Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 226: Matematika Saintek
Diketahui persegi panjang dan setengah lingkaran dengan diameter pada alas, seperti pada gambar. Garis DE menyinggung lingkaran, panjang CD = 6 dan CE = 8. Panjang AD = ...
Solusi #1
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 226: Matematika Saintek
Misalkan F adalah titik singgung garis DE pada setengah lingkaran maka

EB = EF = x

Menggunakan rumus pythagoras diperoleh DE = 10 sehingga

AD = DF = 10 − x
\begin{split} & BC = AD\\ \Rightarrow & 8+x=10-x\\ \Rightarrow & 2x=2\\ \Rightarrow & x=1 \end{split}
Jadi AD = 10 − 1 = 9

Soal #2
Segitiga ABD siku-siku di B. Titik C pada BD sehingga CD = 3 dan BC = 2. Jika AB = 1 dan ∠CAD = β maka sin2 β = ...
Solusi #2
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 226: Matematika Saintek
\(AD=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}\)
\(AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)

Dengan menggunakan rumus selisih sudut \begin{split} & \sin \beta \\ = & \sin (\theta-\alpha)\\ = & \sin \theta \cos \alpha - \cos \theta \sin \alpha\\ = & \frac{BD}{AD} \frac{AB}{AC} - \frac{AB}{AD} \frac{BC}{AC}\\ = & \frac{5}{\sqrt{26}} \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{26}} \frac{2}{\sqrt{5}}\\ = & \frac{3}{\sqrt{130}}\\ \end{split}
Jadi \(\sin^2 \beta = \left(\frac{3}{\sqrt{130}}\right)^2=\frac{9}{130}\)

Soal #3
Nilai x antara 0 dan \(\pi\) yang memenuhi pertidaksamaan sin 2x + cos x ≥ 0 adalah
Solusi #3
\begin{split} & \sin 2x + \cos x \geq 0\\ \Rightarrow & 2\sin x \cos x + \cos x \geq 0\\ \Rightarrow & \cos x (2\sin x + 1) \geq 0 \end{split} Pembuat nol nya adalah

2sin x + 1 = 0 tetapi tidak ada x antara 0 dan \(\pi\) yang memenuhi.

cos x = 0 diperoleh x = \(\pi\)/2.

oleh karena itu pembuat nol nya hanya x = \(\pi\)/2.

Kemudian uji pada garis bilangan 0 ≤ x ≤ \(\pi\) diperoleh solusi 0 ≤ x ≤ \(\pi\)/2
Jadi nilai x yang memenuhi adalah 0 ≤ x ≤ \(\pi\)/2

Soal #4
Jika vektor u = (a,b) dicerminkan pada garis x = y kemudian dirotasikan sejauh 90° dengan pusat (0,0) menjadi vektor v, maka u + v = ...
Solusi #4
u = (a,b) dicerminkan pada garis x = y menghasilkan bayangan u' = (b,a)
u' = (b,a) dirotasikan sejauh dirotasikan sejauh 90° dengan pusat (0,0) menghasilkan v = (−a,b)
Jadi u + v = (a,b) + (−a,b) = (0,2b)

Soal #5
Pada kubus ABCD.EFGH, titik P adalah titik potong diagonal AH dan DE. Jika R terletak di tengah rusuk AD, maka nilai sin ∠PBR adalah . . .
Solusi #5
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 226: Matematika Saintek
Misalkan panjang rusuk kubus adalah x, maka
PR = x/2
PA = 1/2 diagonal bidang = x2/2
\begin{split} PB = & \sqrt{PA^2+AB^2}\\ = & \sqrt{\left(\frac{x\sqrt{2}}{2}\right)^2+x^2}\\ = & \sqrt{\frac{1}{2}x^2+x^2}\\ = & \sqrt{\frac{3}{2}x^2}\\ = & \frac{1}{2}x\sqrt{6} \end{split}
Jadi \begin{split} \sin \theta & = \frac{PR}{PB}\\ & = \frac{x/2}{x\sqrt{6}/2}\\ & = \frac{1}{\sqrt{6}}\\ & = \frac{\sqrt{6}}{6} \end{split}

Soal #6
Fungsi f(x) dan g(x) adalah fungsi dengan sifat f(−x) = f(x) dan g(−x) = g(x) . Jika sisa pembagian (x − 1)f(x) oleh x2 − 2x − 3 adalah x + 3 dan sisa pembagian (x + 2)g(x) oleh x2 + 2x − 3 adalah x + 5, maka sisa pembagian xf(x)g(x) oleh x2 + 4x + 3 adalah ...
Solusi #6
sisa pembagian (x − 1)f(x) oleh x2 − 2x − 3 adalah x + 3 berarti
(x − 1)f(x) = (x2 − 2x − 3)h(x) + x + 3 untuk suatu suku banyak h(x)
Substitusikan x = −1 dan x = 3 ke persamaan di atas diperoleh
f(−1) = −1 dan
f(3) = 3, tetapi karena f(−x) = f(x) maka f(−3) = 3

sisa pembagian (x + 2)g(x) oleh x2 + 2x − 3 adalah x + 5 berarti
(x + 2)g(x) = (x2 + 2x − 3)k(x) + x + 5 untuk suatu suku banyak k(x)
Substitusikan x = −3 dan x = 1 ke persamaan di atas diperoleh
g(−3) = −2 dan
g(1) = 2, tetapi karena g(−x) = g(x) maka g(−1) = 2

Misalkan sisa pembagian xf(x)g(x) oleh x2 + 4x + 3 adalah ax + b maka
xf(x)g(x) = (x2 + 4x + 3)p(x) + ax + b untuk suatu suku banyak p(x)
Substitusikan x = −1 dan x = −3 pada persamaan di atas diperoleh
f(−1)g(−1) = −a + b atau −a + b = 2
−3f(−3)g(−3) = −3a + b atau −3a + b = 18

Dengan menyelesaikan SPLDV di atas diperoleh a = −8 dan b = −6
Jadi sisa pembagiannya adalah −8x − 6

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik y = 3x + 1 jika ...
Solusi #7
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan 3x = y \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ & 2y^3-1 < y^2\\ & 2y^3-y^2-1 < 0\\ & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena 2y2 + y + 1 definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & x < 0 \end{split}
Jadi nilai x yang memenuhi adalah x < 0

Soal #8
\[\lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+2h)-\cos(x-2h)}{h\sqrt{4-h}}=\dots \]
Solusi #8
Substitusikan u = x − 2h maka
\begin{split} & \lim_{h \to 0} \frac{\cos(u+4h)-\cos(u)}{h\sqrt{4-h}}\\ = & \lim_{h \to 0} \frac{\cos(u+4h)-\cos(u)}{4h}\frac{4}{\sqrt{4-h}}\\ = & \lim_{h \to 0} -\sin u \cdot \frac{4}{2}\\ = & \lim_{h \to 0} -2\sin(x-2h)\\ = & -2\sin x \end{split}
Jadi nilai limit tersebut adalah −2sin x

Soal #9
Suat barisan geometri semua sukunya positif. Jika \(\frac{U_1+U_2}{U_3+U_4}=\frac{1}{9}\) maka \(\frac{U_1+U_2+U_3+U_4}{U_2+U_3}=\ldots\)
Solusi #9
\begin{split} & \frac{U_1+U_2}{U_3+U_4}=\frac{1}{9}\\ \Rightarrow & \frac{a+ar}{ar^2+ar^3}=\frac{1}{9}\\ \Rightarrow & \frac{1+r}{r^2+r^3}=\frac{1}{9}\\ \Rightarrow & r^3+r^2=9r+9\\ \Rightarrow & r^2(r+1)=9(r+1)\\ \Rightarrow & r^2=9\\ \Rightarrow & r=3 \end{split}
Jadi \begin{split} & \frac{U_1+U_2+U_3+U_4}{U_2+U_3}\\ = & \frac{a+ar+ar^2+ar^3}{ar+ar^2}\\ = & \frac{1+r+r^2+r^3}{r+r^2}\\ = & \frac{1+3+9+27}{3+9}\\ = & \frac{40}{12}\\ = & \frac{10}{3}\end{split}

Soal #10
Nilai konstanta positif a yang mungkin sehingga 451/50 merupakan nilai minimum dari fungsi f(x) = (a2 + 1)x2 − 2ax + 10 untuk x ∈ [0,1/2] adalah ...
Solusi #10
grafik f(x) = Ax2 + Bx + C memiliki titik puncak \(\left(\frac{B}{-2A},\frac{D}{-4A}\right)\).

Oleh karena itu puncak fungsi tersebut terjadi di x = \(\frac{a}{a^2+1}\); perhatikan bahwa nilai x ini selalu berada pada interval [0,1/2] untuk semua a bilangan real positif. Akibatnya nilai minimum f(x) adalah \(\frac{D}{-4A}\)
\begin{split} & \frac{D}{-4A} = \frac{451}{50}\\ \Rightarrow & \frac{B^2-4AC}{-4A}=\frac{451}{50}\\ \Rightarrow & \frac{4a^2-4\cdot (a^2+1)\cdot 10}{-4(a^2+1)}=\frac{451}{50}\\ \Rightarrow & \frac{-9a^2-10}{-a^2-1}=\frac{451}{50}\\ \Rightarrow & \frac{9a^2+10}{a^2+1}=\frac{451}{50}\\ \Rightarrow & 451a^2+451=450a^2+500\\ \Rightarrow & a^2 = 49\\ \Rightarrow & a = 7 \vee a = -7 \end{split}
Jadi nilai konstanta positif a yang mungkin adalah 7

Soal #11
Diketahui f(x) = f(x + 2) untuk setiap x. Jika \(\int_0^2 f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7 f(x+8) \ dx =\ldots\)
Solusi #11
\(\int_0^2 f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1 f(x) \ dx + \int_1^2 f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1 f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2 f(x) \ dx = B-A\) \begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split} Misalkan \(I_1=\int_3^4 f(x) \ dx\); Substitusi x = u + 2 \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6 f(x) \ dx\); Substitusi x = u + 4 \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7 f(x) \ dx\); Substitusi x = u + 6 \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split}
Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & 2B
\end{split}

Soal #12
Suatu daerah dibatasi y = x2 dan y = 4. Jika garis y = k membagi luas daerah tersebut menjadi dua bagian yang sama maka k = ...
Solusi #12
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 226: Matematika Saintek
\begin{split} & L_1 = L_2\\ \Rightarrow & L - L_2 = L_2\\ \Rightarrow & L = 2L_2\\ \Rightarrow & \int_{-2}^2 4-x^2 \ dx=2\int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} k-x^2 \ dx\\ \Rightarrow & \left[4x-\frac{x^2}{3}\right]_{-2}^2=2\left[kx-\frac{x^2}{3}\right]_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}}\\ \Rightarrow & \left(8-\frac{4}{3}\right)-\left(-8-\frac{4}{3}\right)=2\left(k\sqrt{k}-\frac{k}{3}\right)-2\left(-k\sqrt{k}-\frac{k}{3}\right)\\ \Rightarrow & 8-\frac{4}{3}+8+\frac{4}{3}=2k\sqrt{k}-\frac{2k}{3}+2k\sqrt{k}+\frac{2k}{3}\\ \Rightarrow & 16=4k\sqrt{k}\\ \Rightarrow & k\sqrt{k}=4\\ \Rightarrow & k^{3/2}=4\\ \Rightarrow & k=4^{2/3} \end{split}
Jadi k = 42/3

Soal #13
Banyaknya bilangan genap n = abc dengan tiga digit sehingga 3 < b < c adalah ...
Solusi #13
Nilai c yang mungkin adalah 6 atau 8. Jika c = 6 maka b = 4 atau b = 5; terdapat 2 kemungkinan. Jika c = 8 maka b = 4 atau b = 5 atau b = 6 atau b = 7; terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar 3 < b < c ada sebanyak 6.

Nilai a yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk a, sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = 54
Jadi terdapat sebanyak 54 bilangan

Soal #14
Garis singgung kurva y = 3 − x2 di titik P(−a,b) dan Q(a,b) memotong sumbu y di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ...
Solusi #14
Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 226: Matematika Saintek
Karena segitiga PQR sama sisi, maka θ = 60°, sehingga gradien garis singgung yang melalui P adalah tan 60° = √3

Gradien garis singgung di titik P merupakan nilai turunan pertama y di titik (−a,b). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{split}
Jadi nilai \(a=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Soal #15
Misalkan x1, x2 adalah akar-akar dari persamaan x2 − 3x + a = 0 dan y1, y2 akar-akar persamaan x2 − 12xb = 0. Jika x1 ,x2 ,y1 ,y2 membentuk barisan geometri naik, maka nilai ab = ...
Solusi #15
x1 ,x2 ,y1 ,y2 membentuk barisan geometri maka dapat dimisalkan
x1 = a
x2 = ar
y1 = ar2
y2 = ar3

x1, x2 akar-akar persamaan x2 − 3x + a = 0 maka berlaku
x1 + x2 = 3 atau a + ar = 3...(1) dan
x1x2 = a......(2)

y1 ,y2 akar-akar persamaan x2 − 12xb = 0 maka berlaku
y1 + y2 = 12 atau ar2 + ar3 = 3...(3) dan
y1y2 = −b......(4)

Dari persamaan (1) dan (4) diperoleh \begin{split} & ar^2+ar^3=12\\ \Rightarrow & (a+ar)r^2=12\\ \Rightarrow & 3r^2=12\\ \Rightarrow & r^2=4\\ \Rightarrow & r = -2 \vee r = 2 \end{split} Karena barisan tersebut naik maka haruslah r > 1, akibatnya r = 2. Kemudian substitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh a = 1, sehingga
x1 = 1
x2 = 2
y1 = 4
y2 = 8
Jadi \begin{split} ab & = (x_1x_2)(-y_1y_2)\\ & = -1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 8\\ & = -64 \end{split}

Click to comment