Type something and hit enter

author photo
By On

Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen merupakan persamaan yang melibatkan pangkat sebagai nilai yang tidak diketahui, dan persamaan ini diselesaikan dengan cara mencari nilai dari yang tidak diketahui. Ada beberapa jenis persamaan eksponen yang sering dijadikan soal-soal pada tingkat SMA maupun SMK, berikut diantaranya

1. Basis pada kedua ruas sama

$$a^{f(x)}=a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x)$$ Dalam kata-kata bisa ditulis sebagai jika basis pada kedua ruas telah sama sama, maka satu-satunya kemungkinan adalah pangkatnya sama yaitu $f(x)=g(x)$.

Contoh 1: Selesaikan $5^x=5^3$
Karena basisnya telah sama maka $x=3$

Contoh 2: Selesaikan $4^{x}=8^{2x+1}$
Basisnya belum sama maka terlebih dahulu disamakan dengan cara menuliskan 4 sebagai $2^2$ dan menuliskan $8$ sebagai $2^3$ sehingga soal di atas menjadi $$(2^2)^x=(2^3)^{2x+1}$$ kemudian dengan aturan pangkat eksponen diperoleh $$2^{2x}=2^{6x+3}$$ Basisnya telah sama, sekarang tinggal menyelesaikan $2x=6x+3$. Dengan manipulasi aljabar sederhana diperoleh $x=-\dfrac{3}{4}$

2. Basis pada kedua ruas tidak sama, tetapi pangkatnya sama

$$a^{f(x)}=b^{f(x)} \Rightarrow f(x) = 0$$ Jika basisnya berbeda tapi memiliki pangkat yang sama maka satu-satunya penyelesaian yang mungkin didapat ketika pangkatnya sama dengan $0$ karena $a^0=b^0=1$

Contoh 3: Selesaikan $3^{2x-4} = 4^{2x-4}$
Basisnya tidak mungkin dibuat sama dengan cara biasa seperti pada contoh 2, tetapi pangkatnya sama-sama $2x-4$, jadi satu-satunya penyelesaian adalah ketika $2x-4=0$ atau $x=2$

3. Basis pada kedua ruas tidak sama, pangkatnya juga berbeda

$$a^{f(x)}=b^{f(x)} \Rightarrow \log a^{f(x)} = \log b^{f(x)}$$ Untuk menyelesaikan persamaan eksponen jenis ini dilakukan dengan cara memberikan logaritma pada kedua ruas, kemudian menerapkan aturan logaritma untuk menyelesaikannya

Contoh 4: Selesaikan $3^{2x} = 4^{x+3}$ \begin{split} & 3^{2x} = 4^{x+3}\\ \Rightarrow & 2x \log 3 = (x+3) \log 4\\ \Rightarrow & 2x \log 3 = x \log 4 + 3 \log 4 \\ \Rightarrow & 2x \log 3 - x \log 4 = 3 \log 4 \\ \Rightarrow & x(2 \log 3 - \log 4) = \log 4^3 \\ \Rightarrow & x(\log 3^2 - \log 4) = \log 64 \\ \Rightarrow & x(\log 9 - \log 4) = \log 64 \\ \Rightarrow & x\left(\log \frac{9}{4}\right) = \log 64 \\ \Rightarrow & x = \dfrac{\log 64}{\log \frac{9}{4}} \\ \Rightarrow & x = \ ^{\frac{9}{4}} \log 64 \end{split}

4. Basis sama tapi dengan variabel, serta pangkatnya juga berbeda

$$(h(x))^{f(x)}=(h(x))^{f(x)}$$ Untuk menyelesaikan persamaan eksponen jenis ini dilakukan dengan 4 langkah penyelesaian
  1. Selesaikan $f(x) = g(x)$
  2. Selesaikan $h(x)=1$
  3. Selesaikan $h(x)=0$, dengan syarat $f(x) > 0$ dan $g(x) > 0$
  4. Selesaikan $h(x)=-1$, dengan syarat $f(x)$ dan $g(x)$ sama-sama ganjil atau $f(x)$ dan $g(x)$ sama-sama genap

Contoh 5: Selesaikan $(x-3)^{2x+3}=(x-3)^{4x-7}$
  1. $2x+3=4x-7$, dengan menipulasi aljabar sederhana diperoleh $x=5$
  2. $x-3=1 \Rightarrow x=4$
  3. $x-3=0 \Rightarrow x=3$, tetapi $f(3)=9$ dan $g(3)=5$ yang sama-sama positif maka $x=3$ termasuk penyelesaiannya
  4. $x-3=-1 \Rightarrow x=2$, tetapi $f(2)=7$ dan $g(2)=1$ yang sama-sama ganjil maka $x=2$ termasuk penyelesaiannya
Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah {2,3,4,5}

Pertidaksamaan Eksoponen

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ dibagi menjadi dua kasus
  1. Jika $a > 1$ maka selesaikan $f(x) > g(x)$
  2. Jika $0 < a < 1$ maka selesaikan $f(x) < g(x)$
Contoh 6: Selesaikan $\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} > \left(\frac{4}{9}\right)^{2x-10}$

Perhatikan bahwa basis pada kedua ruas berbeda namun masih bisa dibuat sama dengan cara menuliskan $\frac{4}{9}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$ sehingga soal di atas menjadi $$\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} > \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^{2x-10}$$ Dengan aturan pangkat eksponen menjadi $$\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} > \left(\frac{2}{3}\right)^{4x-20}$$ Tetapi karena basisnya kurang dari 1 maka pertidaksamaan di atas menjadi $$2x > 2x-20 \Rightarrow x > -10$$

Materi Eksponen:
  1. Eksponen 1: Definisi dan Aturannya
  2. Eksponen 2: Pangkat Rasional
  3. Eksponen 3: Bentuk Akar
  4. Eksponen 4: Bentuk Akar dan Operasinya
  5. Eksponen 5: Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen

Click to comment