Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 244: MATEMATIKA SAINTEK

Diketahui persegi panjang dan setengah lingkaran dengan diameter pada alas, seperti pada gambar. Garis DE menyinggung lingkaran, panjang CD = 6 dan CE = 8. Panjang AD = ...

Pembahasan
Misalkan F adalah titik singgung garis DE pada setengah lingkaran maka EB = EF = x

Menggunakan rumus pythagoras DE = 10 sehingga AD = DF = 10 − x \begin{split} & BC = AD\\ \Rightarrow & 8+x=10-x\\ \Rightarrow & 2x=2\\ \Rightarrow & x=1 \end{split} Jadi AD = 10 − 1 = 9

Soal #2
Diketahui BE : ED : DC = 1 : 2 : 2 dan cos α = 4/5. Nilai \(\frac{AD^2}{AE^2}=\ldots\)
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 244: MATEMATIKA SAINTEK


Pembahasan
\begin{split} & \cos \alpha = \frac{4}{5}\\ \Rightarrow & \frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}\\ \Rightarrow & \frac{AC}{5x}=\frac{4}{5}\\ \Rightarrow & AC = 4x \end{split} Dengan menggunkan aturan cosinus \begin{split} \frac{AD^2}{AE^2} & =\frac{CA^2+CD^2-2\cdot CA \cdot CD \cdot \cos \alpha}{CA^2+CE^2-2\cdot CA \cdot CE \cdot \cos \alpha}\\ & =\frac{16x^2+4x^2-2\cdot 4x \cdot 2x \cdot \frac{4}{5}}{16x^2+16x^2-2\cdot 4x \cdot 4x \cdot \frac{4}{5}}\\ & =\frac{\frac{36}{5}x}{\frac{32}{5}x}\\ & =\frac{36}{32}=\frac{9}{8} \end{split}

Soal #3
Diketahui 2sin2 t − 2sin t = 1 − csc t dengan 0 < t < 2π, t ≠ π. Banyak anggota himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & 2\sin^2 t - 2\sin t = 1 - \csc t\\ \Rightarrow & 2\sin^2 t - 2\sin t = 1 - \frac{1}{\sin t}\text{ ...kalikan dengan }\sin t\\ \Rightarrow & 2\sin^3 t - 2\sin^2 t = \sin t - 1 \text{ ...misalkan } x=\sin t\\ \Rightarrow & 2x^3-2x^2=x-1\\ \Rightarrow & 2x^3-2x^2-x+1=0\\ \Rightarrow & (x-1)(2x^2-1)=0\\ \Rightarrow & x=1 \text{ atau } 2x^2=1\\ \Rightarrow & x=1 \text{ atau } x=\frac{1}{\sqrt{2}} \text{ atau } x=-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{split}
Jika x = sin t = 1 maka t = π/2
Jika x = sin t = $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ maka t = π/4 atau t = 3π/4
Jika x = sin t = $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ maka t = 5π/4 atau t = 7π/4

Jadi banyak anggota himpunan penyelesaiannya adalah 5

Soal #4
Titik (a,b) adalah hasil pencerminan titik (0,0) terhadap garis y = 3x − 4. Nilai dari a2 + b2 adalah ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 244: MATEMATIKA SAINTEK
Titik (a,b) terletak pada garis yang tegak lurus dengan garis y = 3x − 4 dan melalui titik (0,0) yakni garis \(y=-\frac{1}{3}x\). Titik Potong kedua garis yang saling tegak lurus ini adalah (6/5 , −2/5), sehingga koordinat bayangan titik (0,0) jika dicerminkan terhadap y = 3x − 4 adalah (2⋅(6/5) , 2⋅(−2/5) = (12/5 , −4/5).

Sehingga \begin{split} & a^2+b^2\\ = & \frac{144}{25}+\frac{16}{25}\\ = & \frac{160}{25}\\ = & \frac{32}{5} \end{split}

Soal #5
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 3 satuan. Titik P berada di AD sedemikian hingga DP = 2AP dan titik Q berada di CD sedemikian hingga CQ = 2DQ. Jika α adalah sudut antara HP dan GQ, maka cos α = ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 244: MATEMATIKA SAINTEK
Berdasarkan gambar di atas HP sejajar dengan GP' akibatnya α juga sama dengan sudut antara GP' dan GQ.

Karena CQ = 2DQ dan CD = 3 maka CQ = 2 dan QD = 1
Karena DP = 2AP dan AD = 3 maka DP = 2 dan AP = 1

Sehingga diperoleh
GP'2 = HP2 = HD2 + DP2 = 32 + 22 = 13 dan
GQ2 = GC2 + CQ2 = 32 + 22 = 13
QP'2 = QC2 + CP'2 = 22 + 22 = 8

Dengan menggunakan aturan cosinus diperoleh \begin{split} \cos \alpha & = \frac{GP'^2 + GQ^2 - QP'^2}{2 \cdot GP' \cdot GQ}\\ & = \frac{13+13-8}{2\sqrt{13}\sqrt{13}}\\ & = \frac{18}{26} \end{split}

Soal #6
Diketahui sisa pembagian suku banyak f(x) − 2g(x) oleh x2 + x − 2 adalah x + 3, sisa pembagian 2f(x) + g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah x + 1, maka sisa pembagian f(x)g(x) oleh x − 1 adalah ...

Pembahasan
Sisa pembagian f(x)g(x) oleh x − 1 adalah f(1)g(1) oleh karena itu akan dicari nilai dari f(1) dan g(1)

sisa pembagian f(x) − 2g(x) oleh x2 + x − 2 adalah x + 3 berarti
f(x) − 2g(x) = (x2 + x − 2)h(x) + x + 3 untuk suatu suku banyak h(x)
Substitusikan x = 1 pada suku banyak di atas diperoleh
f(1) − 2g(1) = 4

sisa pembagian 2f(x) + g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah x + 1 berarti
2f(x) + g(x) = (x2 − 3x + 2)k(x) + x + 1 untuk suatu suku banyak k(x)
Substitusikan x = 1 pada suku banyak di atas diperoleh
2f(1) + g(1) = 2

Dengan menyelesaikan sistem persamaan f(1) − 2g(1) = 4 dan 2g(1) + g(1) = 2 diperoleh f(1) = 8/5 dan g(1) = −6/5

Jadi f(1)g(1) = 8/5 × (−6/5) = −48/25

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik y = 3x + 1 jika ...

Pembahasan
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan 3x = y \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ & 2y^3-1 < y^2\\ & 2y^3-y^2-1 < 0\\ & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena 2y2 + y + 1 definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & x < 0 \end{split}

Soal #8
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2\sin (x)-\frac{1}{2}\sin(x)\sqrt{x}}{x^{3/2}}=\ldots$

Pembahasan
\begin{split} & \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin (x)-\frac{1}{2}\sin(x)\sqrt{x}}{x^{3/2}}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin (x)-\frac{1}{2}\sin(x)\sqrt{x}}{x^{3/2}}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin (x)}{x\sqrt{x}}-\frac{\frac{1}{2}\sin(x)\sqrt{x}}{x\sqrt{x}}\\ = & \lim_{x \to 0} \sqrt{x}\sin (x) - \frac{1}{2}\frac{\sin(x)}{x}\\ = & 0-\frac{1}{2}\\ = & -\frac{1}{2} \end{split}

Soal #9
Suat barisan geometri semua sukunya positif. Jika \(\dfrac{U_1+U_2}{U_3+U_4}=\frac{1}{9}\) maka \(\dfrac{U_1+U_2+U_3+U_4}{U_2+U_3}=\ldots\)

Pembahasan
\begin{split} & \frac{U_1+U_2}{U_3+U_4}=\frac{1}{9}\\ \Rightarrow & \frac{a+ar}{ar^2+ar^3}=\frac{1}{9}\\ \Rightarrow & \frac{1+r}{r^2+r^3}=\frac{1}{9}\\ \Rightarrow & r^3+r^2=9r+9\\ \Rightarrow & r^2(r+1)=9(r+1)\\ \Rightarrow & r^2=9\\ \Rightarrow & r=3 \end{split} \begin{split} & \frac{U_1+U_2+U_3+U_4}{U_2+U_3}\\ = & \frac{a+ar+ar^2+ar^3}{ar+ar^2}\\ = & \frac{1+r+r^2+r^3}{r+r^2}\\ = & \frac{1+3+9+27}{3+9}\\ = & \frac{40}{12}\\ = & \frac{10}{3} \end{split}

Soal #10
Diketahui f(x) = x3ax + 2a/3 dan f(x) memotong sumbu x di titik x = 1. Nilai maksimum f(x) untuk 0 ≤ x ≤ 1 adalah ...

Pembahasan
f(x) memotong sumbu x di titik x = 1 berarti f(1) = 0
1^3 − a + 2a/3 = 0 yang berakibat a = 3 sehingga f(x) = x3 − 3x + 2

f(x) mungkin maksimum jika f'(x) = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 1 \begin{split} & 3x^2 - 3 = 0\\ \Rightarrow & x^2=1\\ \Rightarrow & x = 1 \text{ atau } x = -1 \end{split} f(0) = 1
f(1) = 0

Jadi nilai maksimum f(x) adalah 1

Soal #11
Diketahui \(f(x)=f(x+2)\) untuk setiap \(x\). Jika \(\int_0^2\limits f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7\limits f(x+8) \ dx =\ldots\)

Pembahasan
\(\int_0^2\limits f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1\limits f(x) \ dx + \int_1^2\limits f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1\limits f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2\limits f(x) \ dx = B-A\)
\begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split} Misalkan \(I_1=\int_3^4\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+2\) \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+4\) \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+6\) \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split} Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & 2B
\end{split}

Soal #12
Diketahui fungsi f(x) = xk dan g(x) = x. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi kurva g, sumbu y dan y = 1. Jika kurva f membagi daerah D sama besar maka k = ...

Pembahasan
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 244: MATEMATIKA SAINTEK
Berdasarkan ilustrasi di atas D1 = D2 \begin{split} & \int_0^1 1-x^k \ dx = \int_0^1 x^k-x \ dx\\ \Rightarrow & \left[x-\frac{x^{k+1}}{k+1}\right]_0^1=\left[\frac{x^{k+1}}{k+1}-\frac{x^2}{2}\right]_0^1\\ \Rightarrow & 1-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{k+1}-\frac{1}{2}\\ \Rightarrow & \frac{3}{2}=\frac{2}{k+1}\\ \Rightarrow & 3k+3=4\\ \Rightarrow & k=\frac{1}{3} \end{split}

Soal #13
Banyaknya bilangan genap n = abc dengan tiga digit sehingga 3 < b < c adalah ...

Pembahasan
Nilai c yang mungkin adalah 6 atau 8. Jika c = 6 maka b = 4 atau b = 5; terdapat 2 kemungkinan. Jika c = 8 maka b = 4 atau b = 5 atau b = 6 atau b = 7; terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar 3 < b < c ada sebanyak 6.

Nilai a yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk a, sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = 54

Soal #14
Garis singgung kurva y = 3 − x2 di titik P(−a,b) dan Q(a,b) memotong sumbu Y di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ...

Pembahasan
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 244: Matematika Saintek
Karena segitiga PQR sama sisi, maka θ = 60°, sehingga gradien garis singgung yang melalui P adalah tan 60° = $\sqrt{3}$

Gradien garis singgung di titik P merupakan nilai turunan pertama y = 3 − x2 di titik (−a,b). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{split}

Soal #15
Diketahui tiga bilangan positif alog b, blog c, clog d membentuk barisan geometri. Jika a = 2 dan d = 128, maka suku kedua barisan tersebut adalah ...

Pembahasan
2log b, blog c, clog 128 adalah barisan aritmatika maka \begin{split} & \frac{^b \log c}{^2 \log b}=\frac{^c \log 128}{^b \log c}\\ \Rightarrow & \left(^b \log c\right)^2 = \ ^c \log 128 \cdot \ ^2 \log b\\ \Rightarrow & \left(^b \log c\right)^2 = \ ^c \log 2^7 \cdot \ ^2 \log b\\ \Rightarrow & \left(^b \log c\right)^2 = 7 \ ^c \log 2 \cdot \ ^2 \log b\\ \Rightarrow & \left(^b \log c\right)^2 = 7 \ ^c \log b\\ \Rightarrow & \left(^b \log c\right)^2 = \frac{7}{^b \log c}\\ \Rightarrow & \left(^b \log c\right)^3 = 7\\ \Rightarrow & ^b \log c = \sqrt[3]{7} \end{split} Jadi suku keduanya adalah \(\sqrt[3]{7}\)

Click to comment