Type something and hit enter

author photo
By On
 Soal #1
Misalkan $L_1$ lingkaran yang mempunyai radius 6 dan pusat (0,0) dan $L_2$ lingkaran yang mempunyai radius 3 dan pusat di sumbu X positif. Jika persamaan garis singgung dalam kedua lingkaran adalah $4y-3x+30=0$, maka persamaan $L_2$ adalah ...
Solusi #1
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 239: MATEMATIKA SAINTEK
Pada gambar di atas $AB$ merupakan jari-jari lingkaran $L_1$ dan $DE$ merupakan jari-jari lingkaran $L_2$. Sedangkan titik $C$ merupakan titik potong antara garis singgung $4y-3x+30=0$ dengan sumbu X.

Karena $C$ merupakan titik singgung sumbu X, substitusikan $y=0$ ke persamaan $4y-3x+30=0$ sehingga diperoleh $x=10$. Akibatnya panjang $AC = 10$.

Segitiga ABC sebangun dengan segitiga CDE, akibatnya \begin{split} & \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{CE}\\ \Rightarrow & \frac{6}{3}=\frac{10}{CE}\\ \Rightarrow & CE=5 \end{split} Karena $CE = 5$ maka \begin{split} AE & = AC + CE \\ & = 10 + 5 \\ & = 15 \end{split} sehingga koordinat titik E sebagai pusat $L_2$ adalah $(15,0)$
Jadi persamaan lingkaran $L_2$ adalah $(x-15)^2+y^2=9$

Soal #2
Segitiga $ABD$ siku-siku di $B$. Jika \(\frac{CD}{BD}=\sqrt{2}\) dan $\alpha = 45^{\circ}$, maka $\tan \beta =\ldots$
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 239: MATEMATIKA SAINTEK
Solusi #2
Misalkan $BD = x$

karena $\alpha = 45^{\circ}$ maka $AB$ juga akan sama dengan $x$

karena \(\frac{CD}{BD}=\sqrt{2}\) maka $CD = x\sqrt{2}$
\begin{split} & \tan(\alpha + \beta)=\frac{BC}{AB}\\ \Rightarrow & \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}=\frac{x\sqrt{2}+x}{x}\\ \Rightarrow & \frac{1+\tan \beta}{1-\tan \beta}=\sqrt{2}+1\\ \Rightarrow & 1+\tan \beta = (\sqrt{2}+1)(1-\tan \beta)\\ \Rightarrow & 1+\tan \beta = \sqrt{2}+1-\sqrt{2}\tan \beta-\tan \beta\\ \Rightarrow & 2 \tan \beta + \sqrt{2}\tan \beta = \sqrt{2}\\ \Rightarrow & (2 + \sqrt{2})\tan \beta = \sqrt{2}\\ \Rightarrow & \tan \beta = \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \end{split}
Jadi \(\tan \beta = \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}\)

Soal #3
Banyaknya nilai $x$ yang memenuhi persamaan
$(\sin^2 2x + \cos^2 2x)(\sin^2 2x - \cos^2 2x)=1$
untuk $0 \leq x \leq 2\pi$ adalah ...
Solusi #3
\begin{split} & (\sin^2 2x + \cos^2 2x)(\sin^2 2x - \cos^2 2x)=1\\ \Rightarrow & (1)(-\cos 4x)=1\\ \Rightarrow & \cos 4x=-1\\ \Rightarrow & 4x=\pi+2k\pi\\ \Rightarrow & x=\frac{\pi+2k\pi}{4} \end{split}
\begin{split} & 0 \leq \frac{\pi+2k\pi}{4} \leq 2\pi\\ \Rightarrow & 0 \leq \pi+2k\pi \leq 8\pi\\ \Rightarrow & 0 \leq 1+2k \leq 8\\ \Rightarrow & -1 \leq 2k \leq 7\\ \Rightarrow & -\frac{1}{2} \leq k \leq \frac{7}{2} \end{split} Ada terdapat 4 bilangan bulat k yang memenuhi pertidaksamaan di atas yaitu 0, 1, 2 dan 3
Jadi banyak nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah 4

Soal #4
Jika pencerminan titik $P(s,t)$ terhadap garis $x=a$ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=b$ menghasilkan dilatasi sebesar 3 kali, maka $ab=\ldots$
Solusi #4
Titik $P(s,t)$ terhadap garis $x=a$ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=b$ akan menghasilkan bayangan $P'(2a-s,2b-t)$

Titik $P'(2a-s,2b-t)$ juga merupakan hasil dilatasi sebesar 3 kali yaitu $P'(3s,3t)$

Oleh karena itu diperoleh $$2a-s=3s \Rightarrow a=2s$$ dan $$2b-t=3t \Rightarrow b=2t$$
Jadi $ab=2s \cdot 2t = 4st$

Soal #5
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan $P$ merupakan titik tengah $BF$, dan $Q$ merupakan titik tengah $DC$. Jika $\angle PHQ = \theta$, maka $\cos \theta = \ldots$
Solusi #5
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 239: MATEMATIKA SAINTEK
Pertama-tama harus diketahui dulu panjang sisi segitiga PHQ. Misalkan panjang rusuk kubus di atas adalah $r$
\begin{split}
HQ^2 & =HD^2+DQ^2\\
& =r^2+\left( \frac{r}{2}\right)^2\\
& =\frac{5}{4}r^2\\
\Rightarrow & HQ=\frac{r}{2}\sqrt{5}
\end{split}
\begin{split}
HP^2 & =HG^2+GF^2+FP^2\\
& =r^2+r^2+\left( \frac{r}{2}\right)^2\\
& =\frac{9}{4}r^2\\
\Rightarrow & HP=\frac{3r}{2}
\end{split}
\begin{split}
PQ^2 & =PB^2+BC^2+CQ^2\\
& =\left( \frac{r}{2}\right)^2+r^2+\left( \frac{r}{2}\right)^2\\
& =\frac{3}{2}r^2
\end{split}
Dengan menggunakan aturan cosinus diperoleh
\begin{split}
\cos \theta &= \frac{HP^2+HQ^2-PQ^2}{2\cdot HP \cdot HQ}\\
&=\frac{\frac{9}{4}r^2+\frac{5}{4}r^2-\frac{3}{2}r^2}{2 \cdot \frac{3r}{2}\cdot \frac{r}{2}\sqrt{5}}\\
&=\frac{2r^2}{\frac{3r^2}{2}\sqrt{5}} \\
&=\frac{4}{3\sqrt{5}}\\
&=\frac{4}{15}\sqrt{5}
\end{split}

Soal #6
Diketahui bahwa sisa pembagian suku banyak $f(x)$ oleh $x^2+2x+4$ adalah $2x+3$, dan sisa pembagian $(x+f(x))^2$ oleh $x^2+2x+4$ adalah $ax+b$, maka nilai $a+b$ adalah ...
Solusi #6
Misalkan $p(x)=x^2+2x+4$

Sisa pembagian suku banyak $f(x)$ oleh $p=p(x)=x^2+2x+4$ adalah $2x+3$ berarti $f(x)=p(x)h(x)+2x+3$ untuk suatu suku banyak $h(x)$. Oleh karena itu
\begin{split} & (x+f(x))^2\\ = & (x+p(x)h(x)+2x+3)^2\\ = & (p(x)h(x)+3x+3)^2\\ = & (p(x)h(x))^2+2p(x)h(x)(2x+3)+(3x+3)^2\\ = & {\color{Blue}{(p(x)h(x))^2+2p(x)h(x)(2x+3)}}+9x^2+18x+9 \end{split}
Suku-suku yang berwarna biru di atas habis dibagi oleh $p(x)=x^2+2x+4$, akibatnya tinggal mencari sisa pembagian $9x^2+18x+9$. Dengan pembagian bersusun diperoleh sisa $-27$ dengan kata lain sisanya $0x-27$ sehingga $a=0$ dan $b=-27$
Jadi $a+b=-27$

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik \(y = 3^x+1\) jika ...
Solusi #7
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan \(3^x = y\) \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ & 2y^3-1 < y^2\\ & 2y^3-y^2-1 < 0\\ & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena \(2y^2+y+1\) definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & x < 0 \end{split}
Jadi nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(x < 0\)

Soal #8
$\lim_{x \to 0}\limits \dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}}=\ldots$
Solusi #8
\begin{split} & \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}} \times {\color{Blue}{\frac{\sqrt{x^2+1}+1}{\sqrt{x^2+1}+1}}}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{x^2+1-1}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}(\sqrt{x^2+1}+1)}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}(\sqrt{x^2+1}+1)} \times {\color{Blue}{\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}}}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}}{x^2}(\sqrt{x^2+1}+1)}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{\frac{3x^5}{x^4}+\frac{4\sin^4 x}{x^4}}(\sqrt{x^2+1}+1)}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{3x+\frac{4\sin^4 x}{x^4}}(\sqrt{x^2+1}+1)}\\ = & \frac{1}{\sqrt{0+4}(\sqrt{0+1}+1)}\\ = & \frac{1}{4} \end{split}
Jadi $\lim_{x \to 0}\limits \dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{3x^5+4\sin^4 x}}=\dfrac{1}{4}$

Soal #9
Suat barisan geometri semua sukunya positif. Jika \(\dfrac{U_1+U_2}{U_3+U_4}=\dfrac{1}{9}\) maka \(\dfrac{U_1+U_2+U_3+U_4}{U_2+U_3}=\ldots\)
Solusi #9
\begin{split} & \frac{U_1+U_2}{U_3+U_4}=\frac{1}{9}\\ \Rightarrow & \frac{a+ar}{ar^2+ar^3}=\frac{1}{9}\\ \Rightarrow & \frac{1+r}{r^2+r^3}=\frac{1}{9}\\ \Rightarrow & r^3+r^2=9r+9\\ \Rightarrow & r^2(r+1)=9(r+1)\\ \Rightarrow & r^2=9\\ \Rightarrow & r=3 \end{split}
Jadi \begin{split} & \frac{U_1+U_2+U_3+U_4}{U_2+U_3}\\ = & \frac{a+ar+ar^2+ar^3}{ar+ar^2}\\ = & \frac{1+r+r^2+r^3}{r+r^2}\\ = & \frac{1+3+9+27}{3+9}\\ = & \frac{40}{12}\\ = & \frac{10}{3}\end{split}

Soal #10
Diketahui $f(x) = x^3-ax+\dfrac{2}{3}$ dan $f(x)$ memotong sumbu $x$ di titik $x=1$. Nilai maksimum $f(x)$ untuk $0 \leq x \leq 1$ adalah ...
Solusi #10
$f(x)$ memotong sumbu $x$ di titik $x = 1$ berarti \begin{split} & f(1) = 0\\ \Rightarrow & 1^3 − a + \frac{2}{3} = 0\\ \Rightarrow & a = 3 \end{split} sehingga $f(x)=x^3-3x+2$

$f(x)$ mungkin maksimum jika $f'(x) = 0$ untuk $0 \leq x \leq 1$ \begin{split} & 3x^2 - 3 = 0\\ \Rightarrow & x^2=1\\ \Rightarrow & x = 1 \text{ atau } x = -1 \end{split} Karena $x=-1$ tidak ada dalam interval $0 \leq x \leq 1$ jadi cukup menentukan nilai $f(x)$ untuk $x=0$ dan $x=1$

$f(0) = 1$
$f(1) = 0$
Jadi nilai maksimum $f(x)$ adalah 1

Soal #11
Diketahui \(f(x)=f(x+2)\) untuk setiap \(x\). Jika \(\int_0^2\limits f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7\limits f(x+8) \ dx =\ldots\)
Solusi #11
\(\int_0^2\limits f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1\limits f(x) \ dx + \int_1^2\limits f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1\limits f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2\limits f(x) \ dx = B-A\)
\begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split}
Misalkan \(I_1=\int_3^4\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+2\) \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+4\) \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7\limits f(x) \ dx\); Substitusi \(x=u+6\) \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split}
Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & 2B
\end{split}

Soal #12
Suatu daerah dibatasi $y = x^2$ dan $y = 4$. Jika garis $y = k$ membagi luas daerah tersebut menjadi dua bagian yang sama maka $k =\ldots$
Solusi #12
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 239: MATEMATIKA SAINTEK
\begin{split} & L_1 = L_2\\ \Rightarrow & L - L_2 = L_2\\ \Rightarrow & L = 2L_2\\ \Rightarrow & \int_{-2}^2 4-x^2 \ dx=2\int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} k-x^2 \ dx\\ \Rightarrow & \left[4x-\frac{x^2}{3}\right]_{-2}^2=2\left[kx-\frac{x^2}{3}\right]_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}}\\ \Rightarrow & \left(8-\frac{4}{3}\right)-\left(-8-\frac{4}{3}\right)=2\left(k\sqrt{k}-\frac{k}{3}\right)-2\left(-k\sqrt{k}-\frac{k}{3}\right)\\ \Rightarrow & 8-\frac{4}{3}+8+\frac{4}{3}=2k\sqrt{k}-\frac{2k}{3}+2k\sqrt{k}+\frac{2k}{3}\\ \Rightarrow & 16=4k\sqrt{k}\\ \Rightarrow & k\sqrt{k}=4\\ \Rightarrow & k^{3/2}=4\\ \Rightarrow & k=4^{2/3} \end{split}
Jadi $k = 4^{\frac{2}{3}}$

Soal #13
Banyaknya bilangan genap \(n = abc\) dengan tiga digit sehingga \(3 < b < c\) adalah ...
Solusi #13
Nilai \(c\) yang mungkin adalah 6 atau 8.

Jika \(c = 6\) maka \(b = 4\) atau \(b = 5\); terdapat 2 kemungkinan.

Jika \(c = 8\) maka \(b = 4\) atau \(b = 5\) atau \(b = 6\) atau \(b = 7\); terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar \(3 < b < c\) ada sebanyak 6.

Nilai \(a\) yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk \(a\), sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = 54
Jadi terdapat sebanyak 54 bilangan

Soal #14
Garis singgung kurva \(y = 3 − x^2\) di titik \(P(−a,b)\) dan \(Q(a,b)\) memotong sumbu \(y\) di titik \(R\). Nilai \(a\) yang membuat segitiga \(PQR\) sama sisi adalah ...
Solusi #14
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 239: MATEMATIKA SAINTEK
Karena segitiga \(PQR\) sama sisi, maka \(\theta = 60^{\circ}\), sehingga gradien garis singgung yang melalui \(P\) adalah \(\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}\)

Gradien garis singgung di titik \(P\) merupakan nilai turunan pertama \(y\) di titik \((-a,b)\). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{split}
Jadi nilai \(a=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Soal #15
Tiga bilangan positif $^a \log b$, $^b \log c$, $^c \log d$ membentuk barisan geometri. Jika $a = 3$ dan suku kedua barisan tersebut adalah $2$, maka $d = \ldots$
Solusi #15
suku kedua barisan tersebut adalah $2$ berarti $^b \log c =2$

$^a \log b$, $^b \log c$, $^c \log d$ membentuk barisan geometri maka
\begin{split} & \frac{^b \log c}{^a \log b}=\frac{^c \log d}{^b \log c}\\ \Rightarrow & ^a \log b \cdot \ ^c \log d = (^b \log c)^2\\ \Rightarrow & ^a \log b \cdot {\color{Blue} {^b \log c}} \cdot \ ^c \log d = (^b \log c)^2 \cdot {\color{Blue} {^b \log c}}\\ \Rightarrow & ^a \log d = (^b \log c)^3\\ \Rightarrow & ^3 \log d = 2^3\\ \Rightarrow & ^3 \log d = 8\\ \end{split}
Jadi $d=3^8$

Click to comment