Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #46
Jika akar-akar 3x2 + ax − 2 = 0 dan 2x2 + 6x + 3b = 0 saling berkebalikan, maka ba = ...

Pembahasan
Misalkan 3x2 + ax − 2 = 0 memiliki akar α dan β maka
2x2 + 6x + 3b = 0 memiliki akarnya $\dfrac{1}{\alpha}$ dan $\dfrac{1}{\beta}$ (karena saling berkebalikan dengan akar persamaan yang satunya)

Oleh karena itu dengan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat diperoleh \begin{split} & \alpha + \beta = -\frac{a}{3}\\ & \alpha \cdot \beta = -\frac{2}{3}\\ & \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=-\frac{6}{2}=-3\\ & \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta}=\frac{3b}{2}
\end{split} Dari persamaan ketiga diperoleh \begin{split} & \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=-3\\ \Rightarrow & \frac{\alpha + \beta}{\alpha \cdot \beta}=-3\\ \Rightarrow & \frac{-a/3}{-2/3}=-3\\ \Rightarrow & a=-6 \end{split} Dari persamaan keempat diperoleh \begin{split} & \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta}=\frac{3b}{2}\\ \Rightarrow & \frac{1}{\alpha \cdot \beta}=\frac{3b}{2}\\ \Rightarrow & \frac{1}{-2/3}=\frac{3b}{2}\\ \Rightarrow & -\frac{3}{2}=\frac{3b}{2}\\ \Rightarrow & b=-1 \end{split} Jadi ba = −1 + 6 = 5

Soal #47
Jika A2x = 2, maka $\dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\ldots$

Pembahasan
Jika A2x = 2 maka Ax = √2. Oleh karena itu \begin{split} & \frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} \\ = & \frac{(\sqrt{2})^5-(\sqrt{2})^{-5}}{(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^{-3}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}\\ = & \frac{4 \sqrt{2}-\frac{1}{4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}} \times {\color{Blue}{\frac{4 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}}}\\ = & \frac{32-1}{16+2}\\ = & \frac{31}{18} \end{split} Referensi: Eksponen, Bentuk Akar

Soal #48
Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 322: MATEMATIKA DASAR

Berdasarkan gambar di atas garis y = mx membagi persegi panjang menjadi dua trapesium yang kongruen dengan AB = CD sehingga \begin{split} & AB=CD \\ \Rightarrow & 12-m=5m\\ \Rightarrow & m=2 \end{split}

Soal #49
Semua bilangan real x yang memenuhi $\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{x+3} \geq 0$ adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & \frac{3}{x}-\frac{3}{x+3} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{3(x+3)-3x}{x(x+3)} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{9}{x(x+3)} \geq 0 \end{split} Pembuat 0 pertidaksamaan di atas adalah x = −3 dan x = 0, kemudian uji pada garis bilangan sehingga diperoleh x ≤ −3 atau x ≥ 0. Tetapi pertidaksamaan mensyaratkan x ≠ 0 dan x ≠ −3

Jadi semua bilangan real yang memenuhi adalah x < −3 atau x > 0

Soal #50
Jika grafik y = x2 − (9+a)x + 9a diperoleh dari grafik fungsi y = x2 − 2x − 3 melalui pencerminan terhadap garis x = 4, maka a = ...

Pembahasan
Titik (x,y) diceriminkan terhadap garis x = 4 menghasilkan bayangan (x',y') dengan x' = 8 − x dan y' = y

Oleh karena itu substitusikan y = y' dan x = 8 − x' ke persamaan y = x2 − 2x − 3 sehingga diperoleh y' = (8−x')2 − 2(8−x') − 3 atau y' = x'2 − 14x' + 45

Dengan menyamakan koefisien y = x2 − (9+a)x + 9a dan y' = x'2 − 14x' + 45 diperoleh 9a = 45 atau 9 + a = 14

Jadi nilai a = 5

Soal #51
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasala dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ...

Pembahasan
Misalkan P=Pria dan W=Wanita

Susunan yang mungkin agar Pria Wanita tampil bergantian adalah PWPWPWP ada sebanyak 4! × 3! = 144

Misalkan Pa dan Wa menyatakan siswa dari SMA "A" maka susunan yang tidak boleh adalah

PaWaPWPWP
PWaPaWPWP
PWPaWaPWP
PWPWaPaWP
PWPWPaWaP
PWPWPWaPa

ada sebanyak 6 × 3! × 2! = 72

Jadi susunan agar Pria dan Wanita dari SMA "A" tidak tampil berurutan ada sebanyak 144 − 72 = 72

Soal #52
Jika fungsi f(x) = 2x + a + b dan g(x) = bx + 1 memenuhi (fg)(x) = 2(g(x)), maka a + b = ...

Pembahasan
\begin{split}
& (f \circ g)(x)=2(g(x))\\ \Rightarrow & f(g(x))=2(g(x))\\ \Rightarrow & 2(g(x))+a+b=2(g(x))\\ \Rightarrow & a+b=0 \end{split}

Soal #53
Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memnuhi g(x − 2) = f(x + 2), maka g−1(x) = ...

Pembahasan
Misalkan g(x − 2) = f(x + 2) = y maka

x − 2 = g−1(y) dan
x + 2 = f−1(y) atau x = f−1(y) − 2

Sehingga g−1(y) = x − 2 = (f−1(y) − 2) − 2 = f−1(y) − 4

Jadi g−1(x) = f−1(x) − 4

Soal #54
Diketahui matriks \(A=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ p & 2 \end{pmatrix}\) dan \(C=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & q \end{pmatrix}\). Jika det(AB) = det(2C) maka p + q = ...

Pembahasan
det(A) = 2
det(B) = 6 − 2p
det(C) = q − 2 \begin{split} & \det(AB) = \det(2C)\\ \Rightarrow & \det(A)\det(B)=4\det(C)\\ \Rightarrow & 2(6 − 2p)=4(q − 2)\\ \Rightarrow & 12-4p=4q-8\\ \Rightarrow & 4p+4q=20\\ \Rightarrow & p+q=5 \end{split}

Soal #55
Jika alog(b − 2), alog(b), alog(b + 4) adalah tiga suku berurutan suatu barisan aritmatika dan jumlah tiga suku tersebut adalah 6, maka 2a + b = ...

Pembahasan
Barisan aritmatika
\begin{split} & ^a \log (b) -\ ^a \log (b-2) =\ ^a \log (b+4) -\ ^a \log (b)\\ \Rightarrow & ^a \log \left(\frac{b}{b-2}\right)=\ ^a \log \left(\frac{b+4}{b}\right)\\ \Rightarrow & \frac{b}{b-2}=\frac{b+4}{b}\\ \Rightarrow & b^2=(b-2)(b+4)\\ \Rightarrow & b^2=b^2+2b-8\\ \Rightarrow & 2b=8\\ \Rightarrow & b=4 \end{split}
Jumlah tiga suku tersebut adalah 6 \begin{split} & ^a \log (b-2)+\ ^a \log (b)+\ ^a \log (b+4)=6\\ \Rightarrow & ^a \log 2 + \ ^a \log 4 + \ ^a \log 8 = 6\\ \Rightarrow & ^a \log 64 = 6\\ \Rightarrow & a^6=64\\ \Rightarrow & a=2 \end{split} Jadi 2a + b = 4 + 4 = 8

Soal #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 322: MATEMATIKA DASAR
Diketahui dua buah lingkaran dengan titik pusat yang sama, berturut-turut berjari-jari R1 dan R2 dengan R1 > R2 . Jika panjang tali busur AB = 10, maka selisih luas lingkaran tersebut adalah ... cm2

Solusi #56
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 322: MATEMATIKA DASAR

Selisih luas lingkaran
\begin{split} =& \pi R_1^2 - \pi R_2^2\\ =& \pi OA^2 - \pi OC^2\\ =& \pi (OA^2-OC^2)\\ =& \pi AC^2\\ =& \pi 5^2\\ =& 25 \pi \end{split} Soal #57
Nilai ujian matematika 30 siswa pada suatu kelas berupa bilangan cacah tidak lebih daripada 10. Rata-rata nilai mereka adalah 8 dan hanya terdapat 5 siswa yang memperoleh nilai 7. Jika p menyatakan banyak siswa yang memperoleh nilai kurang dari 7, maka nilai p terbesar yang mungkin adalah ...

Pembahasan
Nilai rata-rata 30 siswa adalah 8 maka total nilainya adalah 30 × 8 = 240. Terdapat 5 siswa yang memperoleh nilai 7 maka nilai kelima siswa tersebut adalah 5 × 7 = 35. Sehingga total nilai 25 siswa yang lain adalah 240 − 35 = 205

Dari 25 orang siswa ini ada sebanyak p siswa yang mendapat nilai kurang dari 7, oleh karena itu ada (25 − p) siswa yang mendapat nilai lebih dari 7. Agar p maksimum maka (25 − p) harus minimum, oleh karena itu nilai dari 25 − p siswa ini dipilih yang terbesar yaitu 10 (bisa juga dipilih selain 9 atau 8 atau gabungan dari 10, 9 atau 8). Sehingga total nilai dari (25 − p) siswa adalah (25 − p) × 10 = 250 − 10p.

Banyak siswa yang mendapat nilai kurang dari 7 dapat dinyatakan dengan Total nilai 25 siswa dikurangi dengan total nilai (25 − p) siswa kemudian dibagi p \begin{split} & \dfrac{205-(250-10p)}{p} < 7\\ \Rightarrow & 10p-45 < 7p\\ \Rightarrow & 3p < 45\\ \Rightarrow & p < 15 \end{split} Jadi nilai p terbesar adalah 14

Soal #58
Diketahui f(x) = x2 + ax + b. Jika $\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x+2}{f(x)}=-\frac{1}{5}$ maka a + b = ...

Pembahasan
Dengan menggunakan aturan L'Hospital \begin{split} & \lim_{x \to -2} \frac{x+2}{x^2+ax+b}=-\frac{1}{5}\\ \Rightarrow & \lim_{x \to -2} \frac{1}{2x+a}=-\frac{1}{5}\\ \Rightarrow & \frac{1}{-4+a}=-\frac{1}{5}\\ \Rightarrow & -4+a=-5\\ \Rightarrow & a=-1 \end{split} Kemudian f(−2) = 0 \begin{split} & 4-2a+b=0\\ \Rightarrow & 4+2+b=0\\ \Rightarrow & b=-6 \end{split} Jadi a + b = −1 + (−6) = −7

Soal #59
Jika 2xy = −1, 3x − 2y = −3, ax − 2y = 4b, dan 4xay = 2b, maka a + b = ...

Pembahasan
Dengan menyelesaikan SPLDV

2xy = −1
3x − 2y = −3

diperoleh x = 1 dan y = 3, kemudian substitusi ke dua persamaan berikutnya

a − 6 = 4b
4 − 3a = 2b

selesaikan SPLDV di atas diperoleh a = 2 dan b = −1

Jadi a + b = 1

Soal #60
Semua bilangan real x yang memenuhi $\frac{x^2+1}{|x|-1} \geq x$ adalah

Pembahasan
Jika x ≥ 0 dan x ≠ 1 \begin{split} & \frac{x^2+1}{|x|-1} \geq x\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1}{x-1} - x \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1}{x-1} - \frac{x(x-1)}{x-1} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1-x(x-1)}{x-1} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{1+x}{x-1} \geq 0 \end{split} Pembuat 0 pada pertidaksamaan di atas adalah x = 1 dan x = -1, kemudian uji pada garis bilangan x ≥ 0 dan x ≠ 1 diperoleh x > 1

Jika x ≤ 0 dan x ≠ −1 \begin{split} & \frac{x^2+1}{|x|-1} \geq x\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1}{-x-1} - x \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1}{-x-1} - \frac{x(-x-1)}{-x-1} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{x^2+1-x(-x-1)}{x-1} \geq 0\\ \Rightarrow & \frac{2x^2+x+1}{-x-1} \geq 0 \end{split} Karena 2x2 + x + 1 definit positif maka pembuat 0 pada pertidaksamaan di atas hanya x = −1, kemudian uji pada garis bilangan x ≤ 0 dan x ≠ −1 diperoleh solusi x < −1

Jadi semua bilangan real x yang memenuhi adalah x > 1 atau x < −1

5 komentar

avatar

Terima kasih... sangat membantu

avatar

terima kasih sudah berkunjung :)

avatar

No 49, kenapa tanda pertidaksamaannya berubah?

avatar

Oiya, akan segera dikoreksi. Terima kasih :)

avatar

No 52.. Kenapa kok g(x)nya ga diubah bx+1 ?

Click to comment