Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Diketahui $7-\sqrt{7}$ adalah salah satu akar $x^2 + ax + b = 0$ dengan $b$ bilangan real negatif dan $a$ suatu bilangan bulat. Nilai terkecil $a$ adalah ...
Solusi #46
Misalkan persamaan kuadrat di atas memiliki akar $x_1=7-\sqrt{7}$ dan $x_2$ maka \begin{split} & x_1 + x_2 = a\\ \Rightarrow & 7-\sqrt{7}+x_2 = -a \end{split} Karena $a$ bilangan bulat maka haruslah $x_2 = p + \sqrt{7}$ untuk suatu bilangan bulat $p$ dan $7 + p = -a$ atau $a =−7− p$

$b$ bilangan real negatif berarti \begin{split} & x_1 \cdot x_2 = b < 0\\ \Rightarrow & (7-\sqrt{7})(p+\sqrt{7}) < 0\\ \Rightarrow & p+\sqrt{7} < 0\\ \Rightarrow & p < -\sqrt{7} \end{split} Karena $p$ bilangan bulat maka $p$ ∈ {−3, −4, −5, ...}

Oleh karena itu $a$ ∈ {−4, −3, −2, ...}
Jadi nilai terkecil $a$ adalah −4

Soal #47
Jika \(A^{2x}=2\), maka \(\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots\)
Solusi #47
\(A^{2x}=2\) maka \(A^x=\sqrt{2}\) \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}-A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3-(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \frac{31}{18} \end{split}
Jadi jawabannya adalah \(\dfrac{31}{18}\)

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
Solusi #48
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 345: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis $y=mx$ membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan $AB=CD$ sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & m=2 \end{split}
Jadi $m=2$

Soal #49
Semua bilangan real $x$ yang memenuhi \(\frac{x}{x+2} > \frac{x-2}{x}\) adalah ...
Solusi #49
\begin{split}
& \frac{x}{x+2} > \frac{x-2}{x}\\
\Rightarrow & \frac{x}{x+2} - \frac{x-2}{x} > 0\\
\Rightarrow & \frac{x^2-(x-2)(x+2)}{x(x+2)} > 0\\
\Rightarrow & \frac{x^2-(x^2-4)}{x(x+2)} > 0\\
\Rightarrow & \frac{4}{x(x+2)} > 0\\
\end{split} Pembuat nol dari pertidaksamaan di atas adalah $x = -2$ dan $x= 0$. Dengan mengujinya pada garis bilangan didapatkan penyelesaian $x < -2$ atau $x > 0$
Jadi bilangan real $x$ yang memenuhi adalah $x < -2$ atau $x > 0$

Soal #50
Jika grafik $y=x^2-(9+a)x+9a$ diperoleh dari grafik fungsi $y=x^2-2x-3$ melalui pencerminan terhadap garis $x=4$, maka $a=\ldots$
Solusi #50
Titik $(x,y)$ diceriminkan terhadap garis $x=4$ menghasilkan bayangan $(x',y')$ dengan $$x'=8-x$$ dan $$y'=y$$ Substitusikan ke $y=x^2-2x-3$ diperoleh $y'=(8-x')^2-2(8-x')-3$ atau $$y'=x'^2-14x'+45$$ Dengan menyamakan koefisien $y=x^2-(9+a)x+9a$ dan $y'=x'^2-14x'+45$ diperoleh $9a=45$ atau $9+a=14$
Jadi $a=5$

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #51
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72
Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Jika \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}\) dan $g(x) = 10 − x^2$, maka himpunan bilangan real yang memenuhi $(f \circ g)(x) > -2$ adalah ...
Solusi #52
\begin{split} & (f \circ g)(x) > -2\\ \Rightarrow & f(g(x)) > -2\\ \Rightarrow & \frac{1}{\sqrt{1-g(x)}} > -2\\ \Rightarrow & \frac{1}{\sqrt{1-g(x)}} > -2\\ \Rightarrow & \frac{1}{\sqrt{x^2-9}} > -2\\ \end{split} Ruas kiri pertidaksamaan di atas selalu positif dan ruas kanan selalu negatif. Oleh karena itu tinggal menyelesaikan syarat penyebut ruas kiri yaitu \begin{split} & x^2 - 9 > 0\\ \Rightarrow & (x+3)(x-3) > 0\\ \Rightarrow & x < -3 \text{ atau } x > 3\end{split}
Jadi semua bilangan real $x$ yang memenuhi adalah $x < −3$ atau $x > 3$

Soal #53
Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memenuhi $f(x) = g(4 − 2x)$, maka $f^{-1}(x) = \ldots$
Solusi #53
Misalkan $f(x) = g(4 − 2x) = y$ maka
$x = f^{-1}(y)$ dan
$4 − 2x = g^{-1}(y)$
Oleh karena itu \begin{split} & 4 - 2f^{-1}(y) = g^{-1}(y)\\ \Rightarrow & -2f^{-1}(y) = g^{-1}(y) - 4\\ \Rightarrow & f^{-1}(y)=2-\frac{g^{-1}(y)}{2} \end{split}
Jadi $f^{-1}(x)=2-\dfrac{g^{-1}(x)}{2}$

Soal #54
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ p & 2 \end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & q \end{pmatrix}$. Jika $\det (AB)=\det (2C)$, maka $p+q=\ldots$
Solusi #54
\begin{split} & \det (AB)=\det (2C)\\ \Rightarrow & \det (A) \det(B)=4 \det (C)\\ \Rightarrow & (2)(6-2p)=4(q-2)\\ \Rightarrow & 12-4p=4q-8\\ \Rightarrow & -4p-4q=-20\\ \Rightarrow & p+q=5 \end{split}
Jadi $p+q=5$

Soal #55
Bilangan $\log (a^3b)$, $\log (a^2b^6)$, dan $\log (a^5b^7)$ merupakan tiga suku pertama barisan aritmetika. Jika suku ke-9 barisan tersebut adalah $\log (b^p)$, maka $p=\ldots$
Solusi #55
Ketiga bilangan itu adalah barisan aritmatika maka
\begin{split} & \log (a^2b^6)-\log (a^3b)=\log (a^5b^7)-\log (a^2b^6)\\ \Rightarrow & \log \left( \frac{a^2b^6}{a^3b} \right) = \log \left( \frac{a^5b^7}{a^2b^6} \right)\\ \Rightarrow & \frac{a^2b^6}{a^3b}=\frac{a^5b^7}{a^2b^6}\\ \Rightarrow & \frac{b^5}{a}=a^3b\\ \Rightarrow & b^5=a^4b\\ \Rightarrow & b^4=a^4\\ \Rightarrow & a=b \end{split}
Dengan mensubstitusikan $a=b$ ke tiga bilangan diperoleh tiga bilangan tersebut yaitu $\log (b^4)$, $\log (b^8)$, dan $\log (b^{12})$. Sehingga beda dari barisannya adalah \begin{split} B & =\log (b^8)-\log (b^4)\\ & =\log \left(\frac{b^8}{b^4}\right)\\ & =\log (b^4) \end{split} suku ke-9 barisan tersebut adalah $\log (b^p)$ berarti \begin{split} \log (b^p)=& U_9\\ =& A+8B\\ =& \log (b^4)+8\log (b^4)\\ =& \log (b^4)+\log ((b^4)^8)\\ =& \log (b^4)+\log (b^32)\\ =& \log (b^36) \end{split}
Jadi $p=36$

Soal #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 345: MATEMATIKA DASAR

Jika ABCD adalah belah ketupat dengan panjang sisi 4 cm, dan semua daerah segitiga yang diarsir adalah kongruen seperti pada gambar, maka luas daerah yang diarsit adalah ... cm2.
Solusi #56
Luas daerah yang diarsir sama dengan luas setengah dari jajar genjang yaitu luas segitiga ABD. Karena ABD adalah segitiga sama sisi, luasnya dapat dihitung menggunakan rumus \begin{split}
L=& \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \angle BAD\\
=& \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin 60^{\circ}\\
=& 8 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}\\
=& 4\sqrt{3}
\end{split}
Jadi luas daerah yang diarsit adalah $4\sqrt{3}$ cm2

Soal #57
Dalam suatu kelas terdapat 23 siswa. Rata-rata nilai kuis aljabar mereka adalah 7. Terdapat hanya 2 orang yang memperoleh nilai yang sama yang merupakan nilai tertinggi, serta hanya 1 orang yang memperoleh nilai terendah. Rata-rata nilai mereka berkurang 0,1 jika semua nilai tertinggi dan nilai terendah dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan cacah tidak lebih daripada 10, maka nilai terendah yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #57
23 siswa dengan rata-rata 7 maka total nilainya adalah 23×7 = 161

Misalkan yang tertinggi adalah a dan yang terendah b, maka total nilai 20 siswa sianya adalah 161 − 2a − b. Berarti rata-ratanya adalah \begin{split} & \frac{161-2a-b}{20}=7-0.1\\ \Rightarrow & 161-2a-b=138\\ \Rightarrow & 2a+b=23 \end{split} Nilai a yang mungkin hanya 10, 9 atau 8.
Jika a = 10 maka b = 3
Jika a = 9 maka b = 5
Jika a = 8 maka b = 7, tetapi 7 tidak mungkin menjadi nilai terendah karena rata-ratanya 7
Jadi nilai yang terendah ada sebanyak dua yaitu 3 atau 5

Soal #58
Diketahui $f(x)=x^2+ax+b$ dengan $f(3)=1$. Jika $\lim_{x \to 3}\limits \frac{x-3}{f(x)-f(3)}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, maka $a+b=\ldots$
Solusi #58
Jika $f(3)=1$ maka \begin{split} & 9+3a+b =1\\ \Rightarrow & 3a+b =-8 \end{split} Dengan menggunakan aturan L'Hospital diperoleh \begin{split} & \lim_{x \to 3}\limits \frac{x-3}{f(x)-f(3)}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow & \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{x^2+ax+b-1}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow & \lim_{x \to 3} \frac{1}{2x+a}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow & \frac{1}{6+a}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow & a=-4 \end{split} Substitusikan $a=-4$ ke persamaan $3a+b=-8$ diperoleh $b=4$
Jadi $a-b=-4-4=-8$

Soal #59
Jika $3x+2y=4$, $2x+5y=-1$, $ax+by=-6$, dan $ax-by=-2$, maka $a-b=\ldots$
Solusi #59
Dengan menyelesaikan SPLDV \begin{split} 3x+2y & =4\\ 2x+5y & =-1 \end{split} diperoleh $x=2$ dan $y=-1$, kemudian substitusikan ke dua persamaan berikutnya sehingga diperoleh SPLDV \begin{split} 2a-b & =-6\\ 2a+b & =-2 \end{split} Selanjutnya menyelesaikan SPLDV di atas diperoleh $a=-2$ dan $b=2$
Jadi $a-b=-2-2=-4$

Soal #60
Semua bilangan real $x$ yang memenuhi $x^2-2x-5|x-1| + 7 < 0$ adalah ...
Solusi #60
Jika $x-1 \geq 0$ atau $x \geq 1$ \begin{split} & x^2-2x−5(x − 1)+7 < 0\\ \Rightarrow & x^2-2x−5x+5+7 < 0\\ \Rightarrow & x^2-7x+12 < 0\\ \Rightarrow & (x-3)(x-4) < 0\\ \Rightarrow & 3 < x < 4 \end{split} Jika $x-1 < 0$ atau $x < 1$ \begin{split} & x^2-2x+5(x − 1)+7 < 0\\ \Rightarrow & x^2-2x+5x-5+7 < 0\\ \Rightarrow & x^2+3x+2 < 0\\ \Rightarrow & (x+1)(x+2) < 0\\ \Rightarrow & -2 < x < -1 \end{split}
Jadi bilangan real yang memenuhi adalah $-2 < x < -1$ atau $3 < x < 4$

Click to comment