Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Diketahui 1 + √3 adalah salah satu akar x2ax + b = 0 dengan b bilangan real positif dan a suatu bilangan bulat. Nilai terkecil a adalah ...
Solusi #46
Misalkan persamaan kuadrat di atas memiliki akar x1 = 1 + √3 dan x2 maka \begin{split} & x_1 + x_2 = a\\ \Rightarrow & 1+\sqrt{3}+x_2 = a \end{split} Karena a bilangan bulat maka haruslah x2 = p − √3 untuk suatu p bilangan bulat.

b bilangan real positif \begin{split} & x_1 \cdot x_2 = b > 0\\ \Rightarrow & (1+\sqrt{3})(p-\sqrt{3}) > 0\\ \Rightarrow & p-\sqrt{3} > 0\\ \Rightarrow & p > \sqrt{3} \end{split} Karena p bilangan bulat maka p ∈ {2,3,4,...}
Jadi nilai terkecil untuk a adalah p + 1 = 2 + 1 = 3

Soal #47
Jika A2x = 2, maka \(\frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots\)
Solusi #47
A2x = 2 maka Ax = 2 \begin{split}
& \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}-A^{-3x}} \\
= & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3-(\sqrt{2})^{-3}}\\
= & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\
= & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Red}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\
= & \frac{32-1}{16+2}\\
= & \frac{31}{18}
\end{split}
Jadi jawabannya adalah \(\frac{31}{18}\)

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
Solusi #48
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 344: Matematika Dasar

Berdasarkan gambar di atas garis y = mx membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan AB = CD sehingga \begin{split}
& AB=CD \\
\Rightarrow & 12-m=5m\\
\Rightarrow & m=2
\end{split}
Jadi m = 2

Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi \(\frac{x}{2-x} > \frac{2+x}{x}\) adalah ...
Solusi #49
\begin{split} & \frac{x}{2-x} > \frac{2+x}{x}\\ \Rightarrow & \frac{x}{2-x} - \frac{2+x}{x} > 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2-(2-x)(2+x)}{x(2-x)} > 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2-4+x^2}{x(2-x)} > 0\\ \Rightarrow & \frac{2x^2-4}{x(2-x)} > 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2-2}{x(2-x)} > 0\\ \Rightarrow & \frac{(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})}{x(2-x)} > 0 \end{split} Pembuat 0 dari pertidaksamaan di atas adalah −√2, 0, √2 dan 2. Kemudian uji pada garis bilangan sehingga ditemukan solusi −√2 < x < 0 atau √2 < x < 2
Jadi semua nilai x yang memenuhi adalah −√2 < x < 0 atau √2 < x < 2

Soal #10
Jika grafik y = x2 − (9 + a)x + 9a diperoleh dari grafik fungsi y = x2 − 2x − 3 melalui pencerminan terhadap garis x = 4, maka a = ...
Solusi #10
Titik (x,y) diceriminkan terhadap garis x = 4 menghasilkan bayangan (x',y') dengan

x' = 8 − x atau x = 8 − x' 
y' = y

Substitusikan ke y = x2 − 2x − 3 diperoleh y' = (8 − x')2 − 2(8 − x') − 3 atau

y' = x'2 − 14x' + 45

Dengan menyemakan koefisien y' dan y = x2 − (9 + a)x + 9a diperoleh 9a = 45
Jadi a = 5

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #51
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72
Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Diberikan \(f(x)=\frac{1}{x-1}\) dan g(x) = x + 1. Semua bilangan real x yang memenuhi (fg)(x) < f(x)g(x) adalah ...
Solusi #52
\begin{split} & (f \circ g)(x) < f(x)g(x)\\ \Rightarrow & \frac{1}{(x+1)-1} < \frac{1}{x-1} \cdot (x+1)\\ \Rightarrow & \frac{1}{x} < \frac{x+1}{x-1}\\ \Rightarrow & \frac{1}{x} - \frac{x+1}{x-1} < 0\\ \Rightarrow & \frac{(x-1)-x(x+1)}{x(x-1)} < 0\\ \Rightarrow & \frac{x-1-x^2-x)}{x(x-1)} < 0\\ \Rightarrow & \frac{-1-x^2}{x(x-1)} < 0\\ \Rightarrow & \frac{1}{x(x-1)} > 0\\ \end{split}
Pembuat 0 pada pertidaksamaan di atas adalah 0 dan 1, Kemudian uji pada garis bilangan sehingga ditemukan solusi x < 0 atau x > 1
Jadi semua bilangan real x yang memenuhi adalah x < 0 atau x > 1

Soal #53
Jika \(f(x + 2) = \frac{2}{x}\), untuk x ≠ 0, maka (f−1f−1)(x) = ...
Solusi #53
Jika \(f(x + 2) = \frac{2}{x}\) maka \(f^{-1}\left(\frac{2}{x}\right)=x+2\), ganti x dengan \(\frac{2}{x}\) sehingga \[f^{-1}(x)=\frac{2}{x}+2\] akibatnya \begin{split} & (f^{-1} \circ f^{-1})(x)\\ = & f^{-1}(f^{-1}(x))\\ = & \frac{2}{f^{-1}(x)}+2\\ = & \frac{2}{\frac{2}{x}+2}+2\\ = & \frac{2}{\frac{2+2x}{x}}+2\\ = & \frac{2x}{2+2x}+2\\ = & \frac{2x+4+4x}{2+2x}\\ = & \frac{6x+4}{2x+2}\\ = & \frac{3x+2}{x+1} \end{split}
Jadi \((f^{-1} \circ f^{-1})(x)=\frac{3x+2}{x+1}\)

Soal #54
Diketahui matriks \(A=\begin{pmatrix} 4 & a\\b & 2\end{pmatrix}\) dan \(B=\begin{pmatrix} a & b\\4 & 2\end{pmatrix}\). Jika C adalah matriks berukuran 2×2 yang memiliki invers dan matriks AC maupun matriks BC tidak memiliki invers, maka a2 + b2 = ...
Solusi #54
matriks AC dan BC tidak memiliki invers tetapi A memiliki invers maka haruslah A dan B tidak memiliki invers dengan kata lain det(A) = 0 dan det(B) = 0

det(A) = 0 maka 8 − ab = 0 atau ab = 8
det(B) = 0 maka 2a − 4b = 0 atau a = 2b

Substitusikan kedua persamaan terakhir di atas sehingga diperoleh b = ±2 dan a = ±4
Jadi a2 + b2 = 16 + 4 = 20

Soal #55
Misalkan Uk dan Sk berturut-turut menyatakan suku ke-k dan jumlah k suku pertama suatu barisan aritmatika. Jika U2 + U4 + U6 + U8 + U10 = 72, maka S13 = ...
Solusi #55
\begin{split} & U_2+U_4+U_6+U_8+U_{10}+U_{12}=72\\ \Rightarrow & a+b+a+3b+a+5b+a+7b+a+9b+a+11b=72\\ \Rightarrow & 6a+36b=72\\ \Rightarrow & a+6b=12 \end{split}
\begin{split} S_{13} & = \frac{13}{2}(2a+(13-1)b)\\ & = \frac{13}{2}(2a+12b)\\ & = 13(a+6b)\\ & = 13 \cdot 12\\ & = 156 \end{split}
Jadi S13 = 156

Soal #56
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 344: Matematika Dasar
Diketahui luas segitiga sama kaki XYZ adalah 16 cm2. Titik A dan B berturut-turut adalah titik tengah XY dan XZ seperti pada gambar. Jika C titik pada YZ sehingga XC tegak lurus YZ, maka luas daerah yang diarsir adalah ... cm2.
Solusi #56
Luas segitga XYZ adalah 16 maka \(\frac{1}{2}YZ \cdot XC = 16\)
Segitiga ABX dan segitiga YZX sebangun dengan perbandingan 1 : 2 akibatnya \(AB=\frac{1}{2}YZ\) dan \(DX=\frac{1}{2}CX\)

Luas segitiga ABX = \begin{split} & \frac{1}{2}AB \cdot DX \\ = & \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}YZ \cdot \frac{1}{2}CX \\ = & \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}YZ \cdot CX \\ = & \frac{1}{4} \cdot 16\\ = & 4 \end{split} Sehingga Luas AYZB = Luas XYZ − Luas ABX = 16 − 4 = 12
Jadi Luas daerah yang diarsir adalah \(\frac{1}{2}\cdot 12=6\) cm2

Soal #57
Jangkaun dan rata-rata nilai ujian 6 siswa adalah 6. Jika median data tersebut adalah 6 dan jumlah dua nilai tertinggi adalah 17, maka selisih kuartil ke-1 dan kuartil ke-3 adalah ...
Solusi #57
Misalkan nilai 6 siswa tersebut telah diurutkan yaitu a, b, c, d, e, dan f. maka selisih kuartil ke-1 dan kuartil ke-3 adalah eb

Jangkauan 6 berarti fa = 6 ...(1)

Median 6 berarti (c + d)/2 = 6 atau c + d = 12 ...(2)

Rata-rata 6 berarti (a + b + c + d + e + f )/6 = 6 atau
a + b + c + d + e + f = 36 ...(3)

Jumlah dua nilai tertinggi adalah 17 berarti e + f = 17 ...(4)

Dengan mensubtitusi persamaan (2) dan (4) ke persamaan (3) diperoleh
a + b +12 +17 = 36 atau a + b = 7 ...(5)

Jumlahkan persamaan (5) dan persamaan (1) diperoleh
a + b = 7
fa = 6
b + f = 13 ...(6)

Kurangkan persamaan (4) dengan persamaan (6) diperoleh
e + f = 17
b + f = 13
eb = 4
Jadi selisih kuartil ke-1 dan kuartil ke-3 adalah 4

Soal #58
Jika f(x) = x2 + ax + b dengan f(2) = 0 dan \(\lim_{x \to 2} \frac{f(x+1)-f(x)}{x-2}=2\), maka b = ...
Solusi #58
f(2) = 0 berarti 4 + 2a + b = 0 atau 2a + b = −4

\begin{split} & \lim_{x \to 2} f(x+1)-f(x)=0\\ \Rightarrow & f(3)-f(2)=0\\ \Rightarrow & 9+3a+b-4-2a-b=0\\ \Rightarrow & a=-5 \end{split} Substitusi a = −5 ke 2a + b = −4 diperoleh b = 6
Jadi b = 6

Soal #59
Jika ax + y = 4, x + by = 7 dan ab = 2 maka x + y = ...
Solusi #59
Kalikan persamaan pertama dengan b menghasilkan abx + by = 4b atau
2x + by = 4b
x + by = 7

Kurangkan kedua persamaan di atas didapatkan x = 4b − 7

Kalikan persamaan kedua dengan a menghasilkan ax + aby = 7a atau
ax + 2y = 7a
ax + y = 4

Kurangkan kedua persamaan di atas didapatkan y = 7a − 4
Jadi x + y = 7a + 4b − 11

Soal #60
Semua bilangan real x yang memenuhi \(\frac{1}{|x-1|} < \frac{1}{2-x}\) adalah ...
Solusi #60
Jika x − 1 ≥ 0 atau x ≥ 1 \begin{split} & \frac{1}{x-1} < \frac{1}{2-x}\\ \Rightarrow & \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}\\ \Rightarrow & \frac{2x-3}{(x-1)(x-2)}\\ \end{split} Pembuat 0 dari pertidaksamaan di atas adalah x = 1, x = 3/2 dan x = 2. Kemudian uji pada garis bilangan x ≥ 1 diperoleh
3/2 < x < 2

Jika x < 1 \begin{split} & \frac{1}{-x+1} < \frac{1}{2-x}\\ \Rightarrow & \frac{-1}{x-1}+\frac{1}{x-2} < 0 \\ \Rightarrow & \frac{1}{(x-1)(x-2)} < 0\\ \end{split} Pembuat 0 dari pertidaksamaan di atas adalah x = 1 dan x = 2. Kemudian uji pada garis bilangan x < 1 diperoleh
1 < x < 2 [tidak sesuai dengan x < 1]
Jadi semua bilangan yang memenuhi adalah \(\frac{3}{2} < x < 2\)

2 komentar

avatar

maaf mas, sy blm punya yang kode 356. kalau mau silahkan kirim scan yang 356 ke agus.haryadi89@gmail.com. thx

Click to comment