Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Dua lingkaran yang mempunyai titik pusat yang berjarak 15 satuan dan garis singgung persekutuan dalam x = 0. Jika lingkaran pertama mempunyai persamaan x2 + y2 + 6x − 6y + 9 = 0, maka persamaan lingkaran kedua yang berpusat di kuadran 1 dengan jari-jari 6 adalah ...

Pembahasan
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 242: Matematika Saintek
Dengan ilustrasi gambar di atas diperoleh AC = 9 dan AB = 15 (karena jarak antara pusat kedua lingkaran adalah 15). Kemudian dengan rumus pythagoras diperoleh $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$. Sehingga p = 3 + 12 = 15.

Jadi persamaan lingkaran kedua adalah (x − 6)2 + (y − 15)2 = 36

Soal #2
Diketahui ΔABC, titik D pada AC, dengan AB = 8, BC = 10, AC = 12, dan ∠ACB = ∠CBD. Panjang BD = ...

Pembahasan
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 242: Matematika Saintek
Pada ΔABC berlaku aturan cosinus \begin{split} \cos \theta & = \frac{10^2+12^2-8^2}{2\cdot 10 \cdot 12}\\ & = \frac{3}{4} \end{split} Kemudian pada ΔBCD \begin{split} \cos \theta & = \frac{10^2+x^2-x^2}{2\cdot 10 \cdot x}\\ & = \frac{5}{x} \end{split} Sehingga \begin{split} & \frac{3}{4}=\frac{5}{x}\\ \Rightarrow & x = \frac{20}{3} \end{split} Jadi panjang BD = \(\dfrac{20}{3}\)

Referensi: Aturan Cosinus

Soal #3
Nilai x antara 0 dan π yang memenuhi pertidaksamaan 2 cos x + sin x ≥ 1 adalah ...

Pembahasan
\begin{split}
& 2\cos x + \sin x \geq 1 \\
\Rightarrow & 2\left(1-2\sin^2 \frac{x}{2} \right) + \sin x \geq 1\\
\Rightarrow & 2-4\sin^2 \frac{x}{2}+\sin x - 1 \geq 0\\
\Rightarrow & -4\sin^2 \frac{x}{2}+\sin x+1\geq 0\\
\Rightarrow & -4\sin^2 \frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2} \geq 0\\
\Rightarrow & -3\sin^2 \frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} +\cos^2 \frac{x}{2}\geq 0\\
\Rightarrow & 3\sin^2 \frac{x}{2}-2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} -\cos^2 \frac{x}{2}\leq 0\\
\Rightarrow & \left(3\sin \frac{x}{2}+ \cos \frac{x}{2} \right) \left(\sin \frac{x}{2}- \cos \frac{x}{2}\right) \leq 0
\end{split}
Pada interval 0 ≤ x ≤ π nilai \(3\sin \frac{x}{2}+ \cos \frac{x}{2} > 0\) sehingga pertidaksamaan di atas dapat disederhanakan menjadi \[\sin\frac{x}{2}- \cos \frac{x}{2} \leq 0\] Pembuat 0 pertidaksamaan di atas adalah x = π/2, kemudian uji pada garis bilangan 0 ≤ x ≤ π diperoleh 0 ≤ x ≤ π/2

Jadi nilai x antara 0 dan π yang memenuhi adalah 0 ≤ x ≤ π/2

Soal #4
Pencerminan P(s,t) terhadap garis x = a dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = b menghasilkan titik Q. Jika garis PQ melalui titik (0,0), maka a : b = ...

Pembahasan
Hasil pencerminan P terhadap garis x = a adalah P'(2as,t)
Hasil pencerminan P' terhadap garis y = b adalah Q(2as, 2bt)

Persamaan garis PQ adalah \begin{split} & \frac{y-t}{2b-2t}=\frac{x-s}{2a-2s}\\ \Rightarrow & y-t=\frac{2b-2t}{2a-2s}(x-s)\\ \Rightarrow & y-t=\frac{b-t}{a-s}(x-s) \end{split} Garis di atas melalui (0,0) berarti \begin{split} & 0-t=\frac{b-t}{a-s}(0-s)\\ \Rightarrow & t(a-s)=(b-t)s\\ \Rightarrow & at-st=bs-st\\ \Rightarrow & at=bs\\ \Rightarrow & \frac{a}{b}=\frac{s}{t} \end{split} Jadi a : b = s : t

Soal #5
Diketahui Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2 satuan. Titik K adalah titik tengah CD. Jika α adalah sudut antara AK dan BH, maka cos α = ...

Pembahasan
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 242: Matematika Saintek
Berdasarkan ilustrasi di atas, sudut antara AK dan BH sama dengan sudut antara LM dan BM, oleh karena itu terlebih dahulu akan dicari panjang LM, BM dan LB.

Perhatikan bidang alas berikut ini
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 242: Matematika Saintek
K merupakan titik tengah DC, sehingga DK : AB = 1 : 2. Akibatnya
DN : NB = 1 : 2
KN : NA = 1 : 2 atau NA = 2AK/3
HM : MB = 1 : 2 atau MB = 2HB/3
EL : LA : 1 : 2 atau AL = 2EA/3

HB adalah diagonal ruang maka HB = 2√3 sehingga \(MB=\frac{2}{3}HB=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)

\(AK=\sqrt{AD^2+DK^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\), sehingga \(LM = AN =\frac{2}{3}AK=\frac{2\sqrt{5}}{3}\)

\(AL=\frac{2}{3}EA=\frac{4}{3}\) akibatnya \(BL=\sqrt{BA^2+AL^2}=\sqrt{4+\frac{16}{9}}=\sqrt{\frac{52}{9}}\)
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 242: Matematika Saintek
Dengan menggunakan aturan cosinus \begin{split} \cos \alpha & = \frac{LM^2+MB^2-LB^2}{2\cdot LM \cdot MB}\\ & = \frac{\frac{20}{9}+\frac{48}{9}-\frac{52}{9}}{2\cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{3}}\\ &=\frac{\frac{16}{9}}{\frac{16\sqrt{15}}{9}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{15}}\\&=\frac{1}{15}\sqrt{15}\end{split} Jadi \(\cos \alpha =\frac{1}{15}\sqrt{15}\)

Soal #6
Diketahui sisa pembagian suku banyak f(x) − g(x) oleh x2 + x − 2 adalah x dan sisa pembagian suku banyak f(x) + g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah x + 1, maka sisa pembagian (f(x))2 − (g(x))2 oleh x − 1 adalah ...

Pembahasan
Perhatikan bahwa p = x2 + x − 2 dan q = x2 − 3x + 2 keduanya habis dibagi x − 1

Misalkan
f(x) = f
g(x) = g

Sisa pembagian suku banyak f(x) − g(x) oleh x2 + x − 2 adalah x berarti
fg = p·h(x) + x untuk suatu suku banyak h(x)

sisa pembagian suku banyak f(x) + g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah x + 1 berarti
f + g = q·k(x) + x + 1 untuk suatu suku banyak k(x)

\begin{split} & (f(x))^2-(g(x))^2\\ = & f^2-g^2\\ = & (f-g)(f+g)\\ = & (p \cdot h(x) + x)(q \cdot k(x) + x + 1)\\ = & {\color{Blue} {pq \cdot h(x) \cdot k(x) + (x+1)p\cdot h(x)+xq \cdot k(x)}} + x(x+1) \end{split} Suku-suku yang ditulis berwarna biru habis dibagi x − 1 maka tinggal menentukan sisa pembagian x(x + 1) oleh x − 1

Substitusikan x = 1 ke x(x + 1) diperoleh 2

Jadi sisa pembagian (f(x))2 − (g(x))2 oleh x − 1 adalah 2

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik y = 3x + 1 jika ...

Pembahasan
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan 3x = y \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ & 2y^3-1 < y^2\\ & 2y^3-y^2-1 < 0\\ & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena 2y2 + y + 1 definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & x < 0 \end{split}

Soal #8
$\lim\limits_{x \to 0} x(1-\sqrt{x+1})\csc^2 x= \ldots$

Pembahasan
\begin{split} & \lim_{x \to 0} x(1-\sqrt{x+1})\csc^2 x\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{x(1-\sqrt{x+1})}{\sin^2 x}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{x(1-\sqrt{x+1})}{\sin^2 x} \times \frac{1+\sqrt{x+1}}{1+\sqrt{x+1}}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{x(1-(x+1))}{\sin^2 x(1+\sqrt{x+1})}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{\sin^2 x(1+\sqrt{x+1})}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{\sin^2 x}\frac{1}{1+\sqrt{x+1}}\\ = & -1 \cdot \frac{1}{1+\sqrt{0+1}}\\ = & -\frac{1}{2} \end{split}

Soal #9
Jika dalam suatu barisan geometri U255 : U254 = 2 : 1 dan U1 + U2 + ... + U8 = 51, maka U1 = ...

Pembahasan
\begin{split} & \frac{U_{255}}{U_{254}}=2\\ \Rightarrow & \frac{ar^{254}}{ar^{253}}=2\\ \Rightarrow & r=2 \end{split} \begin{split} & U_1+U_2+\ldots +U_8=51\\ \Rightarrow & \frac{a(r^8-1)}{r-1}=51\\ \Rightarrow & \frac{a(2^8-1)}{2-1}=51\\ \Rightarrow & 255a=51\\ \Rightarrow & a=\frac{51}{255}=\frac{1}{5} \end{split} Jadi U1 = 1/5

Soal #10
Diketahui f(x) = x3 + ax + 2. Jika nilai maksimum f(x) pada 0 ≤ x ≤ 1 terjadi pada x = 0, maka nilai terbesar a adalah ...

Pembahasan
Nilai maksimum f(x) pada 0 ≤ x ≤ 1 terjadi pada x = 0 berarti f(x) ≤ f(0) pada 0 ≤ x ≤ 1 \begin{split} & f(x) \leq f(0)\\ \Rightarrow & x^3+ax+2 \leq 2\\ \Rightarrow & x^3+ax \leq 0\\ \Rightarrow & x(x^2+a) \leq 0\\ \Rightarrow & x^2+a \leq 0\\ \Rightarrow & a \leq -x^2\\ \Rightarrow & a \leq -1 \end{split} Jadi nilai terbesar a adalah − 1

Soal #11
Diketahui \(f(x)=f(x+2)\) untuk setiap \(x\). Jika \(\int_0^2\limits f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7\limits f(x+8) \ dx =\ldots\)

Pembahasan
\(\int_0^2\limits f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1\limits f(x) \ dx + \int_1^2\limits f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1\limits f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2\limits f(x) \ dx = B-A\)
\begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split} Misalkan \(I_1=\int_3^4\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+2\) \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+4\) \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+6\) \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split} Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & 2B
\end{split}

Soal #12
Suatu daerah dibatasi y = x2 dan y = 4. Jika garis y = k membagi luas daerah tersebut menjadi dua bagian yang sama maka k = ...

Pembahasan
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 242: Matematika Saintek
\begin{split} & L_1 = L_2\\ \Rightarrow & L - L_2 = L_2\\ \Rightarrow & L = 2L_2\\ \Rightarrow & \int_{-2}^2 4-x^2 \ dx=2\int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} k-x^2 \ dx\\ \Rightarrow & \left[4x-\frac{x^2}{3}\right]_{-2}^2=2\left[kx-\frac{x^2}{3}\right]_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}}\\ \Rightarrow & \left(8-\frac{4}{3}\right)-\left(-8-\frac{4}{3}\right)=2\left(k\sqrt{k}-\frac{k}{3}\right)-2\left(-k\sqrt{k}-\frac{k}{3}\right)\\ \Rightarrow & 8-\frac{4}{3}+8+\frac{4}{3}=2k\sqrt{k}-\frac{2k}{3}+2k\sqrt{k}+\frac{2k}{3}\\ \Rightarrow & 16=4k\sqrt{k}\\ \Rightarrow & k\sqrt{k}=4\\ \Rightarrow & k^{3/2}=4\\ \Rightarrow & k=4^{2/3} \end{split}


Soal #13
Banyaknya bilangan genap n = abc dengan tiga digit sehingga 3 < b < c adalah ...

Pembahasan
Nilai c yang mungkin adalah 6 atau 8. Jika c = 6 maka b = 4 atau b = 5; terdapat 2 kemungkinan. Jika c = 8 maka b = 4 atau b = 5 atau b = 6 atau b = 7; terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar 3 < b < c ada sebanyak 6.

Nilai a yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk a, sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = 54

Soal #14
Garis singgung kurva y = 3 − x2 di titik P(−a,b) dan Q(a,b) memotong sumbu Y di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ...

Pembahasan
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 242: Matematika Saintek
Karena segitiga PQR sama sisi, maka θ = 60°, sehingga gradien garis singgung yang melalui P adalah tan 60° = $\sqrt{3}$

Gradien garis singgung di titik P merupakan nilai turunan pertama y = 3 − x2 di titik (−a,b). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{split}

Soal #15
Misalkan f(x) = 3x + b. Jika \(\int_{-1}^1 f(x)\ dx\), \(\int_{-1}^1 (f(x))^2 \ dx\), \(\int_{-1}^1 (f(x))^3 \ dx\) membentuk suatu barisan geometri, maka nilai b2 adalah ...

Pembahasan
Misalkan
\begin{split} U_1 & =\int_{-1}^1 f(x)\ dx\\ & =\int_{-1}^1 3x+b \ dx\\ & =\left[\frac{3x^2}{2}+bx \right]_{-1}^1\\ & =\left(\frac{3}{2}+b \right)-\left( \frac{3}{2}-b\right)\\ & =2b \end{split} \begin{split} U_2 & =\int_{-1}^1 (3x+b)^2 \ dx \text{ substitusi }u=3x+b\\ & =\int_{b-3}^{b+3} u^2 \ \frac{du}{3}\\ & =\frac{1}{3} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{b-3}^{b+3}\\ & =\frac{1}{3} \left(\frac{(b+3)^3}{3} \right)-\frac{1}{3} \left( \frac{(b-3)^3}{3} \right)\\ & =2b^2+6 \end{split} \begin{split} U_3 & =\int_{-1}^1 (3x+b)^3 \ dx \text{ substitusi }u=3x+b\\ & =\int_{b-3}^{b+3} u^3 \ \frac{du}{4}\\ & =\frac{1}{4} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{b-3}^{b+3}\\ & =\frac{1}{4} \left(\frac{(b+3)^4}{4} \right)-\frac{1}{4} \left( \frac{(b-3)^4}{4} \right)\\ & =2b^3+18b \end{split} Pada barisan geometri berlaku \begin{split} & \frac{U_2}{U_1}=\frac{U_3}{U_2}\\ \Rightarrow & U_2^2=U_1 U_2\\ \Rightarrow & \left( 2b^2+6 \right)^2=2b(2b^3+18b)\\ \Rightarrow & 4b^4+24b^2+36=4b^4+36b^2\\ \Rightarrow & 24b^2+36=36b^2\\ \Rightarrow & -12b^2=-36\\ \Rightarrow & b^2=3 \end{split}

Click to comment