Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Misalkan a ≠ 0, serta x1 dan x2 adalah akar-akar x2 − \(\left(a+\frac{1}{a}\right)\)x + 1 = 0. Jika persamaan x2 + bx + c = 0 memiliki akar-akar 2x1 dan 2x2, maka 2a2 + c + ab = ...
Solusi #46
x2 − \(\left(a+\frac{1}{a}\right)\)x + 1 = 0 memiliki akar x1 dan x2 maka

x1 + x2 = a + \(\frac{1}{a}\) dan x1x2 = 1

x2 + bx + c = 0 memiliki akar 2x1 dan 2x2 maka
\begin{split}
& 2x_1 + 2x_2 = -b\\
\Rightarrow & 2(x_1 + x_2)=-b\\
\Rightarrow & 2\left(a+\frac{1}{a}\right)=-b\\
\Rightarrow & 2a^2+2=-ab\\
\Rightarrow & 2a^2+ab=-2
\end{split}
\begin{split}
& 2x_1 \cdot 2x_2 = c\\
\Rightarrow & 4(x_1 x_2)=c\\
\Rightarrow & c=4
\end{split}
Jadi 2a2 + c + ab = 4 − 2 = 2

Soal #47
Jika A2x = 2, maka \(\frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots\)
Solusi #47
A2x = 2 maka Ax = 2 \begin{split}
& \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}-A^{-3x}} \\
= & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3-(\sqrt{2})^{-3}}\\
= & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\
= & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Red}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\
= & \frac{32-1}{16+2}\\
= & \frac{31}{18}
\end{split}
Jadi jawabannya adalah 31/18

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
Solusi #48
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 342: Matematika Dasar

Berdasarkan gambar di atas garis y = mx membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan AB = CD sehingga \begin{split}
& AB=CD \\
\Rightarrow & 12-m=5m\\
\Rightarrow & m=2
\end{split}
Jadi m = 2

Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi \(\frac{x}{x+2} > \frac{x-2}{x}\) adalah ...
Solusi #49
\begin{split}
& \frac{x}{x+2} > \frac{x-2}{x}\\
\Rightarrow & \frac{x}{x+2} -  \frac{x-2}{x} > 0\\
\Rightarrow & \frac{x^2-(x-2)(x+2)}{x(x+2)} > 0\\
\Rightarrow & \frac{x^2-(x^2-4)}{x(x+2)} > 0\\
\Rightarrow & \frac{4}{x(x+2)} > 0\\
\end{split} Pembuat nol dari pertidaksamaan di atas adalah x = −2 dan x = 0. Dengan mengujinya pada garis bilangan didapatkan penyelesaian x < −2 atau x > 0
Jadi bilangan real x yang memenuhi adalah x < −2 atau x > 0

Soal #50
Jika grafik y = x2 − (9 + a)x + 9a diperoleh dari grafik fungsi y = x2 − 2x − 3 melalui pencerminan terhadap garis x = 4, maka a = ...
Solusi #50
Titik (x,y) diceriminkan terhadap garis x = 4 menghasilkan bayangan (x',y') dengan

x' = 8 − x atau x = 8 − x' 
dan
y' = y

Substitusikan ke y = x2 − 2x − 3 diperoleh y' = (8 − x')2 − 2(8 − x') − 3 atau jika disederhanakan menjadi

y' = x'2 − 14x' + 45 

Dengan menyamakan koefisien  y' dan y = x2 − (9 + a)x + 9a
Jadi 9a = 45 atau a = 5

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #51
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72
Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Jika \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\) dan g(x) = 10 − x2, maka bilangan real yang memenuhi (fg)(x) > −2 adalah ...
Solusi #52
\begin{split}
& (f \circ g)(x) > −2\\
\Rightarrow & \frac{1}{\sqrt{1-(10-x^2)}} > -2\\
\Rightarrow & \frac{1}{\sqrt{x^2-9}}>-2
\end{split} Syarat agar solusinya bilangan real adalah x2 − 9 > 0 dengan kata lain x < −3 atau x > 3
Jadi bilangan real yang memenuhi adalah x < −3 atau x > 3

Soal #53
Jika f dan g mempunyai invers dan memenuhi f(x + 5) = g(2x − 1), maka 2f−1(x) = ...
Solusi #53
Substitusi u = 2x − 1 atau \(x=\frac{u+1}{2}\) pada f(x + 5) = g(2x − 1) sehingga \(f\left(\frac{u + 1}{2} + 5\right)= g(u)\) atau \(g(x)=f\left(\frac{x+11}{2}\right)\)

Misalkan g(x) = y maka x = g−1(y) \begin{split} & y=f\left(\frac{x+11}{2}\right)\\ \Rightarrow & f^{−1}(y)=\frac{x+11}{2}\\ \Rightarrow & 2f^{−1}(y)=x+11\\ \Rightarrow & 2f^{−1}(y)=g^{−1}(y)+11\\ \Rightarrow & 2f^{−1}(x)=g^{−1}(x)+11 \end{split}
Jadi 2f−1(x) = g−1(x) + 11

Soal #54
Jika matriks \(A=\begin{pmatrix} a & b\\c & d\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix} 2c & 2d\\a+c & b+d\end{pmatrix}\), dan det(A) = 5 maka det(B) = ...
Solusi #54
det(A) = 5 maka adbc = 5 \begin{split}
& \det(B)\\
= & 2c(b+d)-2d(a+c)\\
= & 2bc+2cd-2ad-2cd\\
= & 2bc-2ad\\
= & -2(ad-bc)\\
= & -10
\end{split}
Jadi det(B) = −10

Soal #55
Jika alog(b − 2), alog(b), alog(b + 4) adalah tiga suku berurutan suatu barisan aritmatika dan jumlah tiga suku tersebut adalah 6, maka 2a + b = ...
Solusi #55
Barisan aritmatika \begin{split} & ^a \log (b) -\ ^a \log (b-2) =\ ^a \log (b+4) -\ ^a \log (b)\\ \Rightarrow & ^a \log (\frac{b}{b-2})=\ ^a \log (\frac{b+4}{b})\\ \Rightarrow & \frac{b}{b-2}=\frac{b+4}{b}\\ \Rightarrow & b^2=(b-2)(b+4)\\ \Rightarrow & b^2=b^2+2b-8\\ \Rightarrow & 2b=8\\ \Rightarrow & b=4 \end{split} Jumlah tiga suku tersebut adalah 6 \begin{split} & ^a \log (b-2)+\ ^a \log (b)+\ ^a \log (b+4)=6\\ \Rightarrow & ^a \log 2 + \ ^a \log 4 + \ ^a \log 8 = 6\\ \Rightarrow & ^a \log 64 = 6\\ \Rightarrow & a^6=64\\ \Rightarrow & a=2 \end{split}
Jadi 2a + b = 4 + 4 = 8

Soal #56
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 342: Matematika Dasar
Diketahui BC sejajar dengan DE seperti pada gambar. Jika BC = 6 cm, DE = 3 cm, dan jarak antara BC dan DE adalah 6 cm, maka jumlah luas segitiga ABC dan ADE adalah ... cm2
Solusi #56
\[\frac{t_1}{t_2}=\frac{6}{3} \Rightarrow t_1=2t_2\] \begin{split}
& t_1+t_2=6\\
\Rightarrow & 3t_2=6 \\
\Rightarrow & t_2=2 \text{ dan } t_1=4
\end{split} Luas segitiga ABC adalah \[\frac{BC \times t_1}{2}=12\] Luas segitiga ADE adalah \[\frac{DE \times t_2}{2}=3\]
Jadi luas segitiga ABC dan segitiga ADE adalah 12 + 3 = 15 cm2

Soal #57
Dalam suatu kelas terdapat 30 siswa. Rata-rata nilai mata pelajaran statistika mereka adalah 8. Rata-rata nilai tersebut tetap sama meskipun satu nilai terendah dan tertinggi dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan bulat positif yang tidak lebih besar dari 10 dan tidak semua siswa memperoleh nilai yang sama, maka nilai terendah yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #57
Total nilai 30 siswa adalah 30 × 8 = 240

Misalkan nilai yang terkecil adalah a dan yang terbesar adalah b maka \begin{split}
& \frac{240-a-b}{28}=8\\
\Rightarrow & 240-a-b=224\\
\Rightarrow & a+b=16
\end{split} Jadi pasangan bilangan (a,b) yang memenuhi hanyalah (7,9) dan (6,10).
Jadi nilai terendah yang mungkin ada sebanyak 2 yaitu 6 atau 7

Soal #58
Jika a dan b adalah bilangan bulat, serta \(\lim_{x \to a} \frac{x^2-bx}{a-x}=2\), maka nilai ab tak nol adalah ...
Solusi #58
\(\lim_{x \to a} \frac{x^2-bx}{a-x}=2\) adalah bentuk limit tak tentu 0/0 jadi \begin{split} & \lim_{x \to a} x^2-bx=0\\ \Rightarrow & a^2-ab=0\\ \Rightarrow & a(a-b)=0\\ \Rightarrow & a=0\text{ atau } a=b \end{split} karena a ≠ 0 maka a = b

Dengan aturan L'Hospital \begin{split} & \lim_{x \to a} \frac{x^2-bx}{a-x}=2\\ \Rightarrow & \lim_{x \to b} \frac{2x-b}{-1}=2\\ \Rightarrow & 2b-b=-2\\ \Rightarrow & b=-2 \end{split}
Jadi ab = (−2)(−2) = 4

Soal #59
Jika (x,y) = (1,3) dan (x,y) = (a,1) merupakan penyelesaian x − 2y = b dan cx + dy = 10, maka a + b + c + d = ...
Solusi #59
Substitusi x = 1 dan y = 3 ke persamaan x − 2y = b menghasilkan 1 − 6 = b atau b = −5
Substitusi x = a, y = 1 dan b = −5 ke persamaan x − 2y = b menghasilkan a − 2 = −5 atau a = −3
Substitusi x = 1 dan y = 3 ke persamaan cx + dy = 10 menghasilkan c + 3d = 10
Substitusi x = a = −3, y = 1 ke persamaan cx + dy = 10 menghasilkan −3c + d = 10
Dengan menyelesaikan SPLDV c + 3d = 10 dan −3c + d = 10 menghasilkan c = −2 dan d = 4
Jadi a + b + c + d = −3 − 5 − 2 + 4 = −6

Soal #60
Semua bilangan real x yang memenuhi x2 − 2x −5|x − 1| + 7 < 0 adalah ...
Solusi #60
Jika x − 1 ≥ 0 atau x ≥ 1 \begin{split} & x^2-2x−5(x − 1)+7 < 0\\ \Rightarrow & x^2-2x−5x+5+7 < 0\\ \Rightarrow & x^2-7x+12 < 0\\ \Rightarrow & (x-3)(x-4) < 0\\ \Rightarrow & 3 < x < 4 \end{split} Jika x − 1 < 0 atau x < 1 \begin{split} & x^2-2x+5(x − 1)+7 < 0\\ \Rightarrow & x^2-2x+5x-5+7 < 0\\ \Rightarrow & x^2+3x+2 < 0\\ \Rightarrow & (x+1)(x+2) < 0\\ \Rightarrow & -2 < x < -1 \end{split}
Jadi bilangan real yang memenuhi adalah -2 < x < -1 atau 3 < x < 4

Click to comment