Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Misalkan $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat dan merupakan akar-akar persamaan $x^2+ax-30=0$, maka nilai $a$ agar $m+n$ maksimum adalah ...
Solusi #46
Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar diperoleh $$m+n=-a$$ dan $$mn=-30$$ Pasangan bilangan bulat $(m,n)$ yang memenuhi $mn=-30$ adalah
(−30,1), (30,−1)
(−15,2), (15,−2)
(−10,3), (10,−3)
(−6,5), (6,−5)
Karena $m+n=-a$ maka nilai maksimum $a$
adalah nilai maksimum $-m-n$ yaitu ketika $m=-30$ dan $n=1$
Jadi nilai maksimum $a=-(-30)-1=29$

Soal #47
Jika \(A^{2x}=2\), maka \(\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots\)
Solusi #47
\(A^{2x}=2\) maka \(A^x=\sqrt{2}\) \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}-A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3-(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \frac{31}{18} \end{split}
Jadi jawabannya adalah \(\dfrac{31}{18}\)

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
Solusi #48
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 339: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis $y=mx$ membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan $AB=CD$ sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & m=2 \end{split}
Jadi $m=2$

Soal #49
Semua bilangan real $x$ yang memenuhi $\dfrac{x-2}{x+3} \leq \dfrac{2x-3}{2x}$ adalah ...
Solusi #49
\begin{split} & \frac{x-2}{x+3} \leq \frac{2x-3}{2x}\\ \Rightarrow & \frac{x-2}{x+3} - \frac{2x-3}{2x} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{2x(x-2)-(2x-3)(x+3)}{(x+3)2x} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{-7x+9}{(x+3)2x} \leq 0 \end{split}
Pembuat 0 nya adalah $x=-3$, $x=0$ dan $x=\dfrac{9}{7}$, Kemudian uji pada garis bilangan sehingga diperoleh solusi
$$-3 < x < 0 \ \vee \ x \geq \frac{9}{7}$$

Soal #50
Jika grafik $y=x^2-(9+a)x+9a$ diperoleh dari grafik fungsi $y=x^2-2x-3$ melalui pencerminan terhadap garis $x=4$, maka $a=\ldots$
Solusi #50
Titik $(x,y)$ diceriminkan terhadap garis $x=4$ menghasilkan bayangan $(x',y')$ dengan $$x'=8-x$$ dan $$y'=y$$ Substitusikan ke $y=x^2-2x-3$ diperoleh $y'=(8-x')^2-2(8-x')-3$ atau $$y'=x'^2-14x'+45$$ Dengan menyamakan koefisien $y=x^2-(9+a)x+9a$ dan $y'=x'^2-14x'+45$ diperoleh $9a=45$ atau $9+a=14$
Jadi $a=5$

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #51
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72
Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Jika $f\left(\dfrac{x}{x+1}\right)=x$ dan $g(\sqrt{x})=x$, maka $(f \circ g)(4)=\ldots$
Solusi #52
Karena $(f \circ g)(4)=f(g(4))$, oleh karena itu terlebih dahulu akan dicari nilai dari $g(4)$

Subsitusi $x=16$ ke persamaan $g(\sqrt{x})=x$ diperoleh $g(4)=16$

Selanjutnya akan dicari nilai dari $f(g(4))=f(16)$ \begin{split} & \frac{x}{x+1}=16\\ \Rightarrow & x=16x+16\\ \Rightarrow & -15x=16\\ \Rightarrow & x=-\frac{16}{15} \end{split} Oleh karena itu $f(16)=-\dfrac{16}{5}$
Jadi $(f \circ g)(4)=-\dfrac{16}{5}$

Soal #53
Jika $f(x)=ax+b$ dan $f^{-1}(x)=bx+a$ untuk suatu bilangan negatif $a$ dan $b$, maka $a-b=\ldots$
Solusi #53
Misalkan $y=f(x)$ maka $x=f^{-1}(y)$ \begin{split} & f(x)=ax+b\\ \Rightarrow & y=ax+b\\ \Rightarrow & ax=y-b\\ \Rightarrow & x=\frac{1}{a}y-\frac{b}{a}\\ \Rightarrow & f^{-1}(y)=\frac{1}{a}y-\frac{b}{a}\\ \Rightarrow & f^{-1}(x)=\frac{1}{a}x-\frac{b}{a} \end{split} Karena $f^{-1}(x)=bx+a$ maka $$\dfrac{1}{a}=b \Rightarrow ab=1$$ dan $$-\dfrac{b}{a}=a \Rightarrow b=-a^2$$ Dengan mensubstitusikan $b=-a^2$ ke $ab=1$ diperoleh $-a^3=1$ akibatnya $a=-1$ dan diperoleh juga $b=-1$
Jadi $a-b=0$

Soal #54
Jika $\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, maka $\det P = \ldots$
Solusi #54
Misalkan $P=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
\begin{split} & \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & P \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & P \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & P \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} \end{split}

\begin{split} & \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & P \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & P \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & P \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a+b \\ c+d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a+3 \\ c-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \end{split}
Matriks $P=\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}$
Jadi $\det P =-3$

Soal #55
Misalkan $U_k$ dan $S_k$ berturut-turut menyatakan suku ke-$k$ dan jumlah $k$ suku pertama suatu barisan aritmetika. Jika
$U_2-U_4+U_6-U_8+U_{10}-U_{12}+U_{14}-U_{16}+U_{18}=20$
maka $S_{19}=\dots$
Solusi #55
\begin{split} & U_2-U_4+U_6-U_8+U_{10}-U_{12}+U_14-U_{16}+U_{18}=20\\ \Rightarrow & a+b-a-3b+a+5b-a-7b+a+9b-a-11b+a+13b-a-15b+a+17b=20\\ \Rightarrow & a+9b=20 \end{split}
\begin{split} S_{19} & =\frac{19}{2}(2a+18b)\\ & = 19(a+9b)\\ & = 19 \cdot 20 = 380\end{split}
Jadi $S_{19}=380$

Soal #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 341: MATEMATIKA DASAR
Nilai $a-b+c$ pada persegi panjang seperti pada gambar adalah ...
Solusi #56
Perhatikan segitiga PTS dan segitiga STR dari gambar di atas
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 341: MATEMATIKA DASAR
Kedua segitiga di atas sebangun, jadi berlaku hubungan \begin{split}
& \frac{ST}{PT}=\frac{TR}{TS}\\
\Rightarrow & \frac{b}{9}=\frac{16}{b}\\
\Rightarrow & b^2=144\\
\Rightarrow & b=12
\end{split} Dengan rumus pythagoras diperoleh $c=20$ dan $a=15$
Jadi $a-b+c=15-12+20=23$

Soal #57
Dalam suatu kelas terdapat 23 siswa. Rata-rata nilai ujian Matematika adalah 7. Terdapat 2 orang yang memperoleh nilai tertinggi dan 1 orang yang memperoleh nilai terendah. Rata-rata nilai mereka berkurang 0,1 jika semua nilai tertinggi dan nilai terendah dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan cacah satu angka, maka jumlah dua nilai tertinggi dikurangi nilai terendah adalah
Solusi #57
23 siswa dengan rata-rata 7 maka total nilainya adalah 23×7 = 161

Misalkan yang tertinggi adalah $a$ dan yang terendah $b$, maka total nilai 20 siswa sianya adalah $161-2a-b$. Berarti rata-ratanya adalah \begin{split} & \frac{161-2a-b}{20}=7-0.1\\ \Rightarrow & 161-2a-b=138\\ \Rightarrow & 2a+b=23 \end{split} Karena semua nilai tersebut berupa bilangan cacah satu angka maka nilai $a$ yang mungkin hanya 9 atau 8.
Jika $a=9$ maka $b=5$
Jika $a=8$ maka $b=7$, tetapi 7 tidak mungkin menjadi nilai terendah karena rata-ratanya 7
Jadi jumlah dua nilai tertinggi dikurangi nilai terendah adalah $2a-b=18-5=13$

Soal #58
Diketahui $f$ adalah fungsi kuadrat dengan $f(0)=0$ dan $f(2)=10$. Jika $\lim_{x \to 1}\limits \dfrac{x^2-x}{f(x)-1}=\dfrac{1}{5}$, maka $f(1)=\dots$
Solusi #58
Misalkan $f(x)=ax^2 + bx + c$

Karena $f(0)=0$ maka $c = 0$ atau $f(x) = ax^2+ bx$

Karena $f(2)=10$ maka $4a + 2b = 10$

Selanjutnya \begin{split} & \lim_{x \to 1} \frac{x^2-x}{f(x)-1}=\frac{1}{5}\\ \Rightarrow & \lim_{x \to 1} \frac{x^2-x}{ax^2+bx-1}=\frac{1}{5} \end{split} Limit di atas merupakan bentuk 0/0, oleh karena itu $a + b - 1 = 0$ atau $a + b = 1$

Dengan menyelesaikan SPLDV

$4a + 2b = 10$
$a + b = 1$

diperoleh nilai $a = 4$ dan $b=-3$, sehingga $f(x)=4x^2-3x$
Jadi $f(1)=1$

Soal #59
Jika $2x-y = -1$, $3x-2y = -3$, $ax - 2y = 4b$ dan $4x - ay = 2b$, maka $a + b = \ldots$
Solusi #59
Dengan menyelesaikan SPLDV \begin{split} 2x-y & =-1\\3x-2y & = -3 \end{split} diperoleh $x = 1$ dan $y = 3$, kemudian substitusi ke dua persamaan berikutnya \begin{split} a-6 & =4b\\a-3a & = 2b \end{split} selesaikan SPLDV di atas diperoleh $a = 2$ dan $b = -1$
Jadi $a + b = 1$

Soal #60
Semua bilangan real $x$ yang memenuhi \(\frac{x^2+1}{|x|-1} \leq x\) adalah
Solusi #60
Jika $x \geq 0$ dan $x \neq 1$ \begin{split} & \frac{x^2+1}{|x|-1} \leq x\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1}{x-1} - x \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1}{x-1} - \frac{x(x-1)}{x-1} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1-x(x-1)}{x-1} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{1+x}{x-1} \leq 0 \end{split} Pembuat 0 pada pertidaksamaan di atas adalah $x=1$ dan $x=-1$, kemudian uji pada garis bilangan $x \geq 0$ dan $x \neq 1$ diperoleh $0 \leq x < 1$

Jika $x \leq 0$ dan $x \neq -1$ \begin{split} & \frac{x^2+1}{|x|-1} \leq x\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1}{-x-1} - x \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1}{-x-1} - \frac{x(-x-1)}{-x-1} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1-x(-x-1)}{x-1} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{2x^2+x+1}{-x-1} \leq 0 \end{split} Karena $2x^2+x+1$ definit positif maka pembuat 0 pada pertidaksamaan di atas hanya $x=-1$, kemudian uji pada garis bilangan $x \leq 0$ dan $x \neq -1$ diperoleh solusi $x \geq -1$
Dengan menggabungkan kedua solusi di atas diperoleh solusi akhir $-1 < x < 1$

1 komentar:

Click to comment