Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 245: MATEMATIKA SAINTEK
Diketahui persegi dengan panjang sisi 12, dan setengah lingkaran dengan diameteri pada alas, seperti pada gambar. Garis CE menyinggung lingkaran di titik F. Panjang CE = ...
Solusi #1
<
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 245: MATEMATIKA SAINTEK
Misalkan $EA = x$ maka $EF=x$ dan $DE=12-x$. Kemudian dengan rumus pythagoras
\begin{split}
& CD^2+DE^2=CE^2\\
\Rightarrow & 12^2+(12-x)^2=(12+x)^2\\
\Rightarrow & 144+144-24x+x^2=144+24x+x^2\\
\Rightarrow & 144=48x\\
\Rightarrow & x=3
\end{split}
Jadi \begin{split}
CE & =CF+FE\\
& =12+3\\
& =15
\end{split}

Soal #2
Diketahui $\triangle ABC$, titik $D$ pada $AB$, dengan $AB = 8$, $BC = 6$, $AC = 4$, dan $\angle BCD = \angle CBD$. Panjang $CD = \ldots$
Solusi #2
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 245: MATEMATIKA SAINTEK
Dengan menggunakan aturan coinus pada $\triangle ABC$ diperoleh \begin{split}
\cos \theta & = \frac{BA^2+BC^2-AC^2}{2 \cdot BA \cdot BC}\\
& = \frac{8^2+6^2-4^2}{2 \cdot 8 \cdot 6}\\
& = \frac{84}{96}\\
& = \frac{7}{8}
\end{split} Misalkan panjang $CD=x$, karena $\angle BCD = \angle CBD$ maka panjang $BD=x$ juga. Kemudian dengan aturan cosinus pada segitiga BDC \begin{split}
& \cos \theta = \frac{BD^2+BC^2-CD^2}{2 \cdot BD \cdot BC}\\
\Rightarrow & \frac{7}{8}=\frac{x^2+6^2-x^2}{2 \cdot x \cdot 6}\\
\Rightarrow & \frac{7}{8}=\frac{36}{12x}\\
\Rightarrow & \frac{7}{8}=\frac{3}{x}\\
\Rightarrow & x=\frac{24}{7}
\end{split}
Jadi panjang $CD=\dfrac{24}{7}$

Soal #3
Banyaknya nilai $x$ ketika $0 \leq x \leq 5\pi$ yang memenuhi persamaan $\cos^3 x + \cos^2 x - 4 \cos^2 \left( \dfrac{x}{2} \right) = 0$ adalah ...
Solusi #3
\begin{split} & \cos^3 x + \cos^2 x - 4 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) = 0\\ \Rightarrow & \cos^3 x + \cos^2 x - 4 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)+2 = 2\\ \Rightarrow & \cos^3 x + \cos^2 x - 2\left(2 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) -1\right)= 2\\ \Rightarrow & \cos^3 x + \cos^2 x - 2\cos x= 2\\ \Rightarrow & \cos^3 x + \cos^2 x - 2\cos x - 2=0\\ \Rightarrow & \cos^2 x (\cos x + 1) - 2(\cos x + 1)=0\\ \Rightarrow & (\cos^2x-2)(\cos x + 1)=0\\ \Rightarrow & \cos^2x=2 \ \vee \ \cos x = -1\\ \end{split}
Karena tidak ada nilai $x$ yang memenuhi pada persamaan $\cos^2x=2$ maka haruslah $\cos x = -1$. Pada interval $0 \leq x \leq 5\pi$ terdapat $x=\pi$, $x=3\pi$ dan $x=5\pi$ yang memenuhi $\cos x = -1$
Jadi terdapat 3 nilai $x$ yang memenuhi persamaan

Soal #4
Jika vektor \(\mathbf{u} = (a,b)\) dicerminkan pada garis \(x=y\) kemudian dirotasikan sejauh 90° dengan pusat (0,0) menjadi vektor \(\mathbf{v}\), maka \(\mathbf{u}+\mathbf{v}=\ldots\)
Solusi #4
\(\mathbf{u} = (a,b)\) dicerminkan pada garis \(x=y\) menghasilkan bayangan \(\mathbf{u'} = (b,a)\)
\(\mathbf{u'} = (b,a)\) dirotasikan sejauh dirotasikan sejauh 90° dengan pusat (0,0) menghasilkan \(\mathbf{v} = (-a,b)\)
Jadi \(\mathbf{u}+\mathbf{v}= (a,b) + (-a,b) = (0,2b)\)

Soal #5
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan $P$ merupakan titik tengah $BF$, dan $Q$ merupakan titik tengah $DC$. Jika $\angle PHQ = \theta$, maka $\cos \theta = \ldots$
Solusi #5
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 245: MATEMATIKA SAINTEK
Pertama-tama harus diketahui dulu panjang sisi segitiga PHQ. Misalkan panjang rusuk kubus di atas adalah $r$
\begin{split}
HQ^2 & =HD^2+DQ^2\\
& =r^2+\left( \frac{r}{2}\right)^2\\
& =\frac{5}{4}r^2\\
\Rightarrow & HQ=\frac{r}{2}\sqrt{5}
\end{split}
\begin{split}
HP^2 & =HG^2+GF^2+FP^2\\
& =r^2+r^2+\left( \frac{r}{2}\right)^2\\
& =\frac{9}{4}r^2\\
\Rightarrow & HP=\frac{3r}{2}
\end{split}
\begin{split}
PQ^2 & =PB^2+BC^2+CQ^2\\
& =\left( \frac{r}{2}\right)^2+r^2+\left( \frac{r}{2}\right)^2\\
& =\frac{3}{2}r^2
\end{split}
Dengan menggunakan aturan cosinus diperoleh
\begin{split}
\cos \theta &= \frac{HP^2+HQ^2-PQ^2}{2\cdot HP \cdot HQ}\\
&=\frac{\frac{9}{4}r^2+\frac{5}{4}r^2-\frac{3}{2}r^2}{2 \cdot \frac{3r}{2}\cdot \frac{r}{2}\sqrt{5}}\\
&=\frac{2r^2}{\frac{3r^2}{2}\sqrt{5}} \\
&=\frac{4}{3\sqrt{5}}\\
&=\frac{4}{15}\sqrt{5}
\end{split}

Soal #6
Jika sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^3-3x+5$ adalah $3x^2-2$, dan sisa pembagian $(x + f(x))^2$ oleh $x^3-3x+5$ adalah $ax^2+bx+c$, maka $a-b-c=\ldots$
Solusi #6
Misalkan
$f = f(x)$
$h = h(x)$
$q = q(x) = x^3-3x+5$
$s = s(x) = 3x^2-2$
$f = hq + s$ maka $f^2 = h^2q^2 + 2hqs + s^2$
\begin{split} &(x+f(x))^2 \\ = & (x+f)^2\\ = & x^2+2xf+f^2\\ = & x^2+2x(hq+s)+(h^2q^2+2hqs+s^2)\\ = & x^2+{\color{Blue} {2xhq}}+2xs+{\color{Blue} {h^2q^2}}+{\color{Blue} {2hqs}}+s^2 \end{split}
Suku-suku yang diwarnai biru habis dibagi $q$, sehingga tinggal mencari sisa pembagian $x^2+2xs+s^2$ oleh $q$. \begin{split} & x^2+2xs+s^2\\ = & x^2+2x(3x^2-2)+(3x^2-2)^2\\ = & 9x^4+6x^3-11x^2-4x+4 \end{split} Dengan menggunakan pembagian bersusun $9x^4+6x^3-11x^2-4x+4$ dibagi oleh $x^3-3x+5$ diperoleh sisa $16x^2-31x-26$. Sehingga $a = 16$, $b = -31$, dan $c = −26$
Jadi \begin{split} a − b − c & = 16 − (−31) − (−26)\\ & = 73 \end{split}

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik \(y = 3^x+1\) jika ...
Solusi #7
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan \(3^x = y\) \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ & 2y^3-1 < y^2\\ & 2y^3-y^2-1 < 0\\ & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena \(2y^2+y+1\) definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & x < 0 \end{split}
Jadi nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(x < 0\)

Soal #8
$\lim_{h \to 0}\limits \dfrac{\tan(-x+h)-\tan(-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}}=\ldots$
Solusi #8
Substitusikan $x=u-h$
\begin{split} & \lim_{h \to 0} \frac{\tan(-x+h)-\tan(-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}}\\ = & \lim_{h \to 0} \frac{\tan(-(u-h)+h)-\tan(-(u-h)-h)}{h\sqrt{4-h^2}}\\ = & \lim_{h \to 0} \frac{\tan(-u+h+h)-\tan(-u+h-h)}{h\sqrt{4-h^2}}\\ = & \lim_{h \to 0} \frac{\tan(-u+2h)-\tan(-u)}{2h}\cdot \frac{2}{\sqrt{4-h^2}}\\ = & {\color{Blue} {\lim_{h \to 0} \frac{\tan(-u+2h)-\tan(-u)}{2h}}} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{2}{\sqrt{4-h^2}}\\ = & {\color{Blue} {\sec^2 (-u)}} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{2}{\sqrt{4-0^2}}\\ = & \lim_{h \to 0} \sec^2 (-x-h) \cdot 1\\ = & \sec^2 (-x)\\ = & \sec^2 x \end{split}
Jadi
$\lim_{h \to 0}\limits \dfrac{\tan(-x+h)-\tan(-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}}=\sec^2 x$

Soal #9
Jika dalam sebuah barisan geometri jumlah 10 suku pertamanya adalah 341 dan $u_{n+2} : u_{n-1} = 8$, maka $u_1 + u_4 = \ldots$
Solusi #9
\begin{split} & \frac{u_{n+2}}{u_{n-1}}=8\\ \Rightarrow & \frac{ar^{n+1}}{ar^{n-2}}=8\\ \Rightarrow & r^3=8\\ \Rightarrow & r=2 \end{split} jumlah 10 suku pertamanya adalah 341 berarti \begin{split} & \frac{a(r^{10}-1)}{r-1}=341\\ \Rightarrow & \frac{a(2^{10}-1)}{2-1}=341\\ \Rightarrow & 1023a=341\\ \Rightarrow & a=\frac{1}{3} \end{split}
Jadi \begin{split} u_1+u_4 & = a+ar^3\\ & = \frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot 8\\ & = \frac{1}{3}+\frac{8}{3}\\ & = 3 \end{split}

Soal #10
Nilai konstanta positif $a$ yang mungkin sehingga $\dfrac{451}{50}$ merupakan nilai minimum dari fungsi $f(x)=(a^2+1)x^2-2ax+10$ untuk $x \in \left[0,\dfrac{1}{2}\right]$ adalah ...
Solusi #10
grafik $f(x) = Ax^2 + Bx + C$ memiliki titik puncak \(\left(\dfrac{B}{-2A},\dfrac{D}{-4A}\right)\).

Oleh karena itu puncak fungsi tersebut terjadi di $x = \dfrac{a}{a^2+1}$; perhatikan bahwa nilai $x$ ini selalu berada pada interval $\left[0,\dfrac{1}{2}\right]$ untuk semua $a$ bilangan real positif. Akibatnya nilai minimum $f(x)$ adalah \(\dfrac{D}{-4A}\)
\begin{split} & \frac{D}{-4A} = \frac{451}{50}\\ \Rightarrow & \frac{B^2-4AC}{-4A}=\frac{451}{50}\\ \Rightarrow & \frac{4a^2-4\cdot (a^2+1)\cdot 10}{-4(a^2+1)}=\frac{451}{50}\\ \Rightarrow & \frac{-9a^2-10}{-a^2-1}=\frac{451}{50}\\ \Rightarrow & \frac{9a^2+10}{a^2+1}=\frac{451}{50}\\ \Rightarrow & 451a^2+451=450a^2+500\\ \Rightarrow & a^2 = 49\\ \Rightarrow & a = 7 \vee a = -7 \end{split}
Jadi nilai konstanta positif $a$ yang mungkin adalah 7

Soal #11
Diketahui \(f(x)=f(x+2)\) untuk setiap \(x\). Jika \(\int_0^2\limits f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7\limits f(x+8) \ dx =\ldots\)
Solusi #11
\(\int_0^2\limits f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1\limits f(x) \ dx + \int_1^2\limits f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1\limits f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2\limits f(x) \ dx = B-A\)
\begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split}
Misalkan \(I_1=\int_3^4\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+2\) \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+4\) \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+6\) \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split}
Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & 2B
\end{split}

Soal #12
Misalkan D daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, garis $y = 4$, dan kurva $y = x^2$. Jika garis $y = k$ membagi dua daerah D sama besar, maka $k^3 =\ldots$
Solusi #12
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 245: MATEMATIKA SAINTEK
Jika $y = x^2$ maka $x=\sqrt{y}$
Luas $D_1$ sama dengan luas $D_2$ maka
\begin{split}
& \int_k^4 \sqrt{y} \ dy = \int_0^k \sqrt{y}\ dy \\
\Rightarrow & \left[ \frac{2}{3}y\sqrt{y}\right]_k^4=\left[ \frac{2}{3}y\sqrt{y}\right]_0^k\\
\Rightarrow & \frac{16}{3}-\frac{2}{3}k\sqrt{k}= \frac{2}{3}k\sqrt{k}-0\\
\Rightarrow & \frac{16}{3}= \frac{4}{3}k\sqrt{k}\\
\Rightarrow & k\sqrt{k}=4\\
\Rightarrow & (k\sqrt{k})^2=4^2\\
\Rightarrow & k^3=16
\end{split}
Jadi $k^3=16$

Soal #13
Banyaknya bilangan genap \(n = abc\) dengan tiga digit sehingga \(3 < b < c\) adalah ...
Solusi #13
Nilai \(c\) yang mungkin adalah 6 atau 8.

Jika \(c = 6\) maka \(b = 4\) atau \(b = 5\); terdapat 2 kemungkinan.

Jika \(c = 8\) maka \(b = 4\) atau \(b = 5\) atau \(b = 6\) atau \(b = 7\); terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar \(3 < b < c\) ada sebanyak 6.

Nilai \(a\) yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk \(a\), sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = 54
Jadi terdapat sebanyak 54 bilangan

Soal #14
Garis singgung kurva \(y = 3 − x^2\) di titik \(P(−a,b)\) dan \(Q(a,b)\) memotong sumbu \(y\) di titik \(R\). Nilai \(a\) yang membuat segitiga \(PQR\) sama sisi adalah ...
Solusi #14
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 245: MATEMATIKA SAINTEK
Karena segitiga \(PQR\) sama sisi, maka \(\theta = 60^{\circ}\), sehingga gradien garis singgung yang melalui \(P\) adalah \(\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}\)

Gradien garis singgung di titik \(P\) merupakan nilai turunan pertama \(y\) di titik \((-a,b)\). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{split}
Jadi nilai \(a=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Soal #15
Misalkan $g$ adalah garis singgung lingkaran $x^2+y^2=25$ di titik $A(3,4)$. Jika garis singgung tersebut ditransformasikan dengan matriks rotasi \(\begin{pmatrix} \dfrac{3}{5} & \dfrac{4}{5} \\ -\dfrac{4}{5} & \dfrac{3}{5}\end{pmatrix}\), maka absis antara titik potong antara garis singgung lingkaran dengan garis hasil transformasi adalah ...
Solusi #15
Persamaan garis $g$ adalah $3x + 4y = 25$. Kemudian garis $g$ ini ditransformasikan, misalkan garis hasil transformasinya adalah $ax' + by' = c$. maka \begin{split} & \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{3}{5} & \dfrac{4}{5} \\ -\dfrac{4}{5} & \dfrac{3}{5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \dfrac{3}{5} & -\dfrac{4}{5} \\ \dfrac{4}{5} & \dfrac{3}{5}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{3}{5}x' -\dfrac{4}{5}y' \\ \dfrac{4}{5}x'+ \dfrac{3}{5}y'\end{pmatrix}\\ \end{split} substitusikan \(x=\dfrac{3}{5}x' -\dfrac{4}{5}y'\) dan \(y=\dfrac{4}{5}x'+ \dfrac{3}{5}y'\) ke persamaan garis singgung diperoleh
\begin{split} & 3x+4y=25\\ \Rightarrow & 3\left(\frac{3}{5}x' -\frac{4}{5}y'\right) + 4\left(\frac{4}{5}x'+ \frac{3}{5}y'\right) = 25\\ \Rightarrow & \frac{9}{5}x' -\frac{12}{5}y' + \frac{16}{5}x'+ \frac{12}{5}y' =25\\ \Rightarrow & 5x'=25\\ \Rightarrow & x'=5 \end{split}
Karena persamaan bayangannya adalah $x = 5$ maka absis titik potongnya pasti 5

Click to comment