Type something and hit enter

author photo
By On
Untuk menghitung perbandingan sudut istimewa seperti 30°, 45° dan 60° dapat digunakan segitiga sama sisi dan segitiga sama kaki. Pertanyaannya bagaimana menghitung nilai eksak dari perbandingan sudut-sudut yang lain ? Beberapa sudut disebut sudut yang agak istimewa dapat dihitung dengan tepat nilai perbandingan trigonometrinya menggunakan rumus jumlah dan selisih sudut.
  1. $\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$
  2. $\sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$
  3. $\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$
  4. $\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$
  5. $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}$
  6. $\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan \alpha - \tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}$

Bukti rumus 4

Perhatikan dua lingkaran satuan di bawah ini. Padanya terdapat titik $A$, $B$, $C$ dan $D$.
Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Trigonometri
Dengan menggunakan rumus trigonometri pada lingkaran satuan
$A(\cos \alpha,\sin \alpha)$
$B(\cos \beta,\sin \beta)$< $C(\cos (\alpha-\beta),\sin (\alpha-\beta))$ $D(1,0)$ Kemudian menggunakan rumus jarak antara dua titik $AB^2=(\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2$ $CD^2=(\cos (\alpha-\beta) - 1)^2 + (\sin (\alpha-\beta) - 0)^2$ Misalkan $\cos \alpha = a$, $\cos \beta = b$, $\sin \alpha = c$, $\sin \beta = d$, $\cos (\alpha-\beta) = e$ dan $\sin (\alpha-\beta) = f$ maka $AB^2 = (a-b)^2+(c-d)^2$ $CD^2 = (e-1)^2+(f-0)^2$ Karena kedua lingkaran merupakan lingkaran satuan maka

\begin{split} AB=CD & \Rightarrow AB^2=CD^2\\ & \Rightarrow (a-b)^2+(c-d)^2 = (e-1)^2+(f-0)^2\\ & \Rightarrow a^2-2ab+b^2+c^2-2cd+d^2 = e^2-2e+1+f^2\\ & \Rightarrow (a^2+c^2)-2ab-2cd+(b^2+d^2) = (e^2+f^2)-2e+1 \text{ ...(1)} \end{split}
Dengan menggunakan identitas $\sin^2 \theta+\cos^2 \theta = 1$ maka
$a^2+c^2=\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha=1$
$b^2+d^2=\cos^2 \beta + \sin^2 \beta=1$
$e^2+f^2=\cos^2 (\alpha-\beta) + \sin^2 (\alpha-\beta)=1$

sehingga persamaan (1) dapat ditulis menjadi
\begin{split} & (a^2+c^2)-2ab-2cd+(b^2+d^2) = (e^2+f^2)-2e+1\\ \Rightarrow & 1-2ab-2cd+1=1-2e+1\\ \Rightarrow & 2-2ab-2cd=2-2e\\ \Rightarrow & -2ab-2cd=-2e\\ \Rightarrow & 2e=2ab+2cd\\ \Rightarrow & e=ab+cd\\ \Rightarrow & \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{split}

Bukti rumus 3

Ganti $\beta$ dengan $-\beta$ pada rumus 4 $$\cos(\alpha+\beta) =\cos \alpha \cos (-\beta) + \sin \alpha \sin (-\beta)$$ Karena $\cos (-\beta) = \cos \beta$ dan $\sin (-\beta) = -\sin \beta$ maka persamaan di atas menjadi $$\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$

Bukti rumus 1

Telah diketahui bahwa
$\cos \left( \dfrac{\pi}{2} - (\alpha - \beta) \right) = \sin (\alpha - \beta)$
$\sin \left( \dfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cos \alpha$
$\cos \left( \dfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha $

Dengan menggunakan persamaan di atas dan rumus 4
\begin{split} \sin(\alpha-\beta)& =\cos \left( \dfrac{\pi}{2}-(\alpha-\beta)\right)\\ &= \cos \left(\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha \right)+\beta\right)\\ &= \cos \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha \right)\cos \beta - \sin \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha \right)\sin \beta \\ &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{split}

Bukti rumus 2

Ganti $\beta$ dengan $-\beta$ pada rumus 1
\begin{split} \sin(\alpha+\beta)& =\sin \alpha \cos (-\beta) - \cos \alpha \sin (-\beta)\\ & = \sin \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{split}

Bukti rumus 5

Telah diketahui bahwa $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, maka
\begin{split} \tan(\alpha-\beta)& =\dfrac{ \sin (\alpha-\beta)}{\cos (\alpha-\beta)}\\ & = \dfrac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}\\ & = \dfrac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta} \times \dfrac{\dfrac{1}{\cos \alpha \cos \beta}}{\dfrac{1}{\cos \alpha \cos \beta}}\\ & = \dfrac{\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}-\dfrac{\sin \beta}{\cos \beta}}{1+\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\dfrac{\sin \beta}{\cos \beta}}\\ & = \dfrac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \end{split}

Bukti rumus 6

Ganti $\beta$ dengan $-\beta$ pada rumus 5
\begin{split} \tan(\alpha+\beta)& =\dfrac{\tan \alpha - \tan (-\beta)}{1 + \tan \alpha \tan (-\beta)}\\ & =\dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \end{split}

Click to comment