pasti di antara 2 dan 3. Hanya saja ini nilai yang diperoleh hanya pendekatan saja. Untuk memperoleh nilai tepatnya digunakan logaritma. Logaritma merupakan materi setelah eksponen yang diajarkan pada tingkat SMA maupun SMK.

Definisi

Jika $x > 0$, dan $b > $, $b \neq 1$ maka $$y = {}^b\!\log x \Leftrightarrow x=b^y$$ khusus untuk ${}^{10}\!\log x=\log x$ dan $ ^{e}\!\log x=\ln x$ dengan $e \approx 2.7182$

Contoh 1:
  • $^2\!\log 8 = 3$ karena $2^3=8$
  • $^3\!\log 9 = 2$ karena $3^2=9$
  • $^2\!\log \dfrac{1}{4} = -2$ karena $2^{-2}=\dfrac{1}{4}$

$^{b}\!\log b$ dan $^{b}\!\log 1$

Misalkan $^{b}\!\log b = x$, ubah bentuk logaritma tersebut menjadi bentuk eksponen $b^x=b$. Pada persamaan tersebut satu-satunya nilai $x$ yang memenuhi hanyalah $x=1$. Dengan demikian $$^{b}\!\log b = 1$$ Misalkan $^{b}\!\log 1 = y$, ubah ke dalam bentuk eksponen $b^y=1$. Satu-satunya penyelesaian bagi persamaan tersebut hanyalah $y=0$. Jadi $$^{b}\!\log 1 = 0$$

#1. Aturan Perkalian

Jika $b > 0$, $ b \neq 1$, $x > 0$ dan $y > 0$ maka $$^{b}\!\log xy = {}^{b}\!\log x + {}^{b}\!\log y$$

Bukti
Misalkan $b^m=x$ dan $b^n=y$ maka dengan definisi logaritma ${}^{b}\!\log x = m$ dan ${}^{b}\!\log y = n$. Kemudian dengan aturan perkalian eksponen dan definisi logaritma \begin{split} & b^mb^n=xy\\ \Rightarrow & b^{m+n}=xy\\ \Rightarrow & {}^{b}\!\log xy=m+n\\ \Rightarrow & {}^{b}\!\log xy={}^{b}\!\log x+{}^{b}\!\log y \end{split}

#2. Aturan Pembagian

Jika $b > 0$, $ b \neq 1$, $x > 0$ dan $y > 0$ maka $$^{b}\!\log \frac{x}{y} = {}^{b}\!\log x - {}^{b}\!\log y$$

Bukti
Misalkan $b^m=x$ dan $b^n=y$ maka dengan definisi logaritma ${}^{b}\!\log x = m$ dan ${}^{b}\!\log y = n$. Kemudian dengan aturan pembagian eksponen dan definisi logaritma \begin{split} & \frac{b^m}{b^n}=\frac{x}{y}\\ \Rightarrow & b^{m-n}=\frac{x}{y}\\ \Rightarrow & {}^{b}\!\log \frac{x}{y}=m-n\\ \Rightarrow & {}^{b}\!\log \frac{x}{y}={}^{b}\!\log x-{}^{b}\!\log y \end{split}

#3. Logaritma dari bilangan berpangkat

Jika $b > 0$, $ b \neq 1$ dan $x > 0$ maka $$^{b}\!\log x^p = p \times {}^{b}\!\log x$$

Bukti
Misalkan $b^m=x$ maka dengan definisi logaritma ${}^{b}\!\log x = m$. Kemudian dengan aturan pangkat eksponen dan definisi logaritma \begin{split} & (b^m)^p=x^p\\ \Rightarrow & b^{p \times m}=x^p\\ \Rightarrow & {}^{b}\!\log x^p=p \times m\\ \Rightarrow & {}^{b}\!\log x^p=p \times {}^{b}\!\log x \end{split}

#4. Logaritma dengan basis bilangan berpangkat

Jika $b > 0$, $ b \neq 1$, $x > 0$ dan $q \neq 0$ maka $${}^{b^q}\!\log x = \dfrac{1}{q} \times {}^b\!\log x$$

Bukti
Misalkan $b^m=x$ maka dengan definisi logaritma ${}^{b}\!\log x = m$. Kemudian dengan aturan pangkat eksponen dan definisi logaritma \begin{split} & b^m=x\\ \Rightarrow & b^{q \times \frac{m}{q}}=x\\ \Rightarrow & (b^q)^{\frac{m}{q}}=x\\ \Rightarrow & {}^{b^q}\!\log x=\frac{m}{q}\\ \Rightarrow & {}^{b^q}\!\log x=\frac{1}{q} \times m\\ \Rightarrow & {}^{b^q}\!\log x=\frac{1}{q} \times {}^{b}\!\log x \end{split}

#5. Kebalikan dari logaritma

Jika $b > 0$, $ b \neq 1$, $x > 0$ dan $x \neq 1$ maka $${}^{b}\!\log x = \dfrac{1}{{}^x\!\log b }$$

Bukti
Misalkan ${}^{b}\!\log x = m$ maka dengan definisi logaritma $b^m=x$. Kemudian dengan aturan pangkat eksponen dan definisi logaritma \begin{split} & b^m=x\\ \Rightarrow & b=x^{\frac{1}{m}}\\ \Rightarrow & {}^{x}\!\log b=\frac{1}{m}\\ \Rightarrow & {}^{x}\!\log b=\frac{1}{{}^{b}\!\log x}\\ \Rightarrow & {}^{b}\!\log x=\frac{1}{{}^{x}\!\log b} \end{split}

#6. Pergantian Basis

Jika $b > 0$, $ b \neq 1$, $x > 0$, $p > 0$ dan $p \neq 1$ maka $${}^{b}\!\log x = \dfrac{{}^p\!\log x}{{}^p\!\log b}$$

Bukti
Misalkan ${}^{b}\!\log x = m$, ${}^{p}\!\log b = n$ dan ${}^{p}\!\log x = t$ maka dengan definisi logaritma $b^m=x$, $p^n=b$ dan $p^t=x$. Kemudian dengan aturan pangkat eksponen \begin{split} & b^m=x=p^t\\ \Rightarrow & (p^n)^m=p^t\\ \Rightarrow & p^{n \times m}=p^t\\ \Rightarrow & n \times m = t\\ \Rightarrow & m = \frac{t}{n}\\ \Rightarrow & {}^{b}\!\log x = \frac{{}^{p}\!\log x}{{}^{p}\!\log b} \end{split}

#7. Perkalian Logaritma

Jika $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$ dan $b \neq 1$ maka $${}^{a}\!\log b \times {}^{b}\!\log c = {}^{a}\!\log c$$

Bukti
Dengan aturan pergantian basis diketahui $${}^{b}\!\log c = \dfrac{{}^{a}\!\log c}{{}^{a}\!\log b}$$ Karena $b \neq 1$ maka ${}^{a}\!\log b \neq 0$, oleh karena itu kedua ruas persamaan di atas sah untuk dikalikan dengan ${}^{a}\!\log b$ sehingga menjadi $${}^{a}\!\log b \times {}^{b}\!\log c = {}^{a}\!\log c$$

#8. Pangkat Logaritma

Jika $a > 0$, $a \neq 1$ dan $b > 0$ maka $$a^{{}^{a}\!\log b}=b$$

Bukti
Misalkan ${}^{a}\!\log b = c$, dengan mengubahnya menjadi bentuk pangkat diperoleh $$a^c=b$$ dari pemisalan yang ada bentuk eksponen di atas dapat ditulis menjadi $$a^{{}^{a}\!\log b}=b$$

Materi Eksponen:
  1. Logaritma 1: Definis dan Aturannya
  2. Logaritma 2: Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma
  3. Logaritma 3: Fungsi Logaritma dan Grafiknya

Click to comment