Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Dua lingkaran $L_1$ dan $L_2$ berpusat pada sumbu X dengan radius $R_1 = 2$ dan $R_2 = 4$. Suatu garis singgung dalam dari kedua lingkaran tersebut menyinggung $L_1$ di $F$ dan menyinggung $L_2$ di G. Garis singgung tersebut memotong sumbu X di Q sehingga luas AFQ = 5 satuan luas dengan A titik pusat $L_1$. Panjang FG adalah ...
Solusi #1
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 241: MATEMATIKA SAINTEK
Luas AFQ = 5 berarti \begin{split}
& \frac{1}{2}\cdot AF \cdot FQ = 5\\
\Rightarrow & \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot FQ = 5\\
\Rightarrow & FQ=5 \end{split}
Segitiga AFQ sebangun dengan segitiga QGB dengan B merupakan pusat lingakaran $L_2$ \begin{split}
& \frac{FQ}{QG}=\frac{AF}{GB}\\
\Rightarrow & \frac{5}{QG}=\frac{2}{4}\\
\Rightarrow & QG = 10 \end{split}
Jadi panjang FG = FQ + QG = 5 + 10 = 15

Soal #2
Diketahui segitiga $ABC$ dan $\angle C = 90^{\circ}$. Titik $D$ pada sisi miring $AB$ dan titik $E$ pada $AC$ sehingga $AD$ : $BD$ = $AE$ : $EC$ = 1 : 2. Jika $p = \tan B$, maka $\tan \angle ADC =\ldots$
Solusi #2
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 241: MATEMATIKA SAINTEK
Jika $p = \tan B$ maka \begin{split}
& \frac{AC}{BC}=p\\
\Rightarrow & \frac{3x}{BC}=p\\
\Rightarrow & BC=\frac{3x}{p}
\end{split} Segitiga $ADE$ sebangun dengan segitiga $ABC$ berarti \begin{split}
& \frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}\\
\Rightarrow & \frac{x}{3x}=\frac{DE}{\frac{3x}{p}}\\
\Rightarrow & DE=\frac{x}{p}
\end{split} Oleh karena itu $$\tan \alpha = \frac{AE}{DE}=\frac{x}{\frac{x}{p}}=p$$ $$\tan \beta = \frac{CE}{DE}=\frac{2x}{\frac{x}{p}}=2p$$
Jadi \begin{split}
& \tan \angle ADC\\
= & \tan (\alpha+\beta)\\
= & \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}\\
= & \frac{p+2p}{1-p \cdot 2p}\\
= & \frac{3p}{1-2p^2}
\end{split}

Soal #3
Diketahui $4 \cos^2 t + 3 \sec t = 3 + 4 \cos t$ dengan $0 \leq t < 2\pi$, $t \neq \dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}$. Banyaknya anggota himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah ...
Solusi #3
\begin{split} & 4 \cos^2 t + 3 \sec t = 3 + 4 \cos t\\ \Rightarrow & 4 \cos^2 t + \frac{3}{\cos t} = 3 + 4 \cos t\\ \Rightarrow & 4 \cos^3 t + 3 = 3\cos t + 4 \cos^2 t\\ \Rightarrow & 4 \cos^3 t - 4 \cos^2 t - 3\cos t + 3 = 0\\ \Rightarrow & 4\cos^2 t(\cos t-1)-3(\cos t -1)=0\\ \Rightarrow & (4\cos^2 t - 3)(\cos t-1)=0\\ \Rightarrow & (2\cos t - \sqrt{3})(2\cos t + \sqrt{3})(\cos t-1)=0\\ \Rightarrow & 2\cos t - \sqrt{3}=0 \vee 2\cos t + \sqrt{3}=0 \vee \cos t-1=0\\ \Rightarrow & \cos t=\frac{1}{2}\sqrt{3} \vee \cos t = -\frac{1}{2}\sqrt{3} \vee \cos t =1 \end{split}
Jika $\cos t=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ maka $t=\dfrac{\pi}{6}$ atau $t=\dfrac{11\pi}{6}$

Jika $\cos t=-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ maka $t=\dfrac{5\pi}{6}$ atau $t=\dfrac{7\pi}{6}$

Jika $\cos t=1$ maka $t=0$
Jadi terdapat 5 nilai $t$ yang memenuhi persamaan

Soal #4
Jika vektor $\vec{x} = \begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix}$ didilatasikan sebesar $b$ kali kemudian dirotasikan sejauh $90^{\circ}$ berlawanan arah jarum terhadap titik pusat menjadi vektor $\vec y$ maka $a \vec{x}-\vec{y} = \ldots$
Solusi #4
Vektor $\vec{x}$ didilatasikan sebesar $b$ akan menghasilkan bayangan $b\vec{x}$. Kemudian vektor $b\vec{x}$ dirotasikan menghasilkan bayangan vektor $\vec{y}$ \begin{split} \vec{y}&=\begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} & -\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} b\vec{x}\\ &=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} b\begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix}\\ &=b\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix}\\ &=b\begin{pmatrix} -b\\ a\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -b^2\\ ab\end{pmatrix} \end{split}
Jadi \begin{split} & a\vec{x}-\vec{y}\\ =& a\begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -b^2\\ ab\end{pmatrix}\\ =& \begin{pmatrix} a^2\\ ab\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -b^2\\ ab\end{pmatrix}\\ =& \begin{pmatrix} a^2+b^2\\ 0\end{pmatrix} \end{split}

Soal #5
Pada kubus $ABCD.EFGH$, titik $M$ terletak pada diagonal $BE$ dengan perbandingan $EM : MB = 2 : 3$ dan $N$ adalah titik tengah rusuk $CD$. Jika $R$ terletak pada rusuk $AB$ dengan $RM$ sejajar $AE$, maka $\cos \angle NMR$ adalah ...
Solusi #5
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 241: MATEMATIKA SAINTEK
Karena $MR$ tegak lurus $RN$ maka $\cos \angle NMR = \frac{MR}{MN}$. Oleh karena itu terlebih dahulu dicari panjang $MR$ dan $MN$.

Misalkan panjang rusuk kubus di atas adalah $r$, kemudian perhatikan bahwa segitiga $ABE$ dan segitiga $RBM$ merupakan dua segitiga yang sebangun, akibatnya \begin{split} & \frac{EA}{RM}=\frac{EB}{MB}\\ \Rightarrow & \frac{r}{RM}=\frac{5}{3}\\ \Rightarrow & MR = \frac{3}{5}r \\ \Rightarrow & MR^2 = \frac{9}{25}r^2 \end{split}
Selanjutnya menentukan panjang $RN$
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 241: MATEMATIKA SAINTEK
Titik $P$ merupakan titik tengah $AB$ maka $AP=\frac{1}{2}r$.
Karena segitiga $ABE$ dan segitiga $RBM$ merupakan dua segitiga yang sebangun maka $AB:RB=5:3$ dengan kata lain $RB=\frac{3}{5}AB=\frac{3}{5}r$ sehingga $AR=AB-RB=\frac{2}{5}r$ akibatnya \begin{split} RP&=AP-AR\\ &=\frac{1}{2}r-\frac{2}{5}r\\ &=\frac{1}{10}r \end{split}
Dengan rumus pythagoras diperoleh \begin{split}
RN^2 &=RP^2+PN^2\\
&=\frac{r^2}{100}+r^2\\
&=\frac{101}{100}r^2
\end{split} Lagi dengan rumus pythagoras diperoleh \begin{split}
MN&=\sqrt{MR^2+RN^2}\\
&=\sqrt{\frac{9}{25}r^2+\frac{101}{100}r^2}\\
&=\sqrt{\frac{137}{100}r^2}\\
&=\frac{r}{10}\sqrt{137}
\end{split}
Jadi \begin{split}
& \cos \angle NMR\\
= & \frac{MR}{MN}\\
= & \frac{\frac{3r}{5}} {\frac{r\sqrt{137}}{10}}\\
= & \frac{6}{\sqrt{137}}
\end{split}

Soal #6
Jika sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^3-3x+5$ adalah $3x^2-2$, dan sisa pembagian $(x + f(x))^2$ oleh $x^3-3x+5$ adalah $ax^2+bx+c$, maka $a-b-c=\ldots$
Solusi #6
Misalkan
$f = f(x)$
$h = h(x)$
$q = q(x) = x^3-3x+5$
$s = s(x) = 3x^2-2$
$f = hq + s$ maka $f^2 = h^2q^2 + 2hqs + s^2$
\begin{split} &(x+f(x))^2 \\ = & (x+f)^2\\ = & x^2+2xf+f^2\\ = & x^2+2x(hq+s)+(h^2q^2+2hqs+s^2)\\ = & x^2+{\color{Blue} {2xhq}}+2xs+{\color{Blue} {h^2q^2}}+{\color{Blue} {2hqs}}+s^2 \end{split}
Suku-suku yang diwarnai biru habis dibagi $q$, sehingga tinggal mencari sisa pembagian $x^2+2xs+s^2$ oleh $q$.
\begin{split} & x^2+2xs+s^2\\ = & x^2+2x(3x^2-2)+(3x^2-2)^2\\ = & 9x^4+6x^3-11x^2-4x+4 \end{split}
Dengan menggunakan pembagian bersusun $9x^2 + 6x^3 - 11x^2 - 4x + 4$ dibagi oleh $x^3-3x + 5$ diperoleh sisa $16x^2 - 31x − 26$. Sehingga $a = 16$, $b = −31$, dan $c = −26$
Jadi \begin{split} & a − b − c \\ = & 16 − (−31) − (−26)\\ = & 73 \end{split}

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik \(y = 3^x+1\) jika ...
Solusi #7
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan \(3^x = y\) \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ & 2y^3-1 < y^2\\ & 2y^3-y^2-1 < 0\\ & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena \(2y^2+y+1\) definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & x < 0 \end{split}
Jadi nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(x < 0\)

Soal #8
$\lim_{h \to 0}\limits \frac{\cos(x+2h)-\cos(x-2h)}{h\sqrt{4-h}}=\dots $
Solusi #8
Substitusikan $u = x - 2h$ maka
\begin{split} & \lim_{h \to 0} \frac{\cos(u+4h)-\cos(u)}{h\sqrt{4-h}}\\ = & \lim_{h \to 0} \frac{\cos(u+4h)-\cos(u)}{4h}\frac{4}{\sqrt{4-h}}\\ = & \lim_{h \to 0} -\sin u \cdot \frac{4}{2}\\ = & \lim_{h \to 0} -2\sin(x-2h)\\ = & -2\sin x \end{split}
Jadi nilai limit tersebut adalah $-2\sin x$

Soal #9
Misalkan \((a_n)\) adalah barisan geometri yang memenuhi sistem \(a_2+a_5-a_4=10\), \(a_3+a_6-a_5=20\). Nilai dari \(a_2\) adalah ...
Solusi #9
\((a_n)\) adalah barisan geometri maka \(a_n=ar^{n-1}\)

\(a_2+a_5-a_4=10\) maka \(ar+ar^4-ar^3=10\) \begin{split} & a_3+a_6-a_5=20\\ \Rightarrow & ar^2+ar^5-ar^4=20\\ \Rightarrow & (ar+ar^4-ar^3)r=20\\ \Rightarrow & 10r=20\\ \Rightarrow & r=2 \end{split} Substitusikan \(r=2\) ke persamaan \(ar+ar^4-ar^3=10\) diperoleh \(a=1\)
Jadi \(a_2=ar=1 \cdot 2=2\)

Soal #10
Misalkan $f(x)=x^3+2x^2+a$ dan $g(x)=x+a$ berpotongan di sumbu X, dengan $a$ bilangan bulat. Nilai minimum dari $f(x)$ di interval $-1 \leq x \leq 2$ adalah ...
Solusi #10
Titik potong $f(x)$ dan $g(x)$ dapat dicari dengan cara \begin{split} & f(x)=g(x)\\ \Rightarrow & x^3+2x^2+a=x+a\\ \Rightarrow & x^3+2x^2-x=0\\ \Rightarrow & x(x^2+2x-1)=0\\ \Rightarrow & x=0 \vee (x^2+2x-1)=0 \end{split} Karena $a$ suatu bilangan bulat maka absis titik potongnya juga harus bilangan bulat yaitu $x=0$. Ini artinya $f(x)$ dan $g(x)$ berpotongan di $x=0$. Karena titik potong ini di sumbu X berarti $f(0)=g(0)=0$, sehingga diperoleh $a=0$.

Oleh karena itu $f(x)=x^3+2x^2$

$f(x)$ maksimum jika \begin{split} & f'(x)=0\\ \Rightarrow & 3x^2+4x=0\\ \Rightarrow & x=0 \vee x=-\frac{4}{3} \end{split} Karena $x=-\dfrac{4}{3}$ tidak dalam interval $-1 \leq x \leq 2$ maka cukup membandingkan nilai

$f(-1)=1$
$f(0)=0$
$f(2)=3$
Jadi minimum dari $f(x)$ adalah 0

Soal #11
Diketahui \(f(x)=f(x+2)\) untuk setiap \(x\). Jika \(\int_0^2\limits f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7\limits f(x+8) \ dx =\ldots\)
Solusi #11
\(\int_0^2\limits f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1\limits f(x) \ dx + \int_1^2\limits f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1\limits f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2\limits f(x) \ dx = B-A\)
\begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split}
Misalkan \(I_1=\int_3^4\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+2\) \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+4\) \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+6\) \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split}
Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & 2B
\end{split}

Soal #12
Misalkan D daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, garis $y = 4$, dan kurva $y = x^2$. Jika garis $y = k$ membagi dua daerah D sama besar, maka $k^3 =\ldots$
Solusi #12
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 241: MATEMATIKA SAINTEK

Jika $y = x^2$ maka $x=\sqrt{y}$
Luas $D_1$ sama dengan luas $D_2$ maka
\begin{split}
& \int_k^4 \sqrt{y} \ dy = \int_0^k \sqrt{y}\ dy \\
\Rightarrow & \left[ \frac{2}{3}y\sqrt{y}\right]_k^4=\left[ \frac{2}{3}y\sqrt{y}\right]_0^k\\
\Rightarrow & \frac{16}{3}-\frac{2}{3}k\sqrt{k}= \frac{2}{3}k\sqrt{k}-0\\
\Rightarrow & \frac{16}{3}= \frac{4}{3}k\sqrt{k}\\
\Rightarrow & k\sqrt{k}=4\\
\Rightarrow & (k\sqrt{k})^2=4^2\\
\Rightarrow & k^3=16
\end{split}
Jadi $k^3=16$

Soal #13
Banyaknya bilangan genap \(n = abc\) dengan tiga digit sehingga \(3 < b < c\) adalah ...
Solusi #13
Nilai \(c\) yang mungkin adalah 6 atau 8.

Jika \(c = 6\) maka \(b = 4\) atau \(b = 5\); terdapat 2 kemungkinan.

Jika \(c = 8\) maka \(b = 4\) atau \(b = 5\) atau \(b = 6\) atau \(b = 7\); terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar \(3 < b < c\) ada sebanyak 6.

Nilai \(a\) yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk \(a\), sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = 54
Jadi terdapat sebanyak 54 bilangan

Soal #14
Garis singgung kurva \(y = 3 − x^2\) di titik \(P(−a,b)\) dan \(Q(a,b)\) memotong sumbu \(y\) di titik \(R\). Nilai \(a\) yang membuat segitiga \(PQR\) sama sisi adalah ...
Solusi #14
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 241: MATEMATIKA SAINTEK
Karena segitiga \(PQR\) sama sisi, maka \(\theta = 60^{\circ}\), sehingga gradien garis singgung yang melalui \(P\) adalah \(\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}\)

Gradien garis singgung di titik \(P\) merupakan nilai turunan pertama \(y\) di titik \((-a,b)\). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{split}
Jadi nilai \(a=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Soal #15
Misalkan $f(x) = 3x + b$. Jika \(\int_{-1}^1 f(x)\ dx\), \(\int_{-1}^1 (f(x))^2 \ dx\), \(\int_{-1}^1 (f(x))^3 \ dx\) membentuk suatu barisan geometri, maka nilai $b^2$ adalah ...
Solusi #15
Misalkan
\begin{split} U_1 & =\int_{-1}^1 f(x)\ dx\\ & =\int_{-1}^1 3x+b \ dx\\ & =\left[\frac{3x^2}{2}+bx \right]_{-1}^1\\ & =\left(\frac{3}{2}+b \right)-\left( \frac{3}{2}-b\right)\\ & =2b \end{split}

\begin{split} U_2 & =\int_{-1}^1 (3x+b)^2 \ dx \text{ substitusi }u=3x+b\\ & =\int_{b-3}^{b+3} u^2 \ \frac{du}{3}\\ & =\frac{1}{3} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{b-3}^{b+3}\\ & =\frac{1}{3} \left(\frac{(b+3)^3}{3} \right)-\frac{1}{3} \left( \frac{(b-3)^3}{3} \right)\\ & =2b^2+6 \end{split}

\begin{split} U_3 & =\int_{-1}^1 (3x+b)^3 \ dx \text{ substitusi }u=3x+b\\ & =\int_{b-3}^{b+3} u^3 \ \frac{du}{4}\\ & =\frac{1}{4} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{b-3}^{b+3}\\ & =\frac{1}{4} \left(\frac{(b+3)^4}{4} \right)-\frac{1}{4} \left( \frac{(b-3)^4}{4} \right)\\ & =2b^3+18b \end{split}

Pada barisan geometri berlaku
\begin{split} & \frac{U_2}{U_1}=\frac{U_3}{U_2}\\ \Rightarrow & U_2^2=U_1 U_2\\ \Rightarrow & \left( 2b^2+6 \right)^2=2b(2b^3+18b)\\ \Rightarrow & 4b^4+24b^2+36=4b^4+36b^2\\ \Rightarrow & 24b^2+36=36b^2\\ \Rightarrow & -12b^2=-36\\ \Rightarrow & b^2=3 \end{split}
Jadi $b^2=3$

Click to comment