Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Diketahui 1 + √2 adalah salah satu akar x2 + ax + b = 0 dengan b bilangan real negatif dan a suatu bilangan bulat. Nilai terkecil a adalah ...
Solusi #46
Misalkan persamaan kuadrat di atas memiliki akar x1 = 1 + √2 dan x2 maka \begin{split} & x_1 + x_2 = a\\ \Rightarrow & 1+\sqrt{2}+x_2 = -a \end{split} Karena a bilangan bulat maka haruslah x2 = p + √2 untuk suatu bilangan bulat p; akibatnya 1 + p = −a atau a = −1 − p

b bilangan real negatif \begin{split} & x_1 \cdot x_2 = b < 0\\ \Rightarrow & (1+\sqrt{2})(p-\sqrt{2}) < 0\\ \Rightarrow & p-\sqrt{2} < 0\\ \Rightarrow & p < \sqrt{2} \end{split} Karena p bilangan bulat maka p ∈ {1, 0, −1, −2, ...}

Oleh karena itu ∈ {−2, −1, 0, 1,...}
Jadi nilai terkecil a adalah −2

Soal #47
Jika A2x = 2, maka \(\frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots\)
Solusi #47
A2x = 2 maka Ax = 2 \begin{split}
& \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}-A^{-3x}} \\
= & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3-(\sqrt{2})^{-3}}\\
= & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\
= & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Red}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\
= & \frac{32-1}{16+2}\\
= & \frac{31}{18}
\end{split}
Jadi jawabannya adalah \(\frac{31}{18}\)

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
Solusi #48
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 326: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis y = mx membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan AB = CD sehingga \begin{split}
& AB=CD \\
\Rightarrow & 12-m=5m\\
\Rightarrow & m=2
\end{split}
Jadi m = 2

Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi \(\frac{x}{x-3} \leq \frac{x+3}{x+2}\) adalah ...
Solusi #49
\begin{split} & \frac{x}{x-3} \leq \frac{x+3}{x+2}\\ \Rightarrow & \frac{x}{x-3}-\frac{x+3}{x+2} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{x(x+2)-(x+3)(x-3)}{(x-3)(x+2)} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2+2x-(x^2-9)}{(x-3)(x+2)} \leq 0\\ \Rightarrow & \frac{2x+9}{(x-3)(x+2)} \leq 0 \end{split}
Pembuat 0 nya adalah x = −9/2, x = −2 dan x = 3. Kemudian uji pada garis bilangan diperoleh x ≤ −9/2 atau −2 ≤ x ≤ 3, tetapi pertidaksamaan di atas mensyaratkan penyebut tidak sama dengan nol atau x ≠ 2 dan x ≠ 3
Jadi semua bilangan real yang memenuhi adalah x ≤ −9/2 atau −2 < x < 3

Soal #50
Jika grafik y = x2 − (9 + a)x + 9a diperoleh dari grafik fungsi y = x2 − 2x − 3 melalui pencerminan terhadap garis x = 4, maka a = ...
Solusi #50
Titik (x,y) diceriminkan terhadap garis x = 4 menghasilkan bayangan (x',y') dengan

x' = 8 − x atau x = 8 − x'

dan

y' = y.

Substitusikan ke y = x2 − 2x − 3 diperoleh y' = (8 − x')2 − 2(8 − x') − 3 atau

y' = x'2 − 14x' + 45
Jadi 9 + a = 14 atau a = 5

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #51
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72
Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Jika fungsi f(x) = ax + b + 2 dan g(x) = ax − 4 memenuhi f(f(x)) = g(g(x)), maka ab + 6a + b = ...
Solusi #52
\begin{split} & f(f(x)) = g(g(x))\\ \Rightarrow & f(ax + b + 2) = g(ax − 4)\\ \Rightarrow & a(ax + b + 2) + b + 2 = a(ax - 4) - 4\\ \Rightarrow & a^2x + ab + 2a + b + 2 = a^2x - 4a - 4\\ \Rightarrow & ab+6a+b=-6 \end{split}
Jadi ab + 6a + b = −6

Soal #53
Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memenuhi f(x) = g(4 − 2x), maka f-1(x) = ...
Solusi #53
Misalkan f(x) = g(4 − 2x) = y maka
x = f−1(y) dan
4 − 2x = g-1(y)
Oleh karena itu \begin{split} & 4 - 2f^{-1}(y) = g^{-1}(y)\\ \Rightarrow & -2f^{-1}(y) = g^{-1}(y) - 4\\ \Rightarrow & f^{-1}(y)=2-\frac{g^{-1}(y)}{2} \end{split}
Jadi \[f^{-1}(x)=2-\frac{g^{-1}(x)}{2}\]

Soal #54
Jika A matriks berukuran 2×2 yang mempunyai invers dan A2 − 2A − I = 0, maka A − 2I = ...
Solusi #54
\begin{split} & A^2-2A-I=0\\ \Rightarrow & A^2-2A=I\\ \Rightarrow & (A-2I)A=I\\ \Rightarrow & (A-2I)AA^{-1}=IA^{-1}\\ \Rightarrow & (A-2I)I=A^{-1}\\ \Rightarrow & A-2I=A^{-1} \end{split}
Jadi A − 2I = A-1

Soal #55
Jika alog b, alog (b + 2), dan alog (2b + 4) adalah tiga suku berurutan suatu barisan aritmetika dan jumlah tiga suku tersebut adalah 6, maka 2ab = ...
Solusi #55
Barisan aritmatika berarti
\begin{split} & ^a \log(b+2)-\ ^a \log b = \ ^a \log(2b+4)-\ ^a \log(b+2)\\ \Rightarrow & ^a \log \left(\frac{b+2}{b}\right)=\ ^a \log \left(\frac{2b+4}{b+2}\right)\\ \Rightarrow & \frac{b+2}{b}=\frac{2b+4}{b+2}\\ \Rightarrow & \frac{b+2}{b}=2\\ \Rightarrow & 2b=b+2\\ \Rightarrow & b=2 \end{split}
Jumlahnya 6 berarti
\begin{split} & ^a \log b + \ ^a \log(b+2) + \ ^a \log(2b+4) = 6\\ \Rightarrow & ^a \log 2 + \ ^a \log 4 + \ ^a \log 8 = 6\\ \Rightarrow & ^a \log (2\cdot 4 \cdot 8)=6\\ \Rightarrow & ^a \log 64=6\\ \Rightarrow & a = 2 \end{split}
Jadi 2ab = 4 − 2 = 2

Soal #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 337: MATEMATIKA DASAR
Titik X, Y, Z terletak pada segitiga ABC dengan AZ = AY, BZ = BX, dan CX = CY seperti pada gambar. Jika AB, AC, dan BC berturut-turut adalah 4 cm, 3 cm dan 5 cm, maka luas segitiga ZAY adalah . . . cm2
Solusi #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 337: MATEMATIKA DASAR
Berdasarkan gambar di atas diperoleh BX + XC = 5 atau 4 − x + 3 − x = 5, dari persamaan ini diperoleh x = AZ = AY = 1

Karena AZ tegak lurus AY maka luas segitiga ZAY adalah
\[\frac{1}{2}\cdot AZ \cdot AY = \frac{1}{2}\]

Soal #57
Dalam suatu kelas terdapat 23 siswa. Rata-rata nilai kuis aljabar mereka adalah 7. Terdapat hanya 2 orang yang memperoleh nilai yang sama yang merupakan nilai tertinggi, serta hanya 1 orang yang memperoleh nilai terendah. Rata-rata nilai mereka berkurang 0,1 jika semua nilai tertinggi dan nilai terendah dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan cacah tidak lebih daripada 10, maka nilai terendah yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #57
23 siswa dengan rata-rata 7 maka total nilainya adalah 23×7 = 161

Misalkan yang tertinggi adalah a dan yang terendah b, maka total nilai 20 siswa sianya adalah 161 − 2ab. Berarti rata-ratanya adalah \begin{split} & \frac{161-2a-b}{20}=7-0.1\\ \Rightarrow & 161-2a-b=138\\ \Rightarrow & 2a+b=23 \end{split} Nilai a yang mungkin hanya 10, 9 atau 8.
Jika a = 10 maka b = 3
Jika a = 9 maka b = 5
Jika a = 8 maka b = 7, tetapi 7 tidak mungkin menjadi nilai terendah karena rata-ratanya 7
Jadi nilai yang terendah ada sebanyak dua yaitu 3 atau 5

Soal #58
Jika a dan b bilangan bulat, serta \(\lim_{x \to a}\limits \frac{x^2-bx}{a-x}=2\) maka nilai ab tak nol adalah ...
Solusi #58
Limit pada soal di atas merupakan bentuk tak tentu 0/0 akibatnya \begin{split} & \lim_{x \to a} x^2-bx = 0\\ \Rightarrow & a^2-ab=0\\ \Rightarrow & a(a-b)=0\\ \rightarrow & a=0 \text{ atau } a=b \end{split} Karena ab tak nol maka a ≠ 0 dengan kata lain a = b

\begin{split} & \lim_{x \to a} \frac{x^2-bx}{a-x}=2\\ \Rightarrow & \lim_{x \to a} \frac{x^2-ax}{a-x}=2\\ \Rightarrow & \lim_{x \to a} \frac{-x(a-x)}{a-x}=2\\ \Rightarrow & \lim_{x \to a} -x=2\\ \Rightarrow & -a=2\\ \Rightarrow & a=-2 \end{split}
Jadi ab = (−2)(−2) = 4

Soal #59
Jika ax + y = 4, x + by = 7, dan ab = 2, maka xy = ...
Solusi #59
Kalikan persamaan pertama dengan b diperoleh abx + by = 4b atau 2x + by = 4b

Dengan menyelesaikan SPLDV
2x + by = 4b
x + by = 7
diperoleh x = 4b − 7

Kalikan persamaan kedua dengan a diperoleh ax + aby = 7a atau ax + 2y = 7a

Dengan menyelesaikan SPLDV
ax + 2y = 7a
ax + y = 4
diperoleh y = 7a − 4

Jadi xy = (4b − 7) − (7a − 4) = 4b − 7a − 3

Soal #60
Semua bilangan real x yang memenuhi |x + 2| + x2 < 4 adalah ...
Solusi #60
Jika x + 2 ≥ 0 atau x ≥ −2 maka \begin{split} & |x+2|+x^2 < 4\\ \Rightarrow & x^2+x+2 < 4\\ \Rightarrow & x^2+x-2 < 0\\ \Rightarrow & (x+2)(x-1) < 0\\ \Rightarrow & -2 < x < 1 \end{split} Pertidaksamaan terakhir di atas memenuhi x ≥ −2

Jika x < −2 \begin{split} & |x+2|+x^2 < 4\\ \Rightarrow & x^2-x-2 < 4\\ \Rightarrow & x^2-x-6 < 0\\ \Rightarrow & (x-3)(x+2) < 0\\ \Rightarrow & -2 < x < 3 \end{split} Pertidaksamaan terakhir di atas tidak memenuhi x < −2
Jadi semua bilangan real x yang memenuhi adalah −2 < x < 1

Click to comment