Type something and hit enter

author photo
By On
Mencoba menyelesaikan teka-teki di atas ternyata gampang-gampang susah. Bagian gampangnya adalah menentukan nilai dari minuman botol, burger dan bir dalam gelas. Dengan menyelesaikan sistem persamaan linier, diperoleh
  • 1 minuman botol = 10
  • 1 burger = 5
  • bir dalam 2 gelas = 2
Bagian sulitnya adalah ketika nilai dari hotdog tidak diketahui. Misalkan nilai hotdog ini sama dengan x, maka pertanyaan pada teka-teki di atas menjadi $$\int_{0}^{\infty} \frac{10 \sin x}{2x} \ dx = \ldots$$ Untuk menghitung integral ini tidaklah mudah, walaupun integrannya terlihat sederhana.

Solusi
Pertama-tama, kita buktikan $\int_{0}^{\infty}\limits e^{-xy}\sin x \ dy = \dfrac{\sin x}{x}$
Perhatikan bahwa variabel pengintegralannya adalah y, oleh karena itu kita bisa "mengeluarkan" sin x dari integral \begin{split}
& \int_{0}^{\infty} e^{-xy}\sin x \ dy\\
= & \sin x  \int_{0}^{\infty} e^{-xy} \ dy\\
= & \sin x \left[\frac{e^{-xy}}{-x}\right]_{y=0}^{y=\infty}\\
= & \sin x \left[\frac{1}{-xe^{xy}}\right]_{y=0}^{y=\infty}\\
= & \sin x \left[\frac{1}{-xe^{\infty}}-\frac{1}{-xe^{0}}\right]\\
= & \sin x \left[\frac{1}{-\infty}-\frac{1}{-x}\right]\\
= & \sin x \left[0+\frac{1}{x}\right]\\
= & \frac{\sin x}{x}
\end{split} Kemudian soal teka-teki tersebut diubah menjadi \begin{split}
& 5 \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \ dx \\
= & 5 \int_{0}^{\infty} \left[ \int_{0}^{\infty} e^{-xy}\sin x \ dy \right] \ dx\\
= & 5 \int_{0}^{\infty} \left[ \int_{0}^{\infty} e^{-xy}\sin x \ dx \right] \ dy
\end{split} Pada integral diatas kita menukar dx dan dy. Selanjutnya kita hitung $\int_{0}^{\infty}\limits e^{-xy}\sin x \ dx = I$ dengan menggunakan integral parsial

misalkan
$u=e^{-xy} \Rightarrow du = -ye^{-xy}\ dx$ dan
$dv = \sin x \ dx \Rightarrow v = -\cos x $ maka \begin{split}
& I = uv - \int v\ du\\
\Rightarrow & I = \left[-e^{-xy}\cos x \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} ye^{-xy}\cos x \ dx\\
\Rightarrow & I = \left[-e^{-xy}\cos x \right]_{0}^{\infty} - y \int_{0}^{\infty} e^{-xy}\cos x \ dx
\end{split} lagi dengan integral parsial dan memisalkan
$p = e^{-xy} \Rightarrow dp = -ye^{-xy}\ dx$ dan
$dq = \cos x \ dx \Rightarrow q = \sin x$ maka \begin{split}
& I = \left[-e^{-xy}\cos x \right]_{0}^{\infty} - y \left[pq - \int q \ dp \right]\\
\Rightarrow & I = \left[-e^{-xy}\cos x \right]_{0}^{\infty} - y \left[ \left[e^{-xy} \sin x \right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty}ye^{-xy}\sin x \ dx\right]\\
\Rightarrow & I = \left[-e^{-xy}\cos x \right]_{0}^{\infty} - y \left[ \left[e^{-xy} \sin x \right]_{0}^{\infty} + y\int_{0}^{\infty}e^{-xy}\sin x \ dx\right]\\
\Rightarrow & I = \left[-e^{-xy}\cos x \right]_{0}^{\infty} - y \left[ \left[e^{-xy} \sin x \right]_{0}^{\infty} + yI\right]\\
\Rightarrow & I = \left[-e^{-xy}\cos x \right]_{0}^{\infty} - y \left[e^{-xy} \sin x \right]_{0}^{\infty} - y^2I\\
\Rightarrow & I+y^2I = \left[-e^{-xy}\cos x \right]_{0}^{\infty} - y \left[e^{-xy} \sin x \right]_{0}^{\infty}\\
\Rightarrow & I+y^2I = \left[\frac{-\cos x}{e^{xy}} \right]_{0}^{\infty} - y \left[\frac{ \sin x}{e^{xy}} \right]_{0}^{\infty}\\
\Rightarrow & (1+y^2)I = \left[\frac{-\cos \infty}{e^{\infty}}- \frac{-\cos 0}{e^{0}}\right] - y \left[\frac{ \sin \infty}{e^{\infty}}-\frac{ \sin 0}{e^{0}} \right]\\
\Rightarrow & (1+y^2)I = \left[0+1\right] - y \left[0-0 \right]\\
\Rightarrow & (1+y^2)I = 1\\
\Rightarrow & I = \frac{1}{1+y^2}\\
\Rightarrow & \int_{0}^{\infty}\limits e^{-xy}\sin x \ dx = \frac{1}{1+y^2}
\end{split} Soal pada teka-teki menjadi \begin{split}
& 5 \int_{0}^{\infty} \left[ \int_{0}^{\infty} e^{-xy}\sin x \ dx \right] \ dy\\
= & 5 \int_{0}^{\infty} I \ dy\\
= & 5 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+y^2} \ dy
\end{split} Dengan menggunakan substitusi $y=\tan \theta$ soal di atas akan menjadi \begin{split}
& 5 \int_{\arctan 0}^{\arctan \infty} \frac{1}{1+\tan^2 \theta} \ d \tan \theta\\
= & 5 \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{\sec^2 \theta} \sec^2 \theta \ d \theta\\
= & 5 \int_{0}^{\pi / 2} 1 \ d \theta\\
= & 5 [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\
= & 5 [\frac{\pi}{2} - 0]\\
= & \frac{5\pi}{2}
\end{split}

Click to comment