Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Diketahui 7 − √7 adalah salah satu akar x2 + ax + b = 0 dengan b bilangan real negatif dan a suatu bilangan bulat. Nilai terkecil a adalah ...
Solusi #46
Misalkan persamaan kuadrat di atas memiliki akar x1 = 7 − √7 dan x2 maka \begin{split} & x_1 + x_2 = a\\ \Rightarrow & 7-\sqrt{7}+x_2 = -a \end{split} Karena a bilangan bulat maka haruslah x2 = p + √7 untuk suatu p bilangan bulat dan 7 + p = −a atau a = −p

b bilangan real negatif \begin{split} & x_1 \cdot x_2 = b < 0\\ \Rightarrow & (7-\sqrt{7})(p+\sqrt{7}) < 0\\ \Rightarrow & p+\sqrt{7} < 0\\ \Rightarrow & p < -\sqrt{7} \end{split} Karena p bilangan bulat maka p ∈ {−3, −4, −5, ...}

Oleh karena itu ∈ {−4, −3, −2, ...}
Jadi nilai terkecil a adalah −4

Soal #47
Jika A2x = 2, maka \(\frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots\)
Solusi #47
A2x = 2 maka Ax = 2 \begin{split}
& \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}-A^{-3x}} \\
= & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3-(\sqrt{2})^{-3}}\\
= & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\
= & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Red}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\
= & \frac{32-1}{16+2}\\
= & \frac{31}{18}
\end{split}
Jadi jawabannya adalah \(\frac{31}{18}\)

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
Solusi #48
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 326: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis y = mx membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan AB = CD sehingga \begin{split}
& AB=CD \\
\Rightarrow & 12-m=5m\\
\Rightarrow & m=2
\end{split}
Jadi m = 2

Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi \(\frac{x^2-4}{1-x^2} > 2\) adalah ...
Solusi #49
\begin{split} & \frac{x^2-4}{1-x^2} > 2\\ \Rightarrow & \frac{x^2-4}{1-x^2}-2 > 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2-4}{1-x^2}-\frac{2-2x^2}{1-x^2} > 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2-4-2+2x^2}{1-x^2} > 0\\ \Rightarrow & \frac{3x^2-6}{1-x^2} > 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2-2}{x^2-1} < 0\\ \Rightarrow & \frac{(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})}{(x+1)(x-1)} < 0 \end{split} Pembuat nol nya adalah −√2, √2, −1, 1. Uji pada garis bilangan sehingga diperoleh solusi
−√2 < x < 1 atau 1 < x < √2

Soal #50
Jika grafik y = x2 − (9 + a)x + 9a diperoleh dari grafik fungsi y = x2 − 2x − 3 melalui pencerminan terhadap garis x = 4, maka a = ...
Solusi #50
Titik (x,y) diceriminkan terhadap garis x = 4 menghasilkan bayangan (x',y') dengan

x' = 8 − x atau x = 8 − x' 
dan y' = y 

Substitusikan ke y = x2 − 2x − 3 diperoleh y' = (8 − x')2 − 2(8 − x') − 3 atau

y' = x'2 − 14x' + 45 

Dengan menyemakan koefisien y = x2 − (9 + a)x + 9a dengan koefisien y' diperoleh 9a = 45
Jadi 9 + a = 14 atau a = 5

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #51
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72
Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Jika \(f(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x}}\) dan g(x) = 10 − x2, maka himpunan bilangan real yang memenuhi (fg)(x) ≤ 2 adalah ...
Solusi #52
\begin{split} & (f \circ g)(x) \leq 2\\ \Rightarrow & f(g(x)) \leq 2\\ \Rightarrow & -\frac{1}{\sqrt{1-g(x)}} \leq 2\\ \Rightarrow & -\frac{1}{\sqrt{x^2-9}} \leq 2 \end{split} Ruas kiri pertidaksamaan di atas selalu negatif dan ruas kanan selalu positif. Oleh karena tinggal menyelesaikan syarat penyebut ruas kiri yaitu \begin{split} & x^2 - 9 > 0\\ \Rightarrow & (x+3)(x-3) > 0\\ \Rightarrow & x < -3 \text{ atau } x > 3\end{split}
Jadi semua bilangan real x yang memenuhi adalah x < −3 atau x > 3

Soal #53
Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memnuhi g(x − 2) = f(x + 2), maka g−1(x) = ...
Solusi #53
ganti x dengan x + 2 pada g(x − 2) = f(x + 2) diperoleh g(x + 2 − 2) = f(x + 2 + 2) atau

g(x) = f(x + 4)

Misalkan g(x) = f(x + 4) = y \[g(x)=y \Rightarrow x=g^{-1}(y)\] \[f(x+4)=y \Rightarrow x+4 = f^{-1}(y)\] dari dua persamaan di atas diperoleh \[g^{-1}(y)+4=f^{-1}(y)\]
Jadi g−1(x) = f−1(x) − 4

Soal #54
Jika matriks \(A=\begin{pmatrix}2a & 2\\-4 & a \end{pmatrix}\) dan \(B=\begin{pmatrix}2b & b\\-4 & b \end{pmatrix}\) mempunyai invers, maka semua bilangan real b yang memenuhi det(ABA-1) > 0 adalah ...
Solusi #54
\begin{split} & \det(ABA^{-1}) > 0\\ \Rightarrow & \det A \det B \det A^{-1} > 0\\ \Rightarrow & \det B > 0\\ \Rightarrow & 2b^2+4b > 0\\ \Rightarrow & 2b(b+2) > 0\\ \Rightarrow & b < -2 \text{ atau } b > 0 \end{split}
Jadi semua bilangan real b yang memenuhi adalah b < −2 atau b > 0

Soal #55
Misalkan Uk dan Sk berturut-turut menyatakan suku ke-k dan jumlah k suku pertama suatu barisan aritmetika. Jika U2U4 + U6U8 + U10U12 + U14U16 + U18 = 20, maka S19 = ...
Solusi #55
\begin{split} & U_2-U_4+U_6-U_8+U_{10}-U_{12}+U_14-U_{16}+U_{18}=20\\ \Rightarrow & a+b-a-3b+a+5b-a-7b+a+9b-a-11b+a+13b-a-15b+a+17b=20\\ \Rightarrow & a+9b=20 \end{split}
\begin{split} S_{19} & =\frac{19}{2}(2a+18b)\\ & = 19(a+9b)\\ & = 19 \cdot 20 = 380\end{split}
Jadi S19 = 380

Soal #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 326: MATEMATIKA DASAR
Titik X, Y, Z terletak pada segitiga ABC dengan AZ = AY, BZ = BX, dan CX = CY seperti pada gambar. Jika AB, AC, dan BC berturut-turut adalah 4 cm, 3 cm dan 5 cm, maka luas segitiga ZAY adalah . . . cm2
Solusi #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 326: MATEMATIKA DASAR
Berdasarkan gambar di atas diperoleh BX + XC = 5 atau 4 − x + 3 − x = 5, dari persamaan ini diperoleh x = AZ = AY = 1

Karena AZ tegak lurus AY maka luas segitiga ZAY adalah
\[\frac{1}{2}\cdot AZ \cdot AY = \frac{1}{2}\]

Soal #57
Rata-rata nilai ujian matematika siswa di suatu kelas dengan 50 siswa tetap sama meskipun nilai terendah dan nilai tertinggi dikeluarkan. Jumlah nilai-nilai tersebut adalah 350. Jika data nilai-nilai ujian matematika tersebut merupakan bilangan asli yang tidak lebih besar dari 10, maka jangkauan data nilai yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #57
Rata-rata 50 siswa tersebut adalah 350/50 = 7

Misalkan nilai yang terbesar adalah a dan yang terkecil adalah b maka, setelah kedua nilai itu dikeluarkan rata-ratanya menjadi (350 − ab)/48

Rata-ratanya tetap sama berarti \begin{split} & \frac{350-a-b}{48}=7\\ \Rightarrow & 350-a-b=336\\ \Rightarrow & a+b=14 \end{split} Pasangan bilangan asli a dan b dengan b < a ≤ 10 yang memenuhi persamaan di atas adalah
a = 10 & b = 4
a = 9 & b = 5
a = 8 & b = 6
Jadi jangkauan yang mungkin ada sebanyak 3

Soal #58
Diketahui f adalah fungsi kuadrat dengan f(0) = 0 dan f(2) = 10. Jika \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2-x}{f(x)-1}=\frac{1}{5}\), maka f(1) = ...
Solusi #58
Misalkan f(x) = ax2 + bx + c

Karena f(0) = 0 maka c = 0 atau f(x) = ax2 + bx

Karena f(2) = 10 maka 4a + 2b = 10

Selanjutnya \begin{split} & \lim_{x \to 1} \frac{x^2-x}{f(x)-1}=\frac{1}{5}\\ \Rightarrow & \lim_{x \to 1} \frac{x^2-x}{ax^2+bx-1}=\frac{1}{5} \end{split} Limit di atas merupakan bentuk 0/0, oleh karena itu a + b − 1 = 0 atau a + b = 1

Dengan menyelesaikan SPLDV

4a + 2b = 10
a + b = 1

diperoleh nilai a = 4 dan b = −3
Sehingga f(x) = 4x2 −3x
Jadi f(1) = 1

Soal #59
Jika px + y = 2, 2x + y = 5, dan 2xy = p, maka jumlah semua nilai p yang mungkin adalah ...
Solusi #59
Dengan menyelesaikan SPLDV
2x + y = 5
2xy = p
dalam x dan y diperoleh nilai x = (5+p)/4 dan y = (5−p)/2. Kemudian substitusikan nilai x dan y ini ke persamaan px + y = 2, sehingga diperoleh \begin{split} & px+y=2\\ \Rightarrow & p\left(\frac{5+p}{4}\right)+\left(\frac{5-p}{2}\right)=2\\ \Rightarrow & \frac{5p+p^2}{4}+\frac{5-p}{2}=2\\ \Rightarrow & p^2+5p-2p+10=8\\ \Rightarrow & p^2+3p+2=0\\ \Rightarrow & p = -1\text{ atau } p = -2\end{split}
Jadi jumlah semua nilai p yang mungkin adalah −3

Soal #60
Semua bilangan real x yang memenuhi \(\frac{1}{|x-1|} < \frac{1}{2-x}\) adalah ...
Solusi #60
Jika x − 1 ≥ 0 atau x ≥ 1 \begin{split} & \frac{1}{x-1} < \frac{1}{2-x}\\ \Rightarrow & \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}\\ \Rightarrow & \frac{2x-3}{(x-1)(x-2)}\\ \end{split} Pembuat 0 dari pertidaksamaan di atas adalah x = 1, x = 3/2 dan x = 2. Kemudian uji pada garis bilangan x ≥ 1 diperoleh
3/2 < x < 2

Jika x < 1 \begin{split} & \frac{1}{-x+1} < \frac{1}{2-x}\\ \Rightarrow & \frac{-1}{x-1}+\frac{1}{x-2} < 0 \\ \Rightarrow & \frac{1}{(x-1)(x-2)} < 0\\ \end{split} Pembuat 0 dari pertidaksamaan di atas adalah x = 1 dan x = 2. Kemudian uji pada garis bilangan x < 1 diperoleh
1 < x < 2 [tidak sesuai dengan x < 1]
Jadi semua bilangan yang memenuhi adalah \(\frac{3}{2} < x < 2\)

Click to comment