Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 253: MATEMATIKA SAINTEK
Diketahui persegi dengan panjang sisi 12, dan setengah lingkaran dengan diameteri pada alas, seperti pada gambar. Garis CE menyinggung lingkaran di titik F. Panjang CE = ...
Solusi #1
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 253: MATEMATIKA SAINTEK
Misalkan $EA = x$ maka $EF=x$ dan $DE=12-x$. Kemudian dengan rumus pythagoras
\begin{split}
& CD^2+DE^2=CE^2\\
\Rightarrow & 12^2+(12-x)^2=(12+x)^2\\
\Rightarrow & 144+144-24x+x^2=144+24x+x^2\\
\Rightarrow & 144=48x\\
\Rightarrow & x=3
\end{split}
Jadi \begin{split}
CE & =CF+FE\\
& =12+3\\
& =15
\end{split}

Soal #2
Segitiga $ABC$ siku-siku di $B$. Titik $D$ terletak pada sisi $BC$ sedemikian hingga $BD = 1$. Jika $\angle CAD =45^{\circ}$ dan $\angle DAB = 30^{\circ}$, maka $CD = \ldots$
Solusi #2
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 253: MATEMATIKA SAINTEK
Dengan menggunakan rumus pythagoras pada segitiga $ABD$ diperoleh $AD = 2$
Kemudian dengan aturan sinus akan dicari panjang $CD$ \begin{split} & \dfrac{CD}{\sin \angle CAD}=\dfrac{AD}{\sin \angle ACD}\\ \Rightarrow & \dfrac{CD}{\sin 45^{\circ}}=\dfrac{2}{\sin 15^{\circ}}\\ \Rightarrow & \dfrac{CD}{\dfrac{1}{2}\sqrt{2}}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}\sqrt{6}-\dfrac{1}{4}\sqrt{2}} \end{split}
Jadi $CD = 2 + 2\sqrt{3}$

Soal #3
Diketahui fungsi $f(x)=\csc^2x − \cot x \csc x$ untuk $0 < x < 2\pi$, $x \neq 0, \pi, 2\pi$. Fungsi tersebut turun pada selang ...
Solusi #3
\begin{split} f(x) & =\csc^2x − \cot x \csc x\\ & = \dfrac{1}{\sin^2 x} - \dfrac{\cos x}{\sin x}\dfrac{1}{\sin x}\\ & = \dfrac{1}{\sin^2 x} - \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\\ & = \sin^{-2} x - \cos x \sin^{-2} x \end{split} $f(x)$ turun jika $f'(x) < 0$
\begin{split} & -2\sin^{-3} x \cos x - (-\sin x \sin^{-2} x -2\sin^{-3} x \cos^2 x) < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{-2\cos x}{\sin^{3} x} + \dfrac{\sin^{2} x}{\sin^{3} x} + \dfrac{2\cos^2 x}{\sin^{3} x} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{-2\cos x+\sin^{2} x+\cos^{2} x+\cos^{2} x}{\sin^{3} x} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{\cos^{2} x-2\cos x+1}{\sin^{3} x} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(\cos x - 1)^2}{\sin^{3} x} < 0 \end{split}
Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah $\cos x = 1$ dan $\sin x = 0$ sehingga pada interval $0 < x < 2\pi$, $x=90^{\circ}$ dan $x=180^{\circ}$. Kemudian uji pada garis bilangan diperoleh $180^{\circ} < x < 360^{\circ}$ Pada interval
Jadi $f(x)$ turun pada selang $180^{\circ} < x < 360^{\circ}$

Soal #4
Jika titik $(a,b)$ dicerminkan terhadap garis $y=x-1$ menjadi titik $(c,d)$, maka $2c+d=\ldots$
Solusi #4
Untuk mempermudah pencerminan, lakukan translasi $T(0,1)$ pada titik $(a,b)$ dan garis $y=x-1$ dengan kata lain titik $(a,b)$ dan garis $y=x-1$ digeser ke atas sejauh 1 satuan.

Setelah ditranslasi maka titik $(a,b+1)$ akan dicerminkan terhadap $y=x$ sehingga diperoleh bayangan $(b+1,a)$.

Lakukan translasi $T(0,-1)$ pada titik $(b+1,a)$ agar diperoleh bayangan yang sebenarnya yaitu $(b+1,a-1)$. Ilustrasinya seperti ini

SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 253: MATEMATIKA SAINTEK

Sehingga $b + 1 = c$ dan $a − 1 = d$
Jadi \begin{split} 2c+d & = 2b + 2 + a − 1\\ & = a + 2b + 1 \end{split}

Soal #5
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk 2 satuan. Titik $P$ adalah titik potong garis $AC$ dan $BD$. Jika $\alpha$ adalah sudut antara $HP$ dan $CF$, maka $\cos \alpha$ sama dengan ...
Solusi #5
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 253: MATEMATIKA SAINTEK
Perhatikan $CF$ sejajar dengan $PQ$, ini berarti $\alpha$ juga sama dengan sudut antara $HP$ dan $PQ$. $P$ titik tengah $AC$ maka $PQ=\dfrac{1}{2}CF =\sqrt{2}$ \begin{split} HQ = & HP\\ = & \sqrt{HD^2+DP^2}\\ = & \sqrt{4+2}=\sqrt{6} \end{split} Gunakan aturan cosinus untuk menentuka $\cos \alpha$ pada segitga $HPQ$ \begin{split} \cos \alpha & = \dfrac{HP^2+PQ^2-HQ^2}{2\cdot HP \cdot HQ}\\ & = \dfrac{6+2-6}{2 \sqrt{6}\sqrt{2}}\\ & = \dfrac{2}{2\sqrt{12}}\\ & = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}\\ & = \dfrac{1}{6}\sqrt{3} \end{split}
Jadi $\cos \alpha = \dfrac{1}{6}\sqrt{3}$

Soal #6
Jika sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^3-3x+5$ adalah $3x^2-2$, dan sisa pembagian $(x^2 + f(x))^2$ oleh $x^3-3x+5$ adalah $ax^2+bx+c$, maka $a+b+c=\ldots$
Solusi #6
Misalkan
$f = f(x)$
$h = h(x)$
$q = q(x) = x^3-3x+5$
$s = s(x) = 3x^2-2$
$f = hq + s$ maka $f^2 = h^2q^2 + 2hqs + s^2$
\begin{split} &(x^2+f(x))^2 \\ = & (x^2+f)^2\\ = & x^4+2x^2f+f^2\\ = & x^4+2x^2(hq+s)+(h^2q^2+2hqs+s^2)\\ = & x^4+{\color{Blue} {2x^2hq}}+2x^2s+{\color{Blue} {h^2q^2}}+{\color{Blue} {2hqs}}+s^2 \end{split}
Suku-suku yang diwarnai biru habis dibagi $q$, sehingga tinggal mencari sisa pembagian $x^4+2x^2s+s^2$ oleh $q$. \begin{split} & x^4+2x^2s+s^2\\ = & x^4+2x^2(3x^2-2)+(3x^2-2)^2\\ = & 16x^4+16x^2+4 \end{split} Dengan menggunakan pembagian bersusun $16x^4+16x^2+4$ dibagi oleh $x^3-3x+5$ diperoleh sisa $32x^2-80x+4$. Sehingga $a = 32$, $b = -80$, dan $c = 4$
Jadi \begin{split} a + b + c & = 32 − 80 +4\\ & = -44 \end{split}

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik \(y = 3^x+1\) jika ...
Solusi #7
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan \(3^x = y\) \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ & 2y^3-1 < y^2\\ & 2y^3-y^2-1 < 0\\ & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena \(2y^2+y+1\) definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & x < 0 \end{split}
Jadi nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(x < 0\)

Soal #8
Nilai dari $\lim_{x \to 2}\limits \dfrac{\sqrt{1-\cos(x-2)}}{\sqrt{x^2-2x}}$
Solusi #8
\begin{split} & \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{1-\cos(x-2)}}{\sqrt{x^2-2x}}\\ =& \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{1-\left(1-2\sin^2 \left(\dfrac{1}{2}(x-2)\right)\right)}}{\sqrt{x^2-2x}}\\ =& \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{2\sin^2 \left(\dfrac{1}{2}(x-2)\right)}}{\sqrt{x^2-2x}}\\ =& \lim_{x \to 2} \sqrt{\dfrac{2\sin^2 \left(\dfrac{1}{2}(x-2)\right)}{x^2-2x}}\\ =& \lim_{x \to 2} \sqrt{\dfrac{2\sin \left(\dfrac{1}{2}(x-2)\right)\sin \left(\dfrac{1}{2}(x-2)\right)}{x(x-2)}}\\ =& \lim_{x \to 2} \sqrt{\dfrac{2\sin \left(\dfrac{1}{2}(x-2)\right)}{x}\dfrac{\sin \left(\dfrac{1}{2}(x-2)\right)}{(x-2)}}\\ =& \lim_{x \to 2} \sqrt{\dfrac{2\sin \left(\dfrac{1}{2}(x-2)\right)}{x}\dfrac{1}{2}}\\ =& \lim_{x \to 2} \sqrt{\dfrac{\sin \left(\dfrac{1}{2}(x-2)\right)}{x}}\\ =& \sqrt{\dfrac{\sin 0}{2}}=0\\ \end{split}
Jadi $\lim_{x \to 2}\limits \dfrac{\sqrt{1-\cos(x-2)}}{\sqrt{x^2-2x}}=0$

Soal #9
Diketahui barisan geometri $(a_n)$ dengan deret takhingganya bernilai 6. Jika barisan geometri $(a_n^2)$ mempunyai deret takhingga bernilai 18, maka suku pertama dari barisan $(a_n)$ adalah ...
Solusi #9
barisan geometri $(a_n)$ dengan deret takhingganya bernilai 6 maka \[\frac{a_1}{1-r}=6 \Rightarrow a_1=6(1-r)\] Misalkan $(a_n)$ memiliki rasio $r$ maka $(a_n^2)$ memiliki rasio $r^2$ serta deret takhingganya bernilai 18, akibatnya \begin{split} & \frac{a_1^2}{1-r^2}=18\\ \Rightarrow & \frac{(6(1-r))^2}{1-r^2}=18\\ \Rightarrow & \frac{36(1-r)(1-r)}{(1-r)(1+r)}=18\\ \Rightarrow & \frac{1-r}{1+r}=\frac{18}{36}\\ \Rightarrow & \frac{1-r}{1+r}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow & r=\frac{1}{3} \end{split} Substitusikan $r = \dfrac{1}{3}$ ke persamaan $a_1 = 6(1 − r)$ \begin{split} a_1 & =6(1-r)\\ & =6\left(1-\frac{1}{3}\right)\\ & =6 \cdot \frac{2}{3} = 4\\ \end{split}
Jadi suku pertama dari barisan $(a_n)$ adalah 4

Soal #10
Nilai maksimum dari fungsi $f(x)=2 \cos 2x + 4\cos x + 6 \sin 2 x$ adalah ...
Solusi #10
\begin{split} f(x) & =2 \cos^2 x + 4\cos x + 6 (1-\cos^2 x)\\ & = 2 \cos^2 x + 4\cos x + 6 - 6\cos^2 x\\ & = -4\cos^2 x + 4\cos x + 6\\ \end{split}
karena $f(x)$ berbentuk fungsi kuadrat dalam $\cos x$ maka $f(x)$ akan mempunyai nilai maksimum ketika $\cos x = - \dfrac{b}{2a} = \dfrac{1}{2}$. Kemudian substitusikan $\cos x = \dfrac{1}{2}$ sehingga diperoleh nilai maksimum $f(x)$ adalah $-4\left(\dfrac{1}{2}\right) + 4\left(\dfrac{1}{2} \right) + 6 = 7$
Jadi nilai maksimum $f(x)$ adalah 7

Soal #11
Diketahui \(f(x)=f(x+2)\) untuk setiap \(x\). Jika \(\int_0^2\limits f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7\limits f(x+8) \ dx =\ldots\)
Solusi #11
\(\int_0^2\limits f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1\limits f(x) \ dx + \int_1^2\limits f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1\limits f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2\limits f(x) \ dx = B-A\)
\begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split}
Misalkan \(I_1=\int_3^4\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+2\) \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+4\) \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+6\) \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split}
Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & 2B
\end{split}

Soal #12
Diketahui fungsi $f(x)=x^2$ dan $g(x)=ax$, $a > 0$. Misalkan $D$ adalah daerah yang dibatasi oleh kurva $f$ dan $y = 4$. Jika kurva $g$ membagi daerah $D$ dengan perbandingan luas 3 : 1, mak $a^3 = \ldots$
Solusi #12
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 253: MATEMATIKA SAINTEK
A + B : A − B = 3 : 1
\begin{split}
& \frac{A+B}{A-B}=\frac{3}{1}\\
\Rightarrow & 3A-3B=A+B\\
\Rightarrow & 2A=4B\\
\Rightarrow & A = 2B\\
\Rightarrow & \int_{-2}^0 4-x^2\ dx=2\int_{0}^{4/a} 4-ax\ dx\\
\Rightarrow & \frac{16}{3}=2\left[4x-\frac{ax^2}{2}\right]_{0}^{4/a}\\
\Rightarrow & \frac{16}{3}=2\left(\frac{16}{a}-\frac{8}{a}\right)\\
\Rightarrow & \frac{16}{3}=\frac{16}{a}\\
\Rightarrow & a= 3
\end{split}
Jadi $a=3$

Soal #13
Banyaknya bilangan genap \(n = abc\) dengan tiga digit sehingga \(3 < b < c\) adalah ...
Solusi #13
Nilai \(c\) yang mungkin adalah 6 atau 8.

Jika \(c = 6\) maka \(b = 4\) atau \(b = 5\); terdapat 2 kemungkinan.

Jika \(c = 8\) maka \(b = 4\) atau \(b = 5\) atau \(b = 6\) atau \(b = 7\); terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar \(3 < b < c\) ada sebanyak 6.

Nilai \(a\) yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk \(a\), sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = 54
Jadi terdapat sebanyak 54 bilangan

Soal #14
Garis singgung kurva \(y = 3 − x^2\) di titik \(P(−a,b)\) dan \(Q(a,b)\) memotong sumbu \(y\) di titik \(R\). Nilai \(a\) yang membuat segitiga \(PQR\) sama sisi adalah ...
Solusi #14
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 253: MATEMATIKA SAINTEK
Karena segitiga \(PQR\) sama sisi, maka \(\theta = 60^{\circ}\), sehingga gradien garis singgung yang melalui \(P\) adalah \(\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}\)

Gradien garis singgung di titik \(P\) merupakan nilai turunan pertama \(y\) di titik \((-a,b)\). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{split}
Jadi nilai \(a=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Soal #15
Diketahui tiga bilangan positif alog b, blog c, clog d membentuk barisan geometri. Jika a = 2 dan d = 128, maka suku kedua barisan tersebut adalah ...
Solusi #15
2log b, blog c, clog 128 adalah barisan aritmatika maka \begin{split} & \frac{^b \log c}{^2 \log b}=\frac{^c \log 128}{^b \log c}\\ \Rightarrow & \left(^b \log c\right)^2 = \ ^c \log 128 \cdot \ ^2 \log b\\ \Rightarrow & \left(^b \log c\right)^2 = \ ^c \log 2^7 \cdot \ ^2 \log b\\ \Rightarrow & \left(^b \log c\right)^2 = 7 \ ^c \log 2 \cdot \ ^2 \log b\\ \Rightarrow & \left(^b \log c\right)^2 = 7 \ ^c \log b\\ \Rightarrow & \left(^b \log c\right)^2 = \frac{7}{^b \log c}\\ \Rightarrow & \left(^b \log c\right)^3 = 7\\ \Rightarrow & ^b \log c = \sqrt[3]{7} \end{split}
Jadi suku keduanya adalah \(\sqrt[3]{7}\)

Click to comment