Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Jika akar-akar $3x^2+ax-2=0$ dan $2x^2+6x+3b=0$ saling berkebalikan, maka $b-a=\ldots$
Solusi #46
Misalkan $3x^2 + ax - 2 = 0$ memiliki akar $\alpha$ dan $\beta$ maka
$2x^2 + 6x + 3b = 0$ memiliki akarnya $\dfrac{1}{α}$ dan $\dfrac{1}{β}$ (karena saling berkebalikan dengan akar persamaan yang satunya)

Oleh karena itu dengan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat diperoleh \begin{split} & \alpha + \beta = -\frac{a}{3}\\ & \alpha \cdot \beta = -\frac{2}{3}\\ & \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=-\frac{6}{2}=-3\\ & \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta}=\frac{3b}{2} \end{split} Dari persamaan ketiga diperoleh \begin{split} & \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=-3\\ \Rightarrow & \frac{\alpha + \beta}{\alpha \cdot \beta}=-3\\ \Rightarrow & \frac{-a/3}{-2/3}=-3\\ \Rightarrow & a=-6 \end{split} Dari persamaan keempat diperoleh \begin{split} & \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta}=\frac{3b}{2}\\ \Rightarrow & \frac{1}{\alpha \cdot \beta}=\frac{3b}{2}\\ \Rightarrow & \frac{1}{-2/3}=\frac{3b}{2}\\ \Rightarrow & -\frac{3}{2}=\frac{3b}{2}\\ \Rightarrow & b=-1 \end{split}
Jadi $b-a=-1+6=5$

Soal #47
Jika \(A^{2x}=2\), maka \(\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots\)
Solusi #47
\(A^{2x}=2\) maka \(A^x=\sqrt{2}\) \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}-A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3-(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \frac{31}{18} \end{split}
Jadi jawabannya adalah \(\dfrac{31}{18}\)

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
Solusi #48
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 345: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis $y=mx$ membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan $AB=CD$ sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & m=2 \end{split}
Jadi $m=2$

Soal #49
Semua bilangan real $x$ yang memenuhi \(\dfrac{x}{x-3} \leq \dfrac{x+3}{x+2}\) adalah ...
Solusi #49
\begin{split} & \frac{x}{x-3} \leq \frac{x+3}{x+2}\\ \Rightarrow & \frac{x}{x-3}-\frac{x+3}{x+2} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{x(x+2)-(x+3)(x-3)}{(x-3)(x+2)} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2+2x-(x^2-9)}{(x-3)(x+2)} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{2x+9}{(x-3)(x+2)} \leq 0 \end{split} Pembuat 0 nya adalah $x = −\dfrac{9}{2}$, $x = −2$ dan $x = 3$. Kemudian uji pada garis bilangan diperoleh $x \leq −\dfrac{9}{2}$ atau $−2 \leq x \leq 3$, tetapi pertidaksamaan di atas mensyaratkan penyebut tidak sama dengan nol atau $x \neq 2$ dan $x \neq 3$
Jadi semua bilangan real yang memenuhi adalah $x \leq −\dfrac{9}{2}$ atau $−2 < x < 3$

Soal #50
Jika grafik $y=x^2-(9+a)x+9a$ diperoleh dari grafik fungsi $y=x^2-2x-3$ melalui pencerminan terhadap garis $x=4$, maka $a=\ldots$
Solusi #50
Titik $(x,y)$ diceriminkan terhadap garis $x=4$ menghasilkan bayangan $(x',y')$ dengan $$x'=8-x$$ dan $$y'=y$$ Substitusikan ke $y=x^2-2x-3$ diperoleh $y'=(8-x')^2-2(8-x')-3$ atau $$y'=x'^2-14x'+45$$ Dengan menyamakan koefisien $y=x^2-(9+a)x+9a$ dan $y'=x'^2-14x'+45$ diperoleh $9a=45$ atau $9+a=14$
Jadi $a=5$

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #51
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72
Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Jika $f(x^2)=x$ dan $g\left(\dfrac{x+1}{x}\right)=x$, $x > 0$, maka $(g \circ f)(4)=\ldots$
Solusi #52
Substitusikan $x=2$ ke persamaan $f(x^2)=x$ diperoleh $f(4)=2$
Substitusikan $x=1$ ke persamaan $g\left(\dfrac{x+1}{x}\right)=x$ diperoleh $g(2)=1$
Jadi \begin{split} (g \circ f)(4) & = g(f(4))\\ & = g(2)\\ & =1 \end{split}

Soal #53
Jika fungsi $f$ dan $g$ mempunyai invers dan memenuhi $f(x) = g(4 − 2x)$, maka $f^{-1}(x) = \ldots$
Solusi #53
Misalkan $f(x) = g(4 − 2x) = y$ maka
$x = f^{-1}(y)$ dan
$4 − 2x = g^{-1}(y)$
Oleh karena itu \begin{split} & 4 - 2f^{-1}(y) = g^{-1}(y)\\ \Rightarrow & -2f^{-1}(y) = g^{-1}(y) - 4\\ \Rightarrow & f^{-1}(y)=2-\frac{g^{-1}(y)}{2} \end{split}
Jadi $f^{-1}(x)=2-\dfrac{g^{-1}(x)}{2}$

Soal #54
Diketahui matriks \(A=\begin{pmatrix} 8 & a\\a & 1\end{pmatrix}\) dan \(B=\begin{pmatrix} 1 & -1\\b & 1\end{pmatrix}\), dan $C$ adalah matriks berukuran $2 \times 2$ yang mempunyai invers. Jika $AC$ dan $BC$ tidak memiliki invers, maka $3a^2 + 4b^3 = \ldots$
Solusi #54
matriks $AC$ dan $BC$ tidak memiliki invers tetapi $A$ memiliki invers maka haruslah $A$ dan $B$ tidak memiliki invers dengan kata lain $\det(A) = 0$ dan $\det(B) = 0$

Jika $\det(A) = 0$ maka $8 − a^2 = 0$ atau $a^2 = 8$

Jika $\det(B) = 0$ maka $1 + b = 0$ atau $b = −1$
Jadi $3a^2 + 4b^3 = 24 − 4 = 20$

Soal #55
Misalkan Uk dan Sk berturut-turut menyatakan suku ke-k dan jumlah k suku pertama suatu barisan aritmetika. Jika U2 + U4 + U6 + U8 + U10 + U12 = 72, maka S13 = ...
Solusi #55
\begin{split} & U_2+U_4+U_6+U_8+U_{10}+U_{12}=72\\ \Rightarrow & a+b+a+3b+a+5b+a+7b+a+9b+a+11b=72\\ \Rightarrow & 6a+36b=72\\ \Rightarrow & a+6b=12 \end{split}
Jadi \begin{split} S_{13} & =\frac{13}{2}(2a+12b)\\ & = 13(a+6b)\\ & = 13 \cdot 12 = 156\end{split}

Soal #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 350: MATEMATIKA DASAR
Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, lengkungan BD dan BE berturut-turut adalah busur lingkaran yang berpusat di C dan A seperti pada gambar. Jika AB = BC = 2 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah ... cm
Solusi #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 350: MATEMATIKA DASAR
Daerah yang diarsir merupakan daerah persegi yang bukan daerah seperempat lingkaran
Jadi luas daerah pada soal sama dengan luas daerah pada gambar di atas adalah $L=2 \times 2 - \dfrac{1}{4} \pi 2^2=4-\pi$

Soal #57
Seorang siswa mengikuti 6 kali ujian dengan nilai 5 ujian pertama 6, 4, 8, 5 dan 7. Jika semua nilai dinyatakan dalam bilangan asli yang tidak lebih besar daripada 10 dan rata-rata 6 kali ujian lebih kecil dari mediannya, maka nilai ujian terakhir yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #57
Rata-rata 6 kali ujian lebih kecil dari mediannya berarti \begin{split} & \frac{4+5+6+7+8+x}{6} < \text{median}\\ \Rightarrow & 30+x < 6 \cdot \text{median ...(1)} \end{split} Jika $x < 5$ maka mediannya = 5,5, sehingga pertidaksamaan (1) menjadi $$30+x < 6 \cdot 5,5 = 33$$ nilai $x < 5$ yang memenuhi hanya 1 dan 2

Jika $x = 5$ maka mediannya = 5, sehingga pertidaksamaan (1) menjadi $$30+x < 6 \cdot 5 = 30$$ tetapi $x = 5$ tidak memenuhi

Jika $x = 6$ maka mediannya = 6, sehingga pertidaksamaan (1) menjadi $$30+x < 6 \cdot 6 = 36$$ tetapi $x = 6$ tidak memenuhi

Jika $x > 6$ maka mediannya = 6,5, sehingga pertidaksamaan (1) menjadi $$30+x < 6 \cdot 6,5 = 39$$ tetapi $x > 6$ yang memenuhi hanya 7 dan 8
Jadi Nilai bilangan asli x yang mungkin adalah 1, 2, 7 dan 8 yaitu sebanyak $\fbox{4}$

Soal #58
Jika $\lim_{x \to -2}\limits \dfrac{bx^2+15x+15+b}{x^2+x-2}$ ada, maka nilai $b$ dan nilai limit tersebut berturut-turut adalah ...
Solusi #58
Bentuk limit di atas bentuk $\dfrac{0}{0}$, jadi jika $x=-2$ disubstitusikan ke pembilang diperoleh 0 \begin{split} & b(-2)^2+15(-2)+15+b=0\\ \Rightarrow & 4b-30+15+b=0\\ \Rightarrow & 5b=15\\ \Rightarrow & b=3 \end{split} Dengan menggunakan aturan L'Hospital diperoleh \begin{split} & \lim_{x \to -2} \frac{bx^2+15x+15+b}{x^2+x-2}\\ = & \lim_{x \to -2} \frac{3x^2+15x+18}{x^2+x-2}\\ = & \lim_{x \to -2} \frac{6x+15}{2x+1}\\ = & \frac{3}{-3}\\ = & -1 \end{split}
Jadi $b=3$ dan nilai limitnya adalah $-1$

Soal #59
Sistem persamaan $x + 2y = a$, $2x + 3y = b$, dan $5x + 8y = c$ memiliki solusi untuk $c = \ldots$
Solusi #59
Ketiga sistem persamaan tersebut memiliki solusi jika tiga garis yang dinyatakan dalam ketiga persamaan di atas berpotongan di satu titik. Dengan menyelesaikan untuk $x$ dan $y$ pada persamaan pertama dan kedua \begin{split} x+2y & =a\\ 2x+3y & =b \end{split} diperoleh $x=-3a+2b$ dan $y=2a-b$
kemudian substitusikan ke persamaan ketiga diperoleh \begin{split} & 5(-3a+2b) + 8(2a-b) = c\\ \Rightarrow & c=a+2b \end{split}

Soal #60
Semua bilangan real $x$ yang memenuhi $\dfrac{|x-2|+x}{2-|x-2|} < 1$
Solusi #60
Jika $x \geq 2$ dan $x \neq 4$ \begin{split} & \frac{|x-2|+x}{2-|x-2|} < 1\\ \Rightarrow & \frac{(x-2)+x}{2-(x-2)} < 1\\ \Rightarrow & \frac{2x-2}{4-x} < 1\\ \Rightarrow & \frac{2x-2}{4-x} - 1 < 0\\ \Rightarrow & \frac{2x-2}{4-x} - \frac{4-x}{4-x} < 0\\ \Rightarrow & \frac{(2x-2)-(4-x)}{4-x} < 0\\ \Rightarrow & \frac{3x-6}{4-x} < 0 \end{split} Pembuat 0 pertidaksamaan di atas adalah $x=2$ dan $x=4$, kemudian uji pada garis bilangan $x \geq 2$ diperoleh penyelesaian $x > 4$

Jika $x < 2$ dan $x \neq 0$ \begin{split} & \frac{|x-2|+x}{2-|x-2|} < 1\\ \Rightarrow & \frac{-(x-2)+x}{2+(x-2)} < 1\\ \Rightarrow & \frac{2}{x} < 1\\ \Rightarrow & \frac{2}{x} - 1 < 0\\ \Rightarrow & \frac{2}{x} - \frac{x}{x} < 0\\ \Rightarrow & \frac{2-x}{x} < 0 \end{split} Pembuat 0 pertidaksamaan di atas adalah $x=0$ dan $x=2$, kemudian uji pada garis bilangan $x < 2$ diperoleh penyelesaian $x < 0$
Jadi semua bilangan real $x$ yang memenuhi adalah $x < 0$ atau $x > 4$

3 komentar

avatar

maaf mas itu yg nomor 57 klo misal nilai xnya 6 kn berarti nilai mediannya sama dengan nilai rata2nya sedangkan yg diminta nilai rata2 harus lebih kecil dri nilai median

avatar

terima kasih telah mengoreksi :)

avatar

Cara dapatkan filenya gmn terima kasih

Click to comment