Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Dua lingkaran L1 dan L2 berpusat pada sumbu X dengan radius R1 = 2 dan R2 = 4. Suatu garis singgung dalam dari kedua lingkaran tersebut menyinggung L1 di F dan menyinggung L2 di G. Garis singgung tersebut memotong sumbu X di Q sehingga luas segitiga AFQ adalah 5 satuan luas dengan A sebagai titik pusat L1 . Jika garis singgung dalam tersebut mempunyai gradien positif, maka besar gradiennya adalah ...
Solusi #1
Karena luas AFQ = 5 maka \begin{split} & \frac{AF \times FQ}{2}=5\\ \Rightarrow & FQ = 5 \end{split} Sudut antara garis singgung dengan sumbu x positif adalah θ maka gradien garis tersebut adalah tan θ \begin{split} m = & \tan \theta\\ = & \frac{AF}{FQ}\\ = & \frac{2}{5} \end{split}
Jadi besar gradiennya adalah 2/5

Soal #2
Segitiga ABD siku-siku di B. Jika \(\frac{CD}{BD}=\sqrt{2}\) dan α = 45°, maka tan β = ...
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 224: MATEMATIKA SAINTEK
Solusi #2
Misalkan BD = x

karena α = 45° maka AB juga akan sama dengan x

karena \(\frac{CD}{BD}=\sqrt{2}\) maka CD = x2
\begin{split} & \tan(\alpha + \beta)=\frac{BC}{AB}\\ \Rightarrow & \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}=\frac{x\sqrt{2}+x}{x}\\ \Rightarrow & \frac{1+\tan \beta}{1-\tan \beta}=\sqrt{2}+1\\ \Rightarrow & 1+\tan \beta = (\sqrt{2}+1)(1-\tan \beta)\\ \Rightarrow & 1+\tan \beta = \sqrt{2}+1-\sqrt{2}\tan \beta-\tan \beta\\ \Rightarrow & 2 \tan \beta + \sqrt{2}\tan \beta = \sqrt{2}\\ \Rightarrow & (2 + \sqrt{2})\tan \beta = \sqrt{2}\\ \Rightarrow & \tan \beta = \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \end{split}
Jadi \(\tan \beta = \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}\)

Soal #3
Himpunan semua x di selang [0,2\(\pi\)] yang memenuhi pertaksamaan √3cos x ≤ sin x ≤ 0 dapat dituliskan sebagai [a,b] . Nilai a×b adalah ...
Solusi #3
Jika √3cos x ≤ sin x ≤ 0 maka cos x dan sin x merupakan bilangan negatif atau 0.

Pada interval [0,2\(\pi\)], cosinus dan sinus akan bernilai negatif pada kuadran III yaitu \(\pi\) ≤ x ≤ 3\(\pi\)/2.

Selanjutnya menentukan solusi √3cos x ≤ sin x. Bagi kedua ruas dengan cos x, tetapi karena cos x adalah bilangan negatif maka tanda pertidaksamaannya berubah \begin{split} & \sqrt{3}\cos x \leq \sin x\\ \Rightarrow & \sqrt{3} \geq \frac{\sin x}{\cos x}\\ \Rightarrow & \tan x \leq \sqrt{3} \end{split} Nilai x pada interval \(\pi\) ≤ x ≤ 3\(\pi\)/2 yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah \(\pi\) ≤ x ≤ 4\(\pi\)/3, akibatnya a = \(\pi\) dan b = 4\(\pi\)/3
Jadi \(a \times b = \frac{4\pi^2}{3}\)

Soal #4
Suatu transformasi T terdiri dari pencerminan terhadap garis y = x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu X. Jika (2,3) dikenakan transformasi T sebanyak 24 kali, maka hasil transformasinya adalah ...
Solusi #4
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 224: MATEMATIKA SAINTEK
Pada ilsutrasi di atas titik (2,3) dikenakan transformasi T sebanyak 4 kali, dan diperoleh T4(2,3) = (2,3)
Jadi jika titik (2,3) dikenakan transformasi T sebanyak 24 kali maka bayangannya juga (2,3) karena 24 adalah kelipatan 4.

Soal #5
Suatu bangun ruang dengan alas berbentuk persegi panjang ABCD dengan AB = 2 cm dan BC = 3 cm. Sisi tegaknya AE = DH = 2 cm, BF = CG = 1,5 cm. Jika K titik tengah EH, L titik tengah FG, dan α adalah sudut antara HB dan KL, maka cos α adalah . . .
Solusi #5
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 224: MATEMATIKA SAINTEK
Karena KL sejajar dengan HG maka α juga akan sama dengan sudut antara HG dan HB. Oleh karena itu akan dicari panjang sisi-sisi segitiga HBG

\(HB=\sqrt{HD^2+DA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+3^2+2^2}=\sqrt{17}\)
\(HG=EF=\sqrt{EM^2+MF^2}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+2^2}=\sqrt{\frac{17}{4}}\)
\(GB=\sqrt{GC^2+CB^2}=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+3^2}=\sqrt{\frac{45}{4}}\)
Dengan menggunakan aturan cosinus
\begin{split}
\cos \alpha & = \frac{HB^2+HG^2-GB^2}{2\cdot HB \cdot HG}\\
& = \frac{17+\frac{17}{4}-\frac{45}{4}}{2 \cdot \sqrt{17} \cdot \sqrt{\frac{17}{4}}}\\
& = \frac{10}{17} \end{split}

Soal #6
Diketahui sisa pembagian suku banyak f(x) − 2g(x) oleh x2 + x − 2 adalah x + 3, sisa pembagian 2f(x) + g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah x + 1, maka sisa pembagian f(x)g(x) oleh x − 1 adalah ...
Solusi #6
sisa pembagian f(x)g(x) oleh x − 1 adalah f(1)g(1), oleh karena itu terlebih dahulu akan dicari nilai f(1) dan g(1)

Sisa pembagian f(x) − 2g(x) oleh x2 + x − 2 adalah x + 3 berarti
f(x) − 2g(x) = (x2 + x − 2)h(x) + x + 3 untuk suatu suku banyak h(x)
Substitusikan x = 1 ke persamaan di atas diperoleh f(1) − 2g(1) = 4

sisa pembagian 2f(x) + g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah x + 1 berarti
2f(x) + g(x) = (x2 − 3x + 2)k(x) + x + 1 untuk suatu suku banyak k(x)
Substitusikan x = 1 ke persamaan di atas diperoleh 2f(1) + g(1) = 2

Dengan menyeleseaikan SPLDV
f(1) − 2g(1) = 4
2f(1) + g(1) = 2
diperoleh nilai f(1) = 8/5 dan g(1) = −6/5
Jadi sisa pembagiannya adalah f(1)g(1) = −48/25

Soal #7
Grafik \(y=3^{x+1}-\left( \frac{1}{9}\right)^x\) berada di bawah grafik y = 3x + 1 jika ...
Solusi #7
\begin{split} & 3^{x+1}-(3^{-2})^{x} < 3^x+1\\ & 3(3^x)-(3^x)^{-2} < (3^x)+1\\ \end{split} Misalkan 3x = y \begin{split} & 3y-y^{-2} < y+1\\ & 3y^3-1 < y^3+y^2\\ & 2y^3-1 < y^2\\ & 2y^3-y^2-1 < 0\\ & (y-1)(2y^2+y+1) < 0\\ \end{split} Karena 2y2 + y + 1 definit positif maka \begin{split} & y - 1 < 0 \\ \Rightarrow & y < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 1 \\ \Rightarrow & 3^x < 3^0 \\ \Rightarrow & x < 0 \end{split}
Jadi nilai x yang memenuhi adalah x < 0

Soal #8
\(\lim_{x \to 0} x(1-\sqrt{x+1})\csc^2 x= \ldots\)
Solusi #8
\begin{split} & \lim_{x \to 0} x(1-\sqrt{x+1})\csc^2 x\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{x(1-\sqrt{x+1})}{\sin^2 x}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{x(1-\sqrt{x+1})}{\sin^2 x} \times \frac{1+\sqrt{x+1}}{1+\sqrt{x+1}}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{x(1-(x+1))}{\sin^2 x(1+\sqrt{x+1})}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2 x(1+\sqrt{x+1})}\\ = & \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2 x}\frac{1}{1+\sqrt{x+1}}\\ = & 1 \cdot \frac{1}{1+\sqrt{0+1}}\\ = & \frac{1}{2} \end{split}
Jadi \(\lim_{x \to 0} x(1-\sqrt{x+1})\csc^2 x = \frac{1}{2}\)

Soal #9
Jika a, b, c, d, dan e adalah bilangan real positif yang membentuk barisan aritmetika naik dan a, b, e membentuk barisan geometri, maka nilai e/b = ...
Solusi #9
Misalkan barisan aritmatika di atas memiliki beda x dengan x < 0 maka
U1 = a
U2 = b = a + x
U3 = c = a + 2x
U4 = d = a + 3x
U5 = e = a + 4x

a, b, e membentuk barisan geometri maka \begin{split} & \frac{b}{a}=\frac{e}{b}\\ \Rightarrow & b^2 = ae\\ \Rightarrow & (a+x)^2=a(a+4x)\\ \Rightarrow & a^2+2ax+x^2=a^2+4ax\\ \Rightarrow & x^2=2ax\\ \Rightarrow & x=2a \end{split}
Jadi \begin{split} \frac{e}{b} & = \frac{a+4x}{a+x}\\ & = \frac{a+8a}{a+2a}\\ & = \frac{9a}{3a}\\ & = 3 \end{split}

Soal #10
Jika f(x) = ax3 + 3x2 − 12x + 5a memotong sumbu Y di titik (0,10) , maka nilai maksimum f(x) untuk x ∈ [−1,0] adalah ...
Solusi #10
Karena f(x) = ax3 + 3x2 − 12x + 5a memotong sumbu Y di titik (0,10) maka \begin{split} & f(0) = 10\\ \Rightarrow & 5a=10\\ \Rightarrow & a=2 \end{split} Oleh karena itu f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 10

f(x) maksimum jika f'(x) = 0 \begin{split} & f'(x) = 0\\ \Rightarrow & 6x^2+6x-12=0\\ \Rightarrow & x^2+x-2=0\\ \Rightarrow & (x+2)(x-1)=0\\ \Rightarrow & x = -2 atau x = 1 \end{split} Kedua nilai x di atas tidak dalam interval [−1,0] jadi nilai yang maksimum yang mungkin adalah f(−1) atau f(0)

f(−1) = 23
f(0) = 10
Jadi nilai maksimumnya adalah 23

Soal #11
Diketahui f(x) = f(x + 2) untuk setiap x. Jika \(\int_0^2 f(x) \ dx=B\), maka \(\int_3^7 f(x+8) \ dx =\ldots\)
Solusi #11
\(\int_0^2 f(x) \ dx =B\) maka \(\int_0^1 f(x) \ dx + \int_1^2 f(x) \ dx =B\)

Misalkan \(\int_0^1 f(x) \ dx = A\) akibatnya \(\int_1^2 f(x) \ dx = B-A\) \begin{split} & \int_3^7 f(x+8) \ dx\\ = & \int_3^7 f(x) \ dx\\ = & \int_3^4 f(x) \ dx + \int_4^6 f(x) \ dx + \int_6^7 f(x) \ dx \end{split} Misalkan \(I_1=\int_3^4 f(x) \ dx\); Substitusi x = u + 2 \begin{split} I_1 & =\int_1^2 f(u+2) \ du\\ & =\int_1^2 f(u) \ du\\ & =B-A \end{split} Misalkan \(I_2=\int_4^6 f(x) \ dx\); Substitusi x = u + 4 \begin{split} I_2 & =\int_0^2 f(u+4) \ du\\ & =\int_0^2 f(u) \ du\\ & =B \end{split} Misalkan \(I_3=\int_6^7 f(x) \ dx\); Substitusi x = u + 6 \begin{split} I_3 & =\int_0^1 f(u+6) \ du\\ & =\int_0^1 f(u) \ du\\ & =A \end{split}
Jadi \begin{split}
& \int_3^7 f(x+8) \ dx\\
= & I_1+I_2+I_3\\
= & B-A+B+A\\
= & 2B
\end{split}

Soal #12
Diketahui fungsi f(x) = x2 dan g(x) = ax, a > 0. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva f dan y = 4. Jika kurva g membagi daerah D dengan perbandingan luas 3 : 1, mak a3 = ...
Solusi #12
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 224: MATEMATIKA SAINTEK
A + B : A − B = 3 : 1
\begin{split}
& \frac{A+B}{A-B}=\frac{3}{1}\\
\Rightarrow & 3A-3B=A+B\\
\Rightarrow & 2A=4B\\
\Rightarrow & A = 2B\\
\Rightarrow & \int_{-2}^0 4-x^2\ dx=2\int_{0}^{4/a} 4-ax\ dx\\
\Rightarrow & \frac{16}{3}=2\left[4x-\frac{ax^2}{2}\right]_{0}^{4/a}\\
\Rightarrow & \frac{16}{3}=2\left(\frac{16}{a}-\frac{8}{a}\right)\\
\Rightarrow & \frac{16}{3}=\frac{16}{a}\\
\Rightarrow & a= 3
\end{split}
Jadi a = 3

Soal #13
Banyaknya bilangan genap n = abc dengan tiga digit sehingga 3 < b < c adalah ...
Solusi #13
Nilai c yang mungkin adalah 6 atau 8. Jika c = 6 maka b = 4 atau b = 5; terdapat 2 kemungkinan. Jika c = 8 maka b = 4 atau b = 5 atau b = 6 atau b = 7; terdapat 4 kemungkinan. Sehingga total susunan agar 3 < b < c ada sebanyak 6.

Nilai a yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9. Terdapat 9 nilai yang mungkin untuk a, sehingga banyak bilangan yang dimaksud ada sebanyak 9 × 6 = 54
Jadi terdapat sebanyak 54 bilangan

Soal #14
Garis singgung kurva y = 3 − x2 di titik P(−a,b) dan Q(a,b) memotong sumbu y di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ...
Solusi #14
SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 224: MATEMATIKA SAINTEK
Karena segitiga PQR sama sisi, maka θ = 60°, sehingga gradien garis singgung yang melalui P adalah tan 60° = √3

Gradien garis singgung di titik P merupakan nilai turunan pertama y di titik (−a,b). \begin{split} & m=-2x\\ \Rightarrow & \sqrt{3}=-2(-a)\\ \Rightarrow & a=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{split}
Jadi nilai \(a=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Soal #15
Misalkan g adalah garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik A(3,4). Jika garis singgung tersebut ditransformasikan dengan matriks rotasi \(\begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5}\end{pmatrix}\), maka absis antara titik potong antara garis singgung lingkaran dengan garis hasil transformasi adalah ...
Solusi #15
Persamaan garis g adalah 3x + 4y = 25. Kemudian garis g ini ditransformasikan, misalkan garis hasil transformasinya adalah ax' + by' = c. maka \begin{split} & \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\\ \Rightarrow & \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3}{5}x' -\frac{4}{5}y' \\ \frac{4}{5}x'+ \frac{3}{5}y'\end{pmatrix}\\ \end{split} substitusikan \(x=\frac{3}{5}x' -\frac{4}{5}y'\) dan \(y=\frac{4}{5}x'+ \frac{3}{5}y'\) ke persamaan garis singgung diperoleh \begin{split} & 3x+4y=25\\ \Rightarrow & 3(\frac{3}{5}x' -\frac{4}{5}y') + 4(\frac{4}{5}x'+ \frac{3}{5}y') = 25\\ \Rightarrow & \frac{9}{5}x' -\frac{12}{5}y' + \frac{16}{5}x'+ \frac{12}{5}y' =25\\ \Rightarrow & 5x'=25\\ \Rightarrow & x'=5 \end{split}
Karena persamaan bayangannya adalah x = 5 maka absis titik potongnya pasti 5

3 komentar

avatar

Soal SBMPTN no 5 soalnya salah ya. Diatas keterangan nya BC=2 tapi Dikertas saya tulisan nya CD=2. Dan itu yg saya bingung waktu ngerjain -_-

avatar

Iya sepertinya salah. agar jawabannya ada di pilihan jawaban jadi saya ganti

avatar

No. 2 sudut alfa dan beta ketuker itu.

Click to comment