Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Diketahui \(1-\sqrt{2}\) adalah salah satu akar \(x^2+ax+b=0\) dengan \(b\) bilangan real positif dan \(a\) suatu bilangan bulat. Nilai terkecil \(a\) adalah ...
Solusi #46
Misalkan persamaan kuadrat di atas memiliki akar \(x_1=1-\sqrt{2}\) dan \(x_2\) maka \begin{split} & x_1 + x_2 = -a\\ \Rightarrow & 1-\sqrt{2}+x_2 = -a \end{split} Karena \(a\) bilangan bulat maka haruslah \(x_2=p+\sqrt{2}\) untuk suatu bilangan bulat \(p\); akibatnya \(1+p=-a\) atau \(a=-1-p\)

\(b\) bilangan real negatif \begin{split} & x_1 \cdot x_2 = b > 0\\ \Rightarrow & (1-\sqrt{2})(p+\sqrt{2}) > 0\\ \Rightarrow & p+\sqrt{2} < 0\\ \Rightarrow & p < -\sqrt{2} \end{split} Karena \(p\) bilangan bulat maka \(p \in \{-2,-3,-4,\ldots\}\)
Oleh karena itu \(a \in \{1,2,3,\ldots\}\)
Jadi nilai terkecil \(a\) adalah 1

Soal #47
Jika \(A^{2x}=2\), maka \(\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots\)
Solusi #47
\(A^{2x}=2\) maka \(A^x=\sqrt{2}\) \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}-A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3-(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \frac{31}{18} \end{split}
Jadi jawabannya adalah \(\dfrac{31}{18}\)

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
Solusi #48
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 339: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis $y=mx$ membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan $AB=CD$ sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & m=2 \end{split}
Jadi $m=2$

Soal #49
Semua bilangan real \(x\) yang memenuhi \(-1 < \dfrac{x+1}{x-1} < 1\) adalah ...
Solusi #49
Pertidaksamaan di atas terdiri dari dua pertidaksamaan yaitu \(-1 < \dfrac{x+1}{x-1}\) dan \(\dfrac{x+1}{x-1} < 1\). Oleh karena itu akan diselesaikan kedua pertidaksamaan tersebut dan solusi akhirnya adalah irisan dari kedua himpunan penyelesaian dari dua pertidaksamaan. \begin{split} & -1 < \frac{x+1}{x-1}\\ \Rightarrow & \frac{x+1}{x-1}+1 > 0\\ \Rightarrow & \frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x-1} > 0\\ \Rightarrow & \frac{2x}{x-1} > 0\\ \Rightarrow & x < 0 \vee x > 1 \end{split} \begin{split} & \frac{x+1}{x-1} < 1\\ \Rightarrow & \frac{x+1}{x-1} - 1 < 0\\ \Rightarrow & \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x-1} < 0\\ \Rightarrow & \frac{2}{x-1} < 0\\ \Rightarrow & x < 1 \end{split}
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 339: MATEMATIKA DASAR
Jadi semua bilangan real \(x\) yang memenuhi adalah \(x < 0\)

Soal #50
Jika grafik $y=x^2-(9+a)x+9a$ diperoleh dari grafik fungsi $y=x^2-2x-3$ melalui pencerminan terhadap garis $x=4$, maka $a=\ldots$
Solusi #50
Titik $(x,y)$ diceriminkan terhadap garis $x=4$ menghasilkan bayangan $(x',y')$ dengan $$x'=8-x$$ dan $$y'=y$$ Substitusikan ke $y=x^2-2x-3$ diperoleh $y'=(8-x')^2-2(8-x')-3$ atau $$y'=x'^2-14x'+45$$ Dengan menyamakan koefisien $y=x^2-(9+a)x+9a$ dan $y'=x'^2-14x'+45$ diperoleh $9a=45$ atau $9+a=14$
Jadi $a=5$

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #51
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72
Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Jika tabel berikut menyatakan hasil fungsi $f$ dan $g$
$x$ 0 1 2 3
$f(x)$ 1 3 1 −1
$g(x)$ 2 0 1 2
maka
$(f \circ g \circ f)(1) - (g \circ f \circ g)(2) = \ldots$
Solusi #52
\begin{split} & (f \circ g \circ f)(1)\\ = & f(g(f(1)))\\ = & f(g(3))\\ = & f(2)\\ = & 1 \end{split} \begin{split} & (g \circ f \circ g)(2)\\ = & g(f(g(2)))\\ = & g(f(1))\\ = & g(3)\\ = & 2 \end{split}
Jadi
$(f \circ g \circ f)(1) - (g \circ f \circ g)(2) = 1 - 2 =-1$

Soal #53
Jika fungsi $f$ dan $g$ mempunyai invers dan memnuhi $g(x-2)=f(x+2)$, maka $g^{−1}(x)=\dots$
Solusi #53
ganti $x$ dengan $x+2$ pada $g(x-2)=f(x+2)$ diperoleh $g(x+2−2)=f(x+2+2)$ atau $$g(x) = f(x + 4)$$ Misalkan $g(x) = f(x + 4) = y$ \[g(x)=y \Rightarrow x=g^{-1}(y)\] \[f(x+4)=y \Rightarrow x+4 = f^{-1}(y)\] dari dua persamaan di atas diperoleh \[g^{-1}(y)+4=f^{-1}(y)\]
Jadi $g^{−1}(x) = f^{−1}(x)-4$

Soal #54
Jika matriks \(A=\begin{pmatrix}2a & 2\\-4 & a \end{pmatrix}\) dan \(B=\begin{pmatrix}2b & b\\-4 & b \end{pmatrix}\) mempunyai invers, maka semua bilangan real $b$ yang memenuhi $\det(ABA^{-1}) > 0$ adalah ...
Solusi #54
\begin{split} & \det(ABA^{-1}) > 0\\ \Rightarrow & \det A \det B \det A^{-1} > 0\\ \Rightarrow & \det B > 0\\ \Rightarrow & 2b^2+4b > 0\\ \Rightarrow & 2b(b+2) > 0\\ \Rightarrow & b < -2 \vee b > 0 \end{split}
Jadi semua bilangan real $b$ yang memenuhi adalah $b < -2$ atau $b > 0$

Soal #55
Misalkan $U_k$ dan $S_k$ berturut-turut menyatakan suku ke-$k$ dan jumlah $k$ suku pertama suatu barisan aritmetika. Jika
$U_2-U_4+U_6-U_8+U_{10}-U_{12}+U_{14}-U_{16}+U_{18}=20$
maka $S_{19}=\dots$
Solusi #55
\begin{split} & U_2-U_4+U_6-U_8+U_{10}-U_{12}+U_14-U_{16}+U_{18}=20\\ \Rightarrow & a+b-a-3b+a+5b-a-7b+a+9b-a-11b+a+13b-a-15b+a+17b=20\\ \Rightarrow & a+9b=20 \end{split}
\begin{split} S_{19} & =\frac{19}{2}(2a+18b)\\ & = 19(a+9b)\\ & = 19 \cdot 20 = 380\end{split}
Jadi $S_{19}=380$

Soal #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 339: MATEMATIKA DASAR
Diketahui dua buah lingkaran dengan titik pusat yang sama, berturut-turut berjari-jari $R_1$ dan $R_2$ dengan $R_1 > R_2$. Jika panjang tali busur $AB=10$, maka selisih luas lingkaran tersebut adalah ... cm2
Solusi #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 339: MATEMATIKA DASAR
Selisih luas lingkaran
\begin{split}
=& \pi R_1^2 - \pi R_2^2\\
=& \pi OA^2 - \pi OC^2\\
=& \pi (OA^2-OC^2)\\
=& \pi AC^2\\
=& \pi 5^2\\
=& 25 \pi
\end{split}
Jadi selisih luas kedua lingkaran di atas adalah $25\pi$ cm2

Soal #57
Jangkauan dan rata-rata nilai ujian 6 siswa adalah 6. Jika median data tersebut adalah 6 dan selisih antara kuartil ke-1 dan ke-3 adalah 4, maka jumlah dua nilai ujian tertinggi adalah ...
Solusi #57
Misalkan nilai 6 siswa tersebut telah diurutkan yaitu a, b, c, d, e, dan f. maka jumlah dua nilai tertinggi adalah e + f

Jangkauan 6 berarti fa = 6 atau a = f − 6...(1)

Rata-rata 6 berarti (a + b + c + d + e + f )/6 = 6 atau
a + b + c + d + e + f = 36 ...(2)

Median 6 berarti (c + d)/2 = 6 atau c + d = 12 ...(3)

Q1 = b, Q3 = e dan selisihnya adalah 4 berarti eb = 4 atau b = e − 4...(4)

Kurangkan persamaan (2) dan (3) diperoleh
a + b + e + f = 24...(5)

Substitusikan persamaan (1) dan (4) ke persamaan (5) diperoleh
f − 6 + e − 4 + e + f = 24 atau 2e + 2f = 34
Jadi jumlah dua nilai terbesar e + f = 17

Soal #58
Diketahui $f$ adalah fungsi kuadrat dengan $f(0)=0$ dan $f(2)=10$. Jika $\lim_{x \to 1}\limits \dfrac{x^2-x}{f(x)-1}=\dfrac{1}{5}$, maka $f(1)=\dots$
Solusi #58
Misalkan $f(x)=ax^2 + bx + c$

Karena $f(0)=0$ maka $c = 0$ atau $f(x) = ax^2+ bx$

Karena $f(2)=10$ maka $4a + 2b = 10$

Selanjutnya \begin{split} & \lim_{x \to 1} \frac{x^2-x}{f(x)-1}=\frac{1}{5}\\ \Rightarrow & \lim_{x \to 1} \frac{x^2-x}{ax^2+bx-1}=\frac{1}{5} \end{split} Limit di atas merupakan bentuk 0/0, oleh karena itu $a + b - 1 = 0$ atau $a + b = 1$

Dengan menyelesaikan SPLDV

$4a + 2b = 10$
$a + b = 1$

diperoleh nilai $a = 4$ dan $b=-3$, sehingga $f(x)=4x^2-3x$
Jadi $f(1)=1$

Soal #59
Jika $−x + 3y = 9$, $4x + 3y = 12$, $ax + by = -13$, dan $ax - by = 19$, maka $ab = \ldots$
Solusi #59
Dengan menyelesaikan SPLDV
$−x + 3y = 9$
$4x + 3y = 12$
diperoleh nilai $x = \dfrac{3}{5}$ dan $y = \dfrac{16}{5}$ kemudian substitusi ke dua persamaan berikutnya \begin{split}
& \frac{3}{5}a+\frac{16}{5}b=-13\\
& \frac{3}{5}a-\frac{16}{5}b=19
\end{split} diperoleh nilai $a = 5$ dan $b = -5$
Jadi $ab = -25$

Soal #60
Semua bilangan real x yang memenuhi \(\frac{x^2+1}{|x|-1} \geq x\) adalah
Solusi #60
Jika $x \geq 0$ dan $x \neq 1$ \begin{split} & \frac{x^2+1}{|x|-1} \geq x\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1}{x-1} - x \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1}{x-1} - \frac{x(x-1)}{x-1} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1-x(x-1)}{x-1} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{1+x}{x-1} \geq 0 \end{split} Pembuat 0 pada pertidaksamaan di atas adalah $x=1$ dan $x=-1$, kemudian uji pada garis bilangan $x \geq 0$ dan $x \neq 1$ diperoleh $x > 1$

Jika $x \leq 0$ dan $x \neq -1$ \begin{split} & \frac{x^2+1}{|x|-1} \geq x\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1}{-x-1} - x \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1}{-x-1} - \frac{x(-x-1)}{-x-1} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1-x(-x-1)}{x-1} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{2x^2+x+1}{-x-1} \geq 0 \end{split} Karena $2x^2+x+1$ definit positif maka pembuat 0 pada pertidaksamaan di atas hanya $x=-1$, kemudian uji pada garis bilangan $x \leq 0$ dan $x \neq -1$ diperoleh solusi $x < -1$
Jadi semua bilangan real $x$ yang memenuhi adalah $x > 1$ atau $x < 1$

Click to comment