Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Diketahui 1 + √3 adalah salah satu akar x2ax + b = 0 dengan b bilangan real positif dan a suatu bilangan bulat. Nilai terkecil a adalah ...
Solusi #46
Misalkan persamaan kuadrat di atas memiliki akar x1 = 1 + √3 dan x2 maka \begin{split} & x_1 + x_2 = a\\ \Rightarrow & 1+\sqrt{3}+x_2 = a \end{split} Karena a bilangan bulat maka haruslah x2 = p − √3 untuk suatu p bilangan bulat.

b bilangan real positif \begin{split} & x_1 \cdot x_2 = b > 0\\ \Rightarrow & (1+\sqrt{3})(p-\sqrt{3}) > 0\\ \Rightarrow & p-\sqrt{3} > 0\\ \Rightarrow & p > \sqrt{3} \end{split} Karena p bilangan bulat maka
p ∈ {2,3,4,...}
Jadi nilai terkecil untuk a adalah p + 1 = 2 + 1 = 3

Soal #47
Jika A2x = 2, maka \(\frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots\)
Solusi #47
A2x = 2 maka Ax = 2 \begin{split}
& \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}-A^{-3x}} \\
= & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3-(\sqrt{2})^{-3}}\\
= & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\
= & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Red}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\
= & \frac{32-1}{16+2}\\
= & \frac{31}{18}
\end{split}
Jadi jawabannya adalah \(\frac{31}{18}\)

Soal #48

Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
Solusi #48
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 324: Matematika Dasar

Berdasarkan gambar di atas garis y = mx membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan AB = CD sehingga \begin{split}
& AB=CD \\
\Rightarrow & 12-m=5m\\
\Rightarrow & m=2
\end{split}
Jadi m = 2

Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi \(\frac{x}{x+2} > \frac{x-2}{x}\) adalah ...
Solusi #49
\begin{split}
& \frac{x}{x+2} > \frac{x-2}{x}\\
\Rightarrow & \frac{x}{x+2} -  \frac{x-2}{x} > 0\\
\Rightarrow & \frac{x^2-(x-2)(x+2)}{x(x+2)} > 0\\
\Rightarrow & \frac{x^2-(x^2-4)}{x(x+2)} > 0\\
\Rightarrow & \frac{4}{x(x+2)} > 0\\
\end{split} Pembuat nol dari pertidaksamaan di atas adalah x = −2 dan x = 0. Dengan mengujinya pada garis bilangan didapatkan penyelesaian x < −2 atau x > 0
Jadi bilangan real x yang memenuhi adalah x < −2 atau x > 0

Soal #50
Jika grafik y = x2 − (9 + a)x + 9a diperoleh dari grafik fungsi y = x2 − 2x − 3 melalui pencerminan terhadap garis x = 4, maka a = ...
Solusi #50
Titik (x,y) diceriminkan terhadap garis x = 4 menghasilkan bayangan (x',y') dengan x' = 8 − x atau x = 8 − x' dan y' = y. Substitusikan ke y = x2 − 2x − 3 menghasilkan y' = (8 − x')2 − 2(8 − x') − 3 atau y' = x'2 − 14x' + 45
Jadi 9 + a = 14 atau a = 5

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...
Solusi #51
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72
Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Diberikan fungsi f(x) = ax − 1 dan g(x) = x + 1. Jika (fg)(x) = (gf)(x), maka f (2) − g(1) = ...
Solusi #52
\begin{split} & (f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)\\ \Rightarrow & f(g(x))=g(f(x))\\ \Rightarrow & f(x+1)=g(ax-1)\\ \Rightarrow & a(x+1)-1=(ax-1)+1\\ \Rightarrow & ax+a-1=ax\\ \Rightarrow & a=1 \end{split} Oleh karena itu f(x) = x − 1
Jadi f(2) − g(1) = (2 − 1) − (1 + 1) = −1

Soal #53
Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memenuhi f(x) = g(4 + 2x), maka f−1(x) = ...
Solusi #53
Misalkan f(x) = g(4 + 2x) = y maka
x = f−1(y) dan
4 + 2x = g-1(y)
Oleh karena itu \begin{split} & 4 + 2f^{-1}(y) = g^{-1}(y)\\ \Rightarrow & 2f^{-1}(y) = g^{-1}(y) - 4\\ \Rightarrow & f^{-1}(y)=\frac{1}{2}g^{-1}(y)-2 \end{split}
Jadi \[f^{-1}(x)=\frac{1}{2}g^{-1}(x)-2\]

Soal #54
Jika \(\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}P\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}\) dan \(\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}P\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}\), maka det(P) = ...
Solusi #54
Misalkan \(\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}P=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}\) maka \begin{split} & \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix}b \\ d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix} \end{split} dan \begin{split} & \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix}a+b \\ c+d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix} \end{split} Akibatnya
b = 1
d = 2
a + b = 2 maka a = 1
c + d = 1 maka c = −1
Oleh karena itu \(\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\) \begin{split} & \det \left( \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}P\right) = \det \begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \det \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1\end{pmatrix} \det P = 3\\ \Rightarrow & 1 \cdot \det P = 3 \end{split}
Jadi det P = 3

Soal #55
Diketahui x, y, z adalah barisan aritmetika dengan beda b dan x + y + z = 9. Jika xyz + 21 = 0, maka nilai b terkecil adalah ...
Solusi #55
x, y, z adalah barisan aritmetika dengan beda b maka x = yb dan z = y + b, akibatnya \begin{split} & x + y + z = 9\\ \Rightarrow & y-b+y+y+b=9\\ \Rightarrow & 3y = 9\\ \Rightarrow & y = 3 \end{split} Oleh karena itu barisan aritmatika di atas adalah 3 − b, 3, 3 + b maka \begin{split} & xyz = -21\\ \Rightarrow & (3-b) \cdot 3 \cdot (3+b) = -21\\ \Rightarrow & (3-b) \cdot (3+b) = -7\\ \Rightarrow & 9-b^2=-7\\ \Rightarrow & b^2=16\\ \Rightarrow & b = 4 \vee b=-4
Jadi nilai b terkecil adalah −4

Soal #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 317: MATEMATIKA DASAR

Diketahui semua titik sudut segienam beraturan ABCDEF terletak pada lingkaran yang berjari-jari 2 cm seperti pada gambar. Luas daerah yang tidak diarsir pada segienam tersebut adalah ...cm2
Solusi #56
Luas segi enam beraturan di atas bisa dihitung menggunakan rumus \[L=\frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^{\circ}}{n}\] dengan n adalah menyatakan segi n dan r jar-jari lingkaran luar. \begin{split} L & = \frac{6}{2}\cdot 2^2 \sin \frac{360^{\circ}}{6}\\ & = 12 \sin 60^{\circ}\\ & = 12 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}\\ & = 6 \sqrt{3} \end{split}
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 317: MATEMATIKA DASAR

OA = OB = OC = OD = OE = OF = 2

Selanjutnya hitung luas daerah yang diarsir.
Perhatikan bahwa COD adalah segitiga sama sisi karena ∠COD = 360°/6 = 60° begitu juga dengan ∠OCD dan ∠CDO sama dengan 60° sehingga diperoleh \begin{split} & \sin 60^{\circ} = \frac{t}{OC}\\ \Rightarrow & \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{t}{2}\\ \Rightarrow & t = \sqrt{3} \end{split} Luas ΔCDH \begin{split} = & \frac{1}{2} \cdot CD \cdot 2t\\ = & \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3}\\ = & 2\sqrt{3} \end{split} Luas ΔABH dan ΔHFE \begin{split} = & \frac{1}{2} \cdot AH \cdot t + \frac{1}{2} \cdot HF \cdot t\\ = & \frac{1}{2} \cdot (AH+HF) \cdot t\\ = & \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3}\\ = & \sqrt{3} \end{split} Luas yang diarsir = \(2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\)
Jadi Luas yang tidak diarsir = \(6 \sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\)

Soal #57
Jangkauan dan rata-rata nilai ujian 6 siswa adalah 6. Jika median data tersebut adalah 6 dan selisih antara kuartil ke-1 dan ke-3 adalah 4, maka jumlah dua nilai ujian tertinggi adalah ...
Solusi #57
Misalkan nilai 6 siswa tersebut telah diurutkan yaitu a, b, c, d, e, dan f. maka jumlah dua nilai tertinggi adalah e + f

Jangkauan 6 berarti fa = 6 atau a = f − 6...(1)

Rata-rata 6 berarti (a + b + c + d + e + f )/6 = 6 atau
a + b + c + d + e + f = 36 ...(2)

Median 6 berarti (c + d)/2 = 6 atau c + d = 12 ...(3)

Q1 = b, Q3 = e dan selisihnya adalah 4 berarti eb = 4 atau b = e − 4...(4)

Kurangkan persamaan (2) dan (3) diperoleh
a + be + f = 24...(5)

Substitusikan persamaan (1) dan (4) ke persamaan (5) diperoleh
f − 6 + e − 4 + e + f = 24 atau 2e + 2f = 34
Jadi jumlah dua nilai terbesar e + f  = 17

Soal #58
Jika \(\lim_{x \to -2} \frac{x^2-4}{x+2}=\lim_{x \to 1} ax^3+b \) dan \(\lim_{x \to 2} ax^2+b=2\), maka a b = ...
Solusi #58
\begin{split} & \lim_{x \to -2} \frac{x^2-4}{x+2}=\lim_{x \to 1} ax^3+b\\ \Rightarrow & \lim_{x \to -2} \frac{(x+2)(x-2)}{x+2}=\lim_{x \to 1} ax^3+b\\ \Rightarrow & \lim_{x \to -2} x-2=\lim_{x \to 1} ax^3+b\\ \Rightarrow & -2-2=a+b\\ \Rightarrow & a+b=-4 \end{split} \begin{split} & \lim_{x \to 2} ax^2+b=2\\ \Rightarrow & 4a+b=2 \end{split} Dengan menyelesaiakan SPLDV
a + b = −4
4a + b = 2
diperoleh nilai a = 2 dan b = −6
Jadi ab = 8

Soal #59
Jika −x + 3y = 9, 4x + 3y = 12, ax + by = −13, dan axby = 19, maka ab = ...
Solusi #59
Dengan menyelesaikan SPLDV
x + 3y = 9
4x + 3y = 12
diperoleh nilai x = 3/5 dan y = 16/5 kemudian substitusi ke dua persamaan berikutnya \begin{split}
& \frac{3}{5}a+\frac{16}{5}b=-13\\
& \frac{3}{5}a-\frac{16}{5}b=19
\end{split} diperoleh nilai a = 5 dan b = −5
Jadi ab = −25

Soal #60
Semua bilangan real x yang memenuhi
x2 − 2x − 5|x − 1| + 7 < 0
adalah ...
Solusi #60
Jika x ≥ 1 \begin{split} & x^2-2x-5|x-1|+7 < 0\\ \Rightarrow & x^2-2x-5(x-1)+7 < 0\\ \Rightarrow & x^2-2x-5x+5+7 < 0\\ \Rightarrow & x^2-7x+12 < 0\\ \Rightarrow & (x-3)(x-4) < 0 \end{split} Pembuat nol pada pertidaksamaan di atas adalah x = 3 dan x = 4, kemudian uji pada garis bilangan x ≥ 1 diperoleh 3 < x < 4

Jika x < 1 \begin{split} & x^2-2x-5|x-1|+7 < 0\\ \Rightarrow & x^2-2x-5(-x+1)+7 < 0\\ \Rightarrow & x^2-2x+5x-5+7 < 0\\ \Rightarrow & x^2+3x+2 < 0\\ \Rightarrow & (x+1)(x+2) < 0 \end{split} Pembuat nol pada pertidaksamaan di atas adalah x = −2 dan x = −1, kemudian uji pada garis bilangan x < 1 diperoleh −2 < x < −1
Jadi semua bilangan real x yang memenuhi adalah −2 < x < −1 atau 3 < x < 4

Click to comment